1
Matrices.
I Introduction.
II Le produit matriciel.
III Systèmes linéaires.
IV Inverse d’une matrice.
V Lien avec les suites récurrentes.
VI Puissance d’une matrice.
I Introduction.
Définition : Une matrice carrée d’ordre n est la donnée d’un tableau à n lignes et n
colonnes.
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
On la note parfois
)
ij
A a
=
.
On note
( )
n
M
l’ensemble des matrices carrées d’ordre
n
à coefficients dans
.
Exemple :
1 2 5
0 3 2
1 17
A
π
 
 
= −
 
 
 
, la matrice nulle d’ordre 2 :
0 0
0 0
 
 
 
ou encore la matrice identité d’ordre 4 :
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 
=
 
 
 
.
Définition :
Plus généralement, on peut définir une matrice
n m
×
par la donnée d’un
tableau de
n
lignes et de
m
colonnes.
1
11 12
1 2
...
... ... ... ...
...
m
n n nm
a
a a
A
a a a
 
 
=
 
 
 
Exemple :
1
0 0
3 1 2
0 2 252 8
e
A
π
 
 
= −
 
 
 
.
Un cas particulier important est celui des vecteurs colonnes :
0
2
1
2
v
 
 
 
=
 
 
 
c’est une matrice
1
n
×
.
Remarque : Nous allons voir plus loin pourquoi il est important que les vecteurs soient
exprimés en colonne !!
2
Maintenant que nous avons de nouveaux objets, on voudrait jouer avec. Pour cela, il faut
suivre la même évolution que le premier homme avec les nombres. Il a commencé par créer
l’addition.
Définition : Si
( )
ij
A a
= et
( )
ij
B b
= sont deux matrices de même taille, alors on
définit la matrice
( )
ij ij
A B a b
+ = + de façon naturelle.
Exemple :
1 2 3 0 2 3 . . .
1 0 2 5 2 1 . . .
 
+ =
 
− −
 
.
L’étape suivante est de définir un produit. On commence léger avec le produit d’une matrice
par un réel. C’est naturel car on voit tout de suite ce à quoi doit être égal A+A=….2A ! Et par
continuité, on a
Définition : Soient
( )
ij
A a
= une matrice et
λ
un réel. On définit la matrice
( )
ij
A a
λ λ
= de façon naturelle là encore.
Exemple :
1 2 3 . . .
5
1 0 2 . . .
 
− =
 
 
.
Application : Imaginez que l’on veuille numériser une image comme celle-ci :
Il suffit de créer une matrice 16x32 remplie de 0 pour une case blanche et de 1 pour
des cases noires. C’est un peu archaïque, on fait mieux en traitement de l’image maintenant
(pour ceux qui sont intéressés, voir les matrice de Cholewski ou matrices creuses sur le net)
Si je veux une image en couleur, il suffit d’augmenter les valeurs possibles des
coefficients.
Vu sous cet angle, à quoi correspond la somme de deux matrices ? Eh bien à la
superposition de deux images ! Et la multiplication par un scalaire ? A un changement des
couleurs (ou des contrastes si on suppose que
1;2
λ
.
Un cas particulier amusant : Pour contourner la publicité dans les reportages, on voit
apparaître de plus en plus des images bizarres ! En effet, en fond d’écran, derrière la
journaliste qui parle, le nom d’une grande marque de distribution est écrit en image miroir !
Ce n’est pas la télé ou l’annonceur publicitaire qui était fatigué, car, bien que l’action se passe
en France, les gens semblent conduire à gauche !
3
En fait, la publicité est sanctionnée par le CSA et plutôt que de perdre un temps fou à
floutter les zones de publicités qui sont un peu partout et inévitables quand on fait un
reportage, les journalistes préfèrent bien souvent inverser l’image. Le nom de la marque n’est
plus « lisible » et ils ne peuvent pas être accusés injustement. Mais quelle est la
transformation opérée sur la matrice ?
Il s’agit d’une symétrie axiale qui n’a pas vraiment d’application sur le plan
mathématique, aussi, nous ne développerons pas plus avant cet aspect des choses.
Un cas particulier de transformation qui est en revanche utile à la théorie :
Définition : Si
( )
ij
A a
= est une matrice carrée alors on définit la matrice
transposée de A par
( )
t
ji
A a
=
en utilisant la symétrie par rapport à la diagonale.
Exemple : Si
1 2 5
0 3 2
1 17
A
π
 
 
= −
 
 
 
, alors
...
...
...
t
A
 
 
=
 
 
 
.
II Le produit matriciel.
On a défini la somme de deux matrices, le produit par un réel. Il devient donc évident
de faire la différence de deux matrices. Mais afin de jouer plus avant, on a besoin d’un produit
interne. On impose le produit suivant :
Deux façons de le voir :
Le produit ligne-colonne (version 1):
Le produit ligne colonne (version 2):
4
Exemple : Soient
1 1
2 3
A
 
