Algèbre linéaire et orthogonalité

PCSI2
2010/2011
Algèbre linéaire et orthogonalité
1
Systèmes linéaires


16
28
32
8
On donne (a, b, c) ∈ R3 , A = −10 −18 −22, B = −6
1
2
3
1

1.1



4 a
−3 −6 −9
−2 b  et C =  4
6
4.
0 c
32 56 64
Équation AM = B
On considère l’équation AM = B, à l’inconnue M ∈ M3 (R).
1. La matrice A est-elle inversible ? Quel est son rang ? À quelle condition sur les colonnes de B y a-t-il
des solutions ? Combien faut-il alors de paramètres pour les exprimer ?
2. Essayer linsolve(A,B). Pourquoi est-ce que ça ne marche pas ?
3. Créer la concaténation des matrices A et B et lui appliquer la commande gausselim ; en déduire la
condition nécessaire et suffisante de compatibilité du système.
4. Connaissant la condition nécessaire et suffisante de compatibilité, trouver M grâce à linsolve(A,B).
1.2
Équation MA = C
On considère maintenant l’équation M A = C, à l’inconnue M ∈ M3 (R).
La transformer en une équation « dans le bon sens ». Pourquoi peut-on demander à Maple de travailler
seul cette fois-ci ? N’oubliez pas de vérifier que les solutions trouvées conviennent.
1.3
Puissances de A
1. Demander à Maple de calculer A2 , A3 , A17 , An . Pourquoi est-ce que ça bloque ?
2. Déterminer le polynôme minimal de A (minpoly(A,X)). En déduire l’expression de An pour n ∈ N∗ .
Cette formule est-elle encore vraie pour n = 0 ? Pour n < 0 ?
2
Commutant d’une matrice


1 1 1
On considère la matrice A = 0 2 1.
0 0 3
Déterminer son commutant, i.e. l’ensemble des matrices M vérifiant AM = M A.
Indications :
– la commande M:=matrix(3,3) crée une matrice (3, 3) dont les coefficients ne sont affectés à aucune
valeur.
– L’équation AM = M A s’écrit encore AM − M A = 0.
– Pour obtenir l’ensemble des coefficients d’une matrice, on peut utiliser l’instruction convert(B,set),
ou calculer la séquence de ses coefficients en faisant varier l’indice ligne et l’indice colonne (il faut faire
varier deux indices, donc utiliser deux fois la commande seq). Pratiquez les deux méthodes !
– Pour résoudre un système d’équation, nul besoin qu’il y ait les « = 0 » dans les équations...
1
3
Équation cartésienne d’une courbe
On considère la courbe paramétrée t 7→ M (t) définie par
x(t) = −t + t2 = P1 (t),
y(t) = −3t2 + 2t3 = P2 (t).
On cherche une équation cartésienne polynomiale (s’il en existe) de la trajectoire Γ de cette courbe,
i.e. un polynôme Q (non nul)
P à deux variables vérifiant : ∀t ∈PR, Q(x(t), y(t)) = 0. Si le polynôme Q
s’écrit sous la forme Q = i,j ai,j X i Y j , on veut donc avoir i,j ai,j P1i (t)P2j (t) = 0 pour tout réel t,
P
ou encore que le polynôme i,j ai,j P1i P2j soit nul. Autrement dit, on cherche une combinaison linéaires
des polynômes P1i P2j qui soit nulle. Par exemple, chercher un polynôme Q solution de degré 1 revient à
chercher une combinaison linéaire des polynômes 1, P1 et P2 qui soit nulle. Pour cela, on écrira la liste des
coefficients de chacun de ces polynômes (jusqu’à quel degré faut-il coder les coefficients ?), dont on fera la
concaténation, pour obtenir une matrice à 3 colonnes (chaque colonne représentant l’un des polynômes).
À quoi revient alors de trouver une combinaison linéaire des colonnes égale à 0 ?
Évidemment, on ne trouve pas de telle combinaison. Cherchez-en une avec un polynôme Q de degré 2,
puis de degré 3 si c’est encore infructueux...
4
Orthonormalisation et distance
R1
On se place dans l’espace R[X], muni du produit scalaire défini par hP | Qi = 0 P Q.
– Écrire une procédure scal à deux paramètres, les polynômes P et Q, retournant le produit scalaire
hP | Qi. On conviendra d’écrire les polynômes en l’indéterminée X, de façon à savoir quelle variable
d’intégration utiliser pour le calcul.
– Écrire une procédure Gram à un paramètre, une liste l, qui représentera une famille libre, retournant
l’orthogonalisée de cette famille (orthogonalisée plutôt qu’orthonormalisée pour éviter de faire apparaître
des racines carrées. Cette famille est obtenue en « redressant » uniquement chacun des vecteurs de la
famille de départ, sans les rendre unitaires. Si la famille de départ est (e1 , . . . , ep ), son orthogonalisée est
donc définie par
k−1
X hek | εi i
ε1 = e1
et
εk = ek −
εi pour k ∈ [[2, p]] :
hεi | εi i
i=1
en effet, les vecteurs εk n’étant pas unitaires, il faut utiliser les vecteurs ||ε1k || εk pour la projection orthogonale).
La procédure devra s’appliquer à une liste de longueur quelconque. Pour calculer la somme intervenant
dans la définition des vecteurs « redressés », on utilisera la fonction add et non la fonction sum, ou on
écrira une boucle.
Application : calculer le minimum de l’intégrale
Z 1
t6 − at4 − bt2 − c)2 dt
0
lorsque a, b, c parcourