2016_2017_TS__DNS_5_corrige

T.S.
Éléments de correction du devoir de Mathématiques n°5 du 3 novembre 2016
Partie 1 :
Probabilités
Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la
souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65 % d’hommes. Des études préalables ont montré
que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant
immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications. On admet que ces
proportions restent stables.
Partie A
On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d’être choisie.
On note H l’évènement « la personne choisie est un homme », F l’évènement « la personne choisie est une
―
femme », E l’évènement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » et E l’évènement
contraire de E.
1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
2. (a) Traduire par une phrase l’évènement E  F et calculer sa probabilité.
E  F est l'évènement :
« la personne choisie est une femme et elle écoute les explications du démarcheur »
P(E F) = P(F) × PF(E) = 0,35 × 0,6 = 0,21
(b) Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405.
Les évènements H et E forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités
totales :
P(E) = P(E  H) + P(E  F) = P(H) × PH(E) + 0,21 = 0,65 × 0,3 + 0,21 = 0,195 + 0,21 = 0,405
(c) Le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ?
On donnera le résultat arrondi au centième.
PE(H) =
P(H  E) 0,195 13
=
=
 0,48
P(E)
0,405 27
Partie B
Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12 % des
personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour.
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés comme réalisés de façon
indépendante et dans des conditions identiques.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un
jour donné.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait. Le fait qu’une personne interrogée
souscrive ou non à ce nouveau forfait constitue une épreuve de Bernoulli, de paramètre p = 0,12
(probabilité du succès « la personne interrogée souscrit à ce nouveau forfait »).
Chaque employé effectue 60 appels par jour et, le fichier est suffisamment important pour que les choix
soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques donc on obtient un
schéma de Bernoulli et le nombre de succès, X, suit une loi binomiale de paramètres n = 60 et p = 0,12.
2. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné. (On arrondira le résultat au
centième).
n
60
P(X = 5) =  5  × p5 × (1 − p)60 − 5 =  5  × 0,125 × (1 − 0,12)55 ≈ 0,12
3. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne au moins une souscription un jour donné. On donnera une
valeur arrondie au dix millième.
L'évènement « obtenir au moins une souscription un jour donné » est l'évènement contraire de « n'obtenir
aucune souscription un jour donné ». D'où :
P(X  1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)n = 1 − (1 − 0,12)60 = 1 − 0,8860 ≈ 0,9995
4. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
E(X) = n × p = 60 × 0,12 = 7,2
En moyenne, un employé réalise 7,2 souscriptions par jour.
Partie 2 :
Étude de fonction
1. a) Déterminer a et b.
b
= 1 ⟺ b = −1
−1
1
1
x(a − )
a−
x
x a
lim f (x) = lim
= lim
=
1
1 2
x+
x+
x+
x(2 − )
2−
x
x
4x − 1
Donc f (x) =
2x − 1
f (0) = 1 ⟺
a
lim f (x) = 2 ⟺ = 2 ⟺ a = 4
2
x+
1
2x − 1
2 (2x − 1)
1
4x − 2 + 1 4x − 1
1
2+
=
+
=
=
= f (x)
2x − 1
2x − 1
2x − 1
2x − 1
2x − 1
b) Montrer que f (x) = 2 +
2. Déterminer les asymptotes à C.
1
1
x(4 − )
4−
x
x 4
lim f (x) = 2
et
lim f (x) = lim
= lim
=
lim f (x) = 2
1
1 2
x+
x−
x−
x−
x(2 − ) x  −  2 −
x
x
On en déduit que la droite d’équation : y = 2 est asymptote horizontale à C en +  et en − .
f est définie si et seulement si 2x − 1  0
or 2x − 1 = 0 ⟺ x =
1
donc Df = IR −  2 
1
2


lim (4x − 1) = 1

lim (2x − 1) = 0  donc par quotient

et 2x − 1 < 0 
x  0,5
x < 0,5
x  0,5
x < 0,5
lim f (x) = − 
x  0,5
x < 0,5
lim (4x − 1) = 1

lim (2x − 1) = 0  donc par quotient

et 2x − 1 > 0 
x  0,5
x > 0,5
x  0,5
x > 0,5
lim f (x) = + 
x  0,5
x > 0,5
1
On en déduit que la droite d’équation : x = est asymptote verticale à C.
2
3. Calculer f ' (x) puis étudier son signe.
f=2+
1
v
f '= 0 −
avec v (x) = 2x – 1
v'
v2
v' (x) = 2
donc f ' (x) =
−2
(2x – 1)2
1
Pour tout x de IR −  2 , (2x – 1)2 > 0 et − 2 < 0

donc f ' (x) < 0

4. Dresser le tableau de variations de f.
x
–
–
Signe de f ' (x)
2
Variations
de f
1
2
||
–
||
||||
|| + 
||
||
||
||
−  ||
+
2
5. Tracer l’allure de C et ses asymptotes dans un repère.