Exercices – Polynômes du second degré

Exercices – Polynômes du second degré
Exercice 6 Equations paramétrées
I – Equations du second degré
Savoir-faire 1 : Ecrire sous forme canonique un polynôme du second degré
Exercice 1 Donner la forme canonique des polynômes suivants
𝑓 (𝑥) = 6𝑥 2 + 12𝑥 − 5
ℎ(𝑥) = 6 − 𝑥 + 3𝑥²
𝑔(𝑥) = −2𝑥 2 + 8𝑥 + 5
𝑘 (𝑥) = −2𝑥 + 7 − 8𝑥²
Exercice 2 Algorithmique
On souhaite écrire un algorithme qui calculera les coefficients 𝛼 et 𝛽 qui nous
permettent de donner la forme canonique d’un polynôme.
1. Quelles sont les variables qui seront utilisées par l’algorithme ?
2. Quelles sont les variables l’algorithme doit-il demander à l’utilisateur ?
3. Quelles relations lient les coefficients calculés par l’algorithme et les
variables saisies par l’utilisateur ?
4. Ecrire cet algorithme et le programmer sur la calculatrice. Vérifier alors le
fonctionnement de cet algorithme sur les résultats obtenus à l’exercice 1.
1. Déterminer le réel 𝑎 tel que l’équation 𝑎𝑥 2 + 2𝑥 − 7 = 0 n’admette
qu’une seule solution. Quelle est cette solution ?
2. Déterminer tous les réels 𝑏 tels que l’équation 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 5 = 0 n’ait
aucune solution.
3. Déterminer tous les réels 𝑐tels que l’équation −𝑥 2 + 𝑥 + 𝑐 = 0 n’ait pas
de solution.
4. Montrer que ∀𝑎 ∈ ℝ∗ , 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 𝑎 = 0 admet deux solutions réelles.
5. Déterminer par disjonction de cas, selon les valeurs du réel 𝑚, les solutions
de l’équation :
(𝐸𝑚 ) ∶ (𝑚 − 1)𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 𝑚 + 3 = 0
Exercice 7 Logique
Justifier, pour chacune des affirmations suivantes, si elles sont vraies ou fausses.


Savoir-faire 2 : Résoudre une équation du second degré
Exercice 3 Résoudre les équations suivantes
15𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0
6 − 7𝑥 + 5𝑥 2 = 0
3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 = 0
−2𝑥 + 𝑥 2 − 15 = 0
4𝑥 2 + 21 − 20𝑥 = 0
−7𝑥 − 2 + 4𝑥 2 = 0
Exercice 4 Parmi ces équations, lesquelles ont les mêmes solutions ?
(𝐸1 ): 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
(𝐸3 ) : − 𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0
(𝐸2 ): 𝑥 2 − 3𝑥 − 2 = 0
(𝐸4 ): 2𝑥 2 + 6𝑥 − 4 = 0
Exercice 5 Algorithmique
Ecrire un algorithme qui demandera de saisir les coefficients 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et qui calcule
puis affiche les valeurs de ∆ et des solutions si elles existent, ou le message « Cette
équation n’admet pas de racine réelle » sinon.

Soit 𝑃 (𝑥) est 𝑄(𝑥) deux polynômes du second degré. Si 𝑃 (𝑥) et 𝑄 (𝑥)ont
les mêmes racines, alors pour réel 𝑥, 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥).
Soit une équation du second degré. Si cette équation a son discriminant
nul, alors elle a une seule solution.
Si 𝑎 et 𝑐 sont de signes contraires, alors l’équation 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 a
deux solutions.
Exercice 8 Résoudre les équations suivantes
1
=5
𝑥−3
𝑥2 − 𝑥 7 − 𝑥2
(𝐸3 ) :
−
=7
5
6
𝑥
21
47
+
=
7 𝑥+5
7
𝑥 2 𝑥 + 3 19
(𝐸4 ) :
−
=
3
4
3
(𝐸5 ): 𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥 = 0
(𝐸6 ): (𝑥 2 − 5𝑥 − 14)(9𝑥 2 + 9𝑥 − 10) = 0
(𝐸1 ): 𝑥 +
(𝐸2 ) :
Savoir-faire 3 : Résoudre un problème du second degré
Exercice 9 Déterminer trois nombres entiers consécutifs, sachant que la somme
des carrés de ces nombres est égale à 1 877.
Exercices – Polynômes du second degré
Exercice 10 La somme d’un réel et de son carré vaut 380. Quelles sont les valeurs
possibles de ce réel ?
II – Factorisation et signe d’un trinôme
Savoir-faire 4 : Factoriser un polynôme du second degré
Exercice 11 Quelle valeur doit prendre la largeur de la croix
pour que son aire soit égale à l’aire restante du drapeau ?
Exercice 19 Factoriser, lorsque c’est possible, les polynômes du second degré
𝐶 (𝑥) = 4𝑥 2 + 28𝑥 + 49
𝐸(𝑥) = 7𝑥 − 3𝑥 2 − 4
𝐺 (𝑥) = 4𝑥 2 + 36𝑥 + 81
Exercice 12 Un moteur fournit une certaine puissance 𝑃,
sous une tension 𝑈, grâce à un circuit électrique de
résistance 𝑅.
Avec une tension 𝑈 = 220 𝑉 et une résistance 𝑅 = 10 Ω,
quelles sont les intensités 𝐼 du courant qui fournissent
une puissance 𝑃 = 10 𝑊 ?
𝐷(𝑥) = 5𝑥 2 + 11𝑥 − 12
𝐹 (𝑥) = −3𝑥 2 + 15𝑥 − 18
𝐻(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2
Exercice 20 Génération de polynôme
Exercice 13 Des participants à une conférence ont échangé des poignées de mains
et l’un d’eux a compté qu’il y avait eu en tout 325 poignées de mains. Combien de
personnes ont assisté à la conférence ?
Exercice 14 On divise 1 075 par un entier 𝑛 : le quotient trouvé est 𝑛 − 5 et le reste
est égal à 𝑛 − 10. Déterminer l’entier 𝑛.
Exercice 15 Déterminer deux nombres entiers consécutifs dont le produit est 702.
Exercice 16 Dans un repère orthonormé, on donne les points 𝐴(0; −2) et 𝐵(3; 2).
𝑀 est un point de l’axe des abscisses. Déterminer les positions du point 𝑀 tel que
le triangle 𝐴𝐵𝑀 soit rectangle en 𝑀.
Exercice 17 Le périmètre d’un triangle rectangle est 80 𝑚 et la somme des deux
côtés de l’angle droit est 46 𝑚. Déterminer les trois côtés de ce triangle.
1
Exercice 18 Soit Γ la courbe représentative de la fonction inverse 𝑥 ⟼ 𝑥 sur
9 9
l’intervalle ]0; +∞[ et le point 𝐼 (8 ; 4).on cherche à montrer qu’il existe deux
points 𝐴 et 𝐵 appartenant à la courbe Γ qui sont symétriques par rapport à 𝐼.
1. On note 𝑎 l’abscisse de 𝐴. Quelle est l’ordonnée de 𝐴 ?
9
9
1
4
2
𝑎
2. Montrer alors que 𝐵 a pour coordonnée : ( − 𝑎; − ).
3. Montrer que 𝐵 ∈ Γ ⇔ 4𝑎2 − 9𝑎 + 2 = 0. Conclure.
1. Proposer une fonction polynômiale du second degré de racines 2 et 7.
2. Proposer une fonction polynômiale du second degré de racine double 4.
3. Donner l’expression de la fonction polynômiale du second degré 𝑓 ayant
pour racines −1 et 2 et telle que 𝑓 (0) = 1.
Exercice 21
1. Factoriser le polynôme 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3.
2. Résoudre algébriquement l’équation : 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 9).
3. Représenter sur une calculatrice les courbes d’équations 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3
et 𝑦 = 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 9).
4. Conjecturer les abscisses des points d’intersection de ces deux courbes. Les
résultats obtenus sont-ils cohérents avec la résolution algébrique
effectuée plus haut ?
