Matrices. - Thierry Sageaux

Matrices.
I Introduction.
II Le produit matriciel.
III Systèmes linéaires.
IV Inverse d’une matrice.
V Lien avec les suites récurrentes.
VI Puissance d’une matrice.
I Introduction.
Définition : Une matrice carrée d’ordre n est la donnée d’un tableau à n lignes et n
colonnes.
 a11 a12 ... a1n 


a21 a22 ... a2 n 

A=
 ... ... ... ... 


 an1 an 2 ... ann 
On la note parfois A = ( aij ) .
On note M n (ℝ) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans ℝ .
1

Exemple : A =  0
π



0 0
 , la matrice nulle d’ordre 2 :  0 0 


1
17 
1 0 0 0


0 1 0 0
ou encore la matrice identité d’ordre 4 : I 4 = 
.
0 0 1 0


0 0 0 1
Définition : Plus généralement, on peut définir une matrice n × m par la donnée d’un
tableau de n lignes et de m colonnes.
 a11 a12 ... a1m 


A =  ... ... ... ... 
a

 n1 an 2 ... anm 
2
3
1
0

Exemple : A =  3 π
0
2

−5
−2
0 

−1 2  .
252 −8 
e
0
 
2
Un cas particulier important est celui des vecteurs colonnes : v =   c’est une matrice n × 1 .
1 
 
 2
Remarque : Nous allons voir plus loin pourquoi il est important que les vecteurs soient
exprimés en colonne !!
1
Maintenant que nous avons de nouveaux objets, on voudrait jouer avec. Pour cela, il faut
suivre la même évolution que le premier homme avec les nombres. Il a commencé par créer
l’addition.
Définition : Si A = (aij ) et B = (bij ) sont deux matrices de même taille, alors on
définit la matrice A + B = (aij + bij ) de façon naturelle.
2 3   0 2 3   . . .
1
Exemple : 
+
=
.
 −1 0 2   5 −2 1   . . . 
L’étape suivante est de définir un produit. On commence léger avec le produit d’une matrice
par un réel. C’est naturel car on voit tout de suite ce à quoi doit être égal A+A=….2A ! Et par
continuité, on a
Définition : Soient A = (aij ) une matrice et λ un réel. On définit la matrice
λ A = (λ aij ) de façon naturelle là encore.
2 3   . . .
1
Exemple : −5 
=
.
 −1 0 2   . . . 
Application : Imaginez que l’on veuille numériser une image comme celle-ci :
Il suffit de créer une matrice 16x32 remplie de 0 pour une case blanche et de 1 pour
des cases noires. C’est un peu archaïque, on fait mieux en traitement de l’image maintenant
(pour ceux qui sont intéressés, voir les matrice de Cholewski ou matrices creuses sur le net)
Si je veux une image en couleur, il suffit d’augmenter les valeurs possibles des
coefficients.
Vu sous cet angle, à quoi correspond la somme de deux matrices ? Eh bien à la
superposition de deux images ! Et la multiplication par un scalaire ? A un changement des
couleurs (ou des contrastes si on suppose que λ ∈ [1; 2[ .
Un cas particulier amusant : Pour contourner la publicité dans les reportages, on voit
apparaître de plus en plus des images bizarres ! En effet, en fond d’écran, derrière la
journaliste qui parle, le nom d’une grande marque de distribution est écrit en image miroir !
Ce n’est pas la télé ou l’annonceur publicitaire qui était fatigué, car, bien que l’action se passe
en France, les gens semblent conduire à gauche !
2
En fait, la publicité est sanctionnée par le CSA et plutôt que de perdre un temps fou à
floutter les zones de publicités qui sont un peu partout et inévitables quand on fait un
reportage, les journalistes préfèrent bien souvent inverser l’image. Le nom de la marque n’est
plus « lisible » et ils ne peuvent pas être accusés injustement. Mais quelle est la
transformation opérée sur la matrice ?
Il s’agit d’une symétrie axiale qui n’a pas vraiment d’application sur le plan
mathématique, aussi, nous ne développerons pas plus avant cet aspect des choses.
Un cas particulier de transformation qui est en revanche utile à la théorie :
Définition : Si A = (aij ) est une matrice carrée alors on définit la matrice
transposée de A par t A = (a ji ) en utilisant la symétrie par rapport à la diagonale.
1

Exemple : Si A =  0
π

2
3
1

 . . .



t
 , alors A =  . . .  .
 . . .