=
 
 
et
0 2
1 1
B
 
=
 
 
. Calculer AB et BA.
Remarque : LE PRODUIT N’EST PAS COMMUTATIF !
On pose
1 0
1 0
A
 
=
 
 
,
7 2
3 1
B
 
=
 
 
,
1 2
3 7
C
 
=
 
 
et
1 0
0 1
I
 
=
 
 
.
Calculer
2
, , , , , et
A AI BI AB ABC BC CB
.
Définition : Soit
( )
ij
A a
= une matrice carrée d’ordre n. S’il existe une matrice
( )
n
B M
telle que
n
AB I BA
= = alors on dit que B est l’inverse de A. On note
1
A B
=
.
Remarque : L’inverse n’existe pas toujours et, quand il existe, il n’est pas clair qu’il
est unique, ni même bilatère. On admettra ceci au niveau terminale.
Montrer que
1 2
2 4
A
 
=
 
 
n’a pas d’inverse.
Nous n’avons traité que des produits matriciels entre matrices carrées de même ordre.
Mais rien n’empêche de faire le produit de matrices non carrées POUR PEU QUE LE
NOMBRE DE COLONNES DE LA PREMIERE SOIT EGAL AU NOMBRE DE LIGNES
DE LA SECONDE !!!
En termes plus techniques, si
,
( )
n k
A M
et
,
( )
k m
B M
, alors le produit AB existe
et
,
( )
n m
AB M
.
Effectuez les produits de tous les couples de matrices obtenus avec les quatre matrices
suivantes, quand c’est possible.
1 2 3
0 1 1
1 0 1
A
 
 
=
 
 
 
,
1
0
1
B
 
 
=
 
 
 
,
2 0 1
1 1 2
C
 
=
 
 
et
(
)
013
D=
.
[seuls 9 produits sont possibles]
III Systèmes linéaires.
1. Systèmes 2x2 :
Rappels : On veut résoudre le système
10 4 3
6 2 5
x y
x y
+ =
+ = −
.
Procédés par substitution et combinaisons. On trouve 1
;1
2
S
 
 
=
 
 
 
 
.
Essayons de nous ramener à un produit matriciel :
En posant
10 4
6 2
A
 
=
 
 
,
x
X
y
 
=
 
 
et
3
5
B
 
=
 
 
, on trouve AX=B. Il faudrait être capable de
calculer l’inverse de A pour trouver directement X. En effet,
5
1 1 1
I
A A X A B X A B
− −
= ⇔ =
Dans ce cas, on a
1
2
1
3 5
2 2
1
A
 
=
 
 
.
A quelle condition un système n’a pas de solutions ? A quelle condition y en a-t-il une
infinité ? Se ramener à un problème de colinéarité des vecteurs directeurs des deux droites.
Introduction du déterminant.
Définition : Soit
a b
A
c d
 
=
 
 
une matrice carrée d’ordre 2. On appelle déterminant
de A le réel
(
)
det
A ad cb
= −
.
2. Systèmes 3x3 :
Extension de la théorie précédente avec une vision dans l’espace. Nombre de cas
possibles ?
Essayons de résoudre le système suivant :
2 0
2 4
4
x y z
x y
x y z
+ =
+ =
= −
[…] Rappel des deux méthodes : opérations sur les lignes et les colonnes, substitution.
On obtient
{(1,2,3)}
S
=
.
IV Inverse d’une matrice.
Remarque : La notion d’inverse n’a de sens que sur des matrices carrées !
1. En dimension 2 : On a le théorème suivant issu du programme :
Proposition (4.A) : Soit
a b
A
c d
 
=
 
 
une matrice carrée d’ordre 2. La matrice A est
inversible si et seulement si
(
)
det 0
A
et
1
1
det( )
d b
A
c a
A
 
=
 
 
2. Le cas particulier des polynômes annulateurs :
Imaginons que l’on sache à l’avance que A est telle que
2
3 0
A A I
+ − =
. Alors on a
facilement que
( 3 )
A A I I
+ =
et donc
1
3
A A I
= +
(piece of cake !)
Cette méthode se généralise sans problème à des polynômes de degrés plus élevés. (En
fait, on peut montrer que toute matrice d’ordre n possède un polynôme annulateur de degré n).
Exercez-vous sur
4 2
1 3
A
 
=
 
 
(on trouve
2
7 10 0
A A I
− − =
et
3
1
10 5
1
1 2
10 5
A
 
=
 
 
)
3. Le cas général :
Dans le cas général, il existe des méthodes pour inverser des matrices d’ordre n. Ces
méthodes ne sont pas au programme de terminale. Il est toutefois intéressant de commencer à
s’y habituer et cela peut permettre de vérifier certains calculs sur des systèmes 3x3 par
exemple.
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