Savoir-faire 5 : Déterminer le signe d’un trinôme du second degré
Exercice 22 Déterminer selon les valeurs de 𝑥, le signe de chacun des polynômes
1
𝑔(𝑥) = 5𝑥 2 + 6𝑥 + 11
𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3
3
ℎ (𝑥) = −2𝑥 2 − 12𝑥 − 18
𝑘(𝑥) = −4𝑥 2 − 9𝑥
Savoir-faire 6 : Résoudre des inéquations du second degré
Exercice 23 Résoudre les inéquations suivantes
(𝑥 + 2)(2𝑥 − 3) ≥ 0
𝑥 2 + 9𝑥 ≤ 10
2
(𝑥 + 4)2 − 25 < 0
2𝑥 ≥ 3 − 8𝑥
2
(1 − 4𝑥 ) > (2𝑥 + 1)²
𝑥 2 − 12𝑥 > 0
Exercices – Polynômes du second degré
III – Représentation graphique d’une fonction polynôme du second
degré
Savoir-faire 7 : Déterminer les caractéristiques de la parabole
Exercice 24 Pour chacune des fonctions polynômiales suivantes, préciser les
coordonnées du sommet ; les coordonnées des points d’intersection avec l’axe des
abscisses ; l’équation de l’axe de symétrie de la parabole qui les représente.
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 1
ℎ(𝑥) = 3 + 7𝑥 − 𝑥 2
𝑔(𝑥) = 4𝑥 2 + 6𝑥
𝑗 (𝑥) = −5𝑥 2 + 4𝑥 − 1
Exercice 25 Algorithmique
Ecrire un algorithme qui demandera de saisir les coefficients 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et qui
donnera les caractéristiques (sommet, signe, axe de symétrie) d’une parabole
représentative de la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Exercice 26 Parabole paramétrée
Déterminer le réel 𝑎 pour que la parabole d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 3𝑥 − 2 ait un seul
point d’intersection avec l’axe des abscisses.
Exercice 27 Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓 (𝑥) = −2𝑥 2 + 4𝑥 + 3 et Γ la
parabole représentant 𝑓. Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 4 et ∆ la
droite représentant 𝑔.
1. Déterminer par le calcul les coordonnées des points de Γ ∩ ∆.
2. Déterminer par le calcul la position relative Γ et par rapport à Δ.
Exercice 28 Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 et Γ la parabole
représentant 𝑓. Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 + 𝑥 + 10 et Γ’ la
parabole représentant 𝑔.
1. Déterminer par le calcul les coordonnées des points de Γ ∩ Γ′.
2. Déterminer par le calcul la position relative Γ et par rapport à Γ′.
Savoir-faire 8 : Utiliser la forme la plus adapté du polynôme
Exercice 29 Déterminer une expression de la fonction polynôme du second degré
𝑓, représentée par la parabole qui a pour sommet le point 𝑆 (−2; 3) et qui passe
par le point 𝐴(−1; 4).
Exercice 30 Déterminer une expression de la fonction polynôme du second degré
𝑓, représentée par la parabole qui coupe l’axe des abscisses aux points 𝐴(−3; 0)
et 𝐵(5; 0) et l’axe des ordonnées au point 𝐶 (0; 30).
Exercice 31 Déterminer une expression de la fonction polynôme du second degré
𝑓, représentée par la parabole passant par les points 𝐴(1; 8), 𝐵 (−1; 6) et 𝐶 (2; 0).
Exercice 32 Chacune des deux paraboles tracées cicontre est la représentation graphique d’une
fonction polynôme du second degré.
Déterminer l’expression de chacune de ces
fonctions.
Préciser laquelle est concave, laquelle est convexe
en justifiant.
Exercice 33 On donne le tableau de variation d’une fonction polynôme du second
degré 𝑓.
Donner une expression possible de 𝑓(𝑥).
Exercice 34 Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 − 13.
Montrer que 𝑓 admet un extremum et préciser sa valeur.
Exercices – Polynômes du second degré
Problème IV Recherche de salaire
Problème I Distance minimale
Dans un repère orthonormé, on trace la parabole P d’équation 𝑦 = 2𝑥² et la droite
D d’équation 𝑦 = 3𝑥 − 4.
1. Démontrer que P et D ne se coupent pas et que P est au-dessus de D.
2. 𝑀 et 𝑁 sont deux points de même abscisse 𝑎 appartenant respectivement
à P et à D.
a. Exprimer en fonction de 𝑎 la longueur du segment [𝑀𝑁].
b. Comment choisir 𝑎 pour que la distance 𝑀𝑁 soit minimale ?
Problème II Equations bicarrées
Un polynôme qui ne contient que les termes 𝑥 2 , 𝑥 4 et une constante est un
polynôme bicarré, comme par exemple : 𝑔(𝑥) = 𝑥 4 + 3𝑥 2 + 1.
1. On veut résoudre l’équation (𝐸 ): 2𝑥 4 + 𝑥 2 − 6 = 0.
a. Pour cela on effectue un changement de variable. Poser 𝑢 = 𝑥²et
résoudre l’équation associée d’inconnue 𝑢.
b. Pourquoi ne doit-on retenir que les valeurs positives de 𝑢 ?
c. En déduire les solutions de (𝐸 ).
2. Résoudre par le même procédé l’équation bicarrée : 𝑥 4 + 4𝑥 2 − 5 = 0.
Problème III Distance maximale
Dans un repère orthonormé, on trace la parabole P
d’équation 𝑦 = 𝑥² sur laquelle se trouvent deux points 𝐴 et
𝐵 variables. On considère un point 𝑀 sur le segment [𝐴𝐵] et
𝑁 le point de P de même abscisse que 𝑀. On appelle 𝑎, 𝑏 et
𝑥 les abscisses respectives des points 𝐴, 𝐵 et 𝑀.
1. Déterminer une équation de la droite (𝐴𝐵).
2. Déterminer les coordonnées des points 𝑀 et 𝑁.
3. Ecrire, en fonction de 𝑥, la distance 𝑀𝑁.
4. En déduire la valeur de 𝑥 telle que la valeur de 𝑀𝑁 soit maximale et la
position du point 𝑀 correspondant. Donner alors la valeur de la distance
maximale.
Deux frères travaillent dans le même atelier. Le plus grand reçoit 500€ après un
certain nombre de jours de travail. Le plus petit, qui travaille cinq jours de moins,
ne reçoit que 240€. Sachant que le salaire quotidien du petit est inférieur de 8€ à
celui du grand, déterminer le nombre de jours de travail et le salaire quotidien de
chacun.
Problème V Maximum d’une aire de triangle
𝑓 est la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 + 24𝑥 − 21
et P est sa courbe représentative dans un repère du plan.
Les points d’intersection 𝐴 et 𝐵 de P et de l’axe des abscisses
respectives 1 et 7. On considère le point 𝑀 de P d’abscisse
𝑚 comprise entre 1 et 7.
On se propose de déterminer la position du point 𝑀 pour laquelle l’aire 𝑆(𝑚) de la
surface du triangle 𝐴𝑀𝐵 est maximale.
1.
2.
3.
4.
Montrer que 𝑆(𝑚 ) = 3𝑓(𝑚).
En déduire la valeur de 𝑚 pour laquelle l’aire 𝑆 (𝑚 ) est maximale.
Préciser alors la position du point 𝑀 recherché.
Calculer l’aire maximale du triangle 𝐴𝑀𝐵.
Problème VI Une proposition d’Euclide
La proposition XI du livre II des Eléments d’Euclide expose le problème
suivant : « partager une droite donnée de manière que le rectangle compris sous
la droite entière et l’un de ses segments soit égal au carré de l’autre segment ».
Puis il résout ce problème par un raisonnement géométrique.
1. Montrer que ce problème géométrique revient à résoudre (𝑎 − 𝑥)2 = 𝑎𝑥.
Aide : « couper une droite » c’est partager un segment [𝐴𝐵].
2. Résoudre cette équation et donner la solution du problème d’Euclide.