17 


−5
−2
II Le produit matriciel.
On a défini la somme de deux matrices, le produit par un réel. Il devient donc évident
de faire la différence de deux matrices. Mais afin de jouer plus avant, on a besoin d’un produit
interne. On impose le produit suivant :
Deux façons de le voir :
Le produit ligne-colonne (version 1):
Le produit ligne colonne (version 2):
3
 1 −1 
 0 −2 
Exemple : Soient A = 
 et B = 
 . Calculer AB et BA.
 −2 3 
 1 −1 
Remarque : LE PRODUIT N’EST PAS COMMUTATIF !
 −1 0 
 7 −2 
1 2
1 0
On pose A = 
, B = 
, C =
 et I = 
.
 1 0
 −3 1 
3 7
0 1
Calculer A2 , AI , BI , AB, ABC , BC et CB .
Définition : Soit A = (aij ) une matrice carrée d’ordre n. S’il existe une matrice
B ∈ M n (ℝ) telle que AB = I n = BA alors on dit que B est l’inverse de A. On note A−1 = B .
Remarque : L’inverse n’existe pas toujours et, quand il existe, il n’est pas clair qu’il
est unique, ni même bilatère. On admettra ceci au niveau terminale.
 1 −2 
Montrer que A = 
 n’a pas d’inverse.
 −2 4 
Nous n’avons traité que des produits matriciels entre matrices carrées de même ordre.
Mais rien n’empêche de faire le produit de matrices non carrées POUR PEU QUE LE
NOMBRE DE COLONNES DE LA PREMIERE SOIT EGAL AU NOMBRE DE LIGNES
DE LA SECONDE !!!
En termes plus techniques, si A ∈ M n ,k (ℝ ) et B ∈ M k ,m (ℝ ) , alors le produit AB existe
et AB ∈ M n ,m (ℝ ) .
Effectuez les produits de tous les couples de matrices obtenus avec les quatre matrices
suivantes, quand c’est possible.
1 2 3 
1 
 −2 0 1 


 
A = 0 1 1 , B = 0 , C = 
 et D = ( 0 1 3) .
1
−
1
2


 1 0 −1 
 −1 


 
[seuls 9 produits sont possibles]
III Systèmes linéaires.
1. Systèmes 2x2 :
10 x + 4 y = 3
Rappels : On veut résoudre le système 
.
 6 x + 2 y = −5
 1  
Procédés par substitution et combinaisons. On trouve S =  ;1  .
 2  
Essayons de nous ramener à un produit matriciel :
10 4 
x
3 
En posant A = 
 , X =   et B =   , on trouve AX=B. Il faudrait être capable de
 6 2
 y
 −5 
calculer l’inverse de A pour trouver directement X. En effet,
4
A−1 A X = A−1 B ⇔ X = A−1 B
I
−1
2
3
2
1

Dans ce cas, on a A−1 = 
.
−5 

2 
A quelle condition un système n’a pas de solutions ? A quelle condition y en a-t-il une
infinité ? Se ramener à un problème de colinéarité des vecteurs directeurs des deux droites.
Introduction du déterminant.
a b 
Définition : Soit A = 
 une matrice carrée d’ordre 2. On appelle déterminant
c d
de A le réel det ( A) = ad − cb .
2. Systèmes 3x3 :
Extension de la théorie précédente avec une vision dans l’espace. Nombre de cas
possibles ?
x − 2 y + z = 0

Essayons de résoudre le système suivant : 2 x + y = 4
 x − y − z = −4

[…] Rappel des deux méthodes : opérations sur les lignes et les colonnes, substitution.
On obtient S = {(1, 2,3)} .
IV Inverse d’une matrice.
Remarque : La notion d’inverse n’a de sens que sur des matrices carrées !
1. En dimension 2 : On a le théorème suivant issu du programme :
a b 
Proposition (4.A) : Soit A = 
 une matrice carrée d’ordre 2. La matrice A est
c d
inversible si et seulement si det ( A) ≠ 0 et
A−1 =
1  d −b 


det( A)  −c a 
2. Le cas particulier des polynômes annulateurs :
Imaginons que l’on sache à l’avance que A est telle que A2 + 3 A − I = 0 . Alors on a
facilement que A( A + 3I ) = I et donc A−1 = A + 3I (piece of cake !)
Cette méthode se généralise sans problème à des polynômes de degrés plus élevés. (En
fait, on peut montrer que toute matrice d’ordre n possède un polynôme annulateur de degré n).
 103 −51 
 4 2
2
−1
Exercez-vous sur A = 
(on
trouve
A
−
7
A
−
10
I
=
0
et
A
=
 −1 2  )

1 3
 10 5 
3. Le cas général :
Dans le cas général, il existe des méthodes pour inverser des matrices d’ordre n. Ces
méthodes ne sont pas au programme de terminale. Il est toutefois intéressant de commencer à
s’y habituer et cela peut permettre de vérifier certains calculs sur des systèmes 3x3 par
exemple.
5
Méthode de Gauss-Jordan pour inverser une matrice. L’idée est assez simple et basée
sur l’intervention des matrices Bi , j (λ ) = I + λ Ei , j où I est la matrice identité et Ei , j et la
matrice nulle sauf pour le coefficient de la ligne i et de la colonne j qui vaut 1. On a donc une
matrice avec des 1 sur la diagonale, des 0 partout ailleurs, sauf un λ qui traîne.
Voyons l’effet des ces matrices : On choisit l’exemple suivant :
 1 −2 1 
1 0 0 




A =  2 1 0  et B2,3 (λ ) =  0 1 λ 
 1 −1 −1
0 0 1 




Si on effectue les produits, on obtient :
−2
1 
 1
 1 −2 1 − 2λ 



B2,3 (λ ) A =  2 + λ 1 − λ −λ  et AB2,3 (λ ) =  2 1
λ 
 1
 1 −1 −1 − λ 
−1 −1 



Autrement dit, multiplier à gauche par ces matrices revient à agir sur les lignes (dans
l’exemple, on a fait L2 ← L2 + λ L3 ) et multiplier à droite revient à agir sur les colonnes (dans
l’exemple, on a fait C3 ← C3 + λC2 ). Il s’agit donc d’une façon de formaliser les opérations
sur les lignes et les colonnes. Mais peu importe, voici le lien entre système linéaire et
matrice :
x − 2 y + z = 0

qui se
Dans l’exemple précédent, on avait à résoudre le système 2 x + y = 4
 x − y − z = −4

traduit matriciellement par :
 1 −2 1  x   1 0 0  0 
 1 −2 1   x   0 

  
 

   
 2 1 0   y  =  4  ou encore par  2 1 0  y  =  0 1 0  4  .
 1 −1 −1 z   0 0 1  −4 
 1 −1 −1  z   −4 


  
 
    
A
Agir sur les lignes de la matrice A revient à multiplier par des matrices de type Bi , j (λ ) à
gauche. Rien ne nous empêche de le faire sur l’équation que nous venons d’écrire et de
recommencer toutes les opérations précédemment utilisées avec la méthode du pivot de Gauss
afin d’obtenir :
x
0 
 1 −2 1  x 
0 
 
 

 
 
B3,1 (−1) B2,1 (−2) A  y  = B3,1 (−1) B2,1 (−2) I  4  ⇔  0 5 −2  y  = B3,1 (−1) B2,1 (−2)  4 
z
 −4 
 0 1 −2  z 
 
 
 

 
 −4 
Et en changeant de pivot, on obtient une matrice triangulaire :
 1 −2 1  x 
0 

 
 
−1
 0 5 −2  y  = B3,2 ( 5 ) B3,1 (−1) B2,1 (−2)  4 
 −4 
 0 0 −8   z 
 
5  

6
On comprend bien qu’en poursuivant le raisonnement, on doit se ramener à une matrice
identité à gauche afin d’avoir l’inverse de A à droite. En effet, si on y parvient, on aura trouvé
x
0 
 
 
une matrice B (produit de matrice de type Bi , j (λ ) ) telle que BA  y  = B  4  .
I  
 −4 
z
 
Cette matrice B sera alors l’inverse de A.
Mais pour que ce raisonnement soit correct, il faut continuer à multiplier à gauche et
on ne peut donc agir que sur les lignes !! Notre nouveau pivot est −58 , donc
 1 −2 0   x 
0 

 
 
5
−5
−1
 0 5 0   y  = B1,3 ( 8 ) B2,3 ( 4 ) B3,2 ( 5 ) B3,1 (−1) B2,1 (−2)  4 
 −4 
 0 0 −8   z 
 
5  

Et pour obtenir une matrice diagonale, on utilise le pivot central, en opérant toujours
sur les lignes :
 18 83 81 


A−1 =  −41 14 −41 
 3 1 −5 
8 8 8
Or,
 18 83 18 


B1,2 ( 25 ) B1,3 ( 85 ) B2,3 ( −45 ) B3,2 ( −51 ) B3,1 (−1) B2,1 (−2) =  −45 54 −45 
 −3 −1 1 
5 5

Il reste juste à multiplier chacune des lignes par les bons coefficients pour avoir la
matrice identité à gauche et on obtient :
 18 83 18 
1 3 1
1




A−1 =  −41 14 −41  =  −2 2 −2  (ouf !)
 3 1 −5  8  3 1 −5 


8 8 8
Plusieurs remarques s’imposent :
1. Les calculs ne sont pas évidents (en fait, les calculs dépendent en grande partie du
déterminant (qui se retrouve au dénominateur). Plus il est compliqué, plus les
fractions le sont.
2. Cette méthode est ni plus ni moins que la méthode du pivot avec la contrainte
supplémentaire de l’action à gauche uniquement, donc sur les lignes.
3. On peut utiliser le même raisonnement en agissant uniquement sur les colonnes (à
droite donc.
4. Dans le cas où seule une résolution de système est demandée, il est plus simple de
résoudre « à l’ancienne » sans faire appel aux matrices.
5. Dans tout le calcul, on peut s’affranchir des vecteurs et se contenter de la
présentation suivante :
7
 1 −2

A = 2 1
 1 −1

 1 −2
=  0 5
0 1

...
1

= 0
0

1

= 0
0

1

0
−1
1
−2 
−2 
1 0 0


I = 0 1 0


0 0 1
 1 0 0
=  −2 1 0  L2 ← L2 − 2 L1
 −1 0 1  L ← L − L
3
1

 3
...
0

0
−8 
5 
0 0

1 0
0 1 
 18

=  −45
 −3
5
 18

=  −41
3
8
0
5
0
3
8
5
4
−1
5
3
8
1
4
1
8
 L1 ← L1 + 52 L2
−5 
4 
1 
1
8 
−1 
1
4  L2 ← 5 L2
−5 
−5
8  L3 ← 8 L3
1
8
IV Lien avec les suites récurrentes.
Un autre aspect des mathématiques dans lequel les matrices ont leur rôle à jouer est
dans le domaine des suites récurrentes. En effet, imaginons un problème tel que l’étude des
un +1 = 54 un + 52 vn
deux suites 
avec ( u0 , v0 ) donné.
3
1
vn +1 = 5 un + 5 vn
 54 52  1  4 2 
 un 
En écrivant X n =   , on a X n +1 = AX n où A =  1 3  = 
.
 vn 
 5 5  5 1 3
On montre facilement par récurrence que X n = An X 0 . Au passage, on remarque
l’analogie avec les suites géométriques.
En résumé, si l’on veut étudier une telle suite, il suffit d’être capable de calculer les
puissances successives de A. C’est l’objet du chapitre suivant :
V Puissance d’une matrice.
Soit A une matrice carrée (peu importe l’ordre). On cherche dans tout ce paragraphe à calculer
les puissances de A.
1. Si la matrice A est diagonale :
α

Sur un exemple, on voit bien ce qui se passe : si A =  0
0

n
α
0
0


n
n
récurrence rapide donne A =  0 β
0  pour n ≥ 1 .
 0
0 γ n 

0
β 0  , alors, une
0 γ 
0
Aucune difficulté de ce côté-là.
2. Si la matrice A est triangulaire :
- La situation est déjà catastrophique et laisse peu d’espoirs pour le cas général.
8
1 1 0
1 3 1
1 7 6 






En effet, rien qu’avec A =  0 2 1  , on trouve A2 =  0 4 5  , A3 =  0 8 19 
 0 0 3
0 0 9
 0 0 27 






… sans véritable idée du résultat a priori à part pour la diagonale qui semble avoir les mêmes
propriétés que dans le cas précédent.
- Et si on annule la diagonale justement ? Que se passe-t-il ? On obtient un cas
particulier intéressant :
0 1 0
0 0 1
0 0 0






2
3
Prenons A =  0 0 1  , alors A =  0 0 0  et A =  0 0 0  . C’est ce que l’on
0 0 0
0 0 0
0 0 0






appelle des matrices nilpotentes (dans le sens où il existe une puissance pour lesquelles elles
sont nulles).
3. Cas général :
Comme nous l’avons signalé ci-dessus, peu d’espoir d’avoir quelque chose de
sympathique. L’idée est donc de se ramener à une matrice diagonale à tout prix. La théorie
existe et n’est pas au programme de Terminale (en plus, elle est incomplète dans le sens où ça
n’est pas toujours possible, on se contente parfois d’une triangulaire).
Mais restons loin de ces considérations. Dans notre cas, imaginons que l’on nous
donne une matrice P inversible telle que A = PDP −1 où D est diagonale.
Que se passe-t-il pour An ?
On a An = ( PDP −1 )n = PD P −1 P D P −1 P D P −1 ... P DP −1 = PD n P .
I
I
I
I
Et voila, le tour est joué car on sait calculer la puissance d’une matrice diagonale.
4. Retour au cas des suites récurrentes :
2 1 
1  4 2
Reprenons le cas précédent : On avait A = 
 si l’on donne P = 
 , on
5 1 3
 1 −1 
1 0
1 1 1 
−1
trouve facilement P −1 = 
 et D = P AP =  0 2  est bien diagonale.
3  1 −2 
5

n
2
2 n
1  2 + ( 5 ) 2 − 2( 5 ) 
n
n −1
 et
Ainsi, le calcul donne A = PD P = 
3  1 − ( 2 )n 1 + 2 ( 2 )n 
5
5


n
n
2
2
 un 
1  2 + ( 5 ) 2 − 2 ( 5 )   u0 
n

  .
=
X
=
A
X
=
 
n
0
3  1 − ( 2 )n 1 + 2 ( 2 )n   v0 
 vn 
5
5


1
1

2 n
2 n
un = 3  2 + ( 5 )  u0 + 3  2 − 2 ( 5 )  v0
D’où 
et en passant à la limite, on obtient :
n
n
1
1
2
2
v = 1 − ( )  u + 1 + 2 ( )  v
5
5
 0 3
 0
 n 3 
1
2
1
1
2
lim un = u0 + v0 et lim vn = u0 + v0 car
< 1.
n →+∞
n →+∞
3
3
3
3
5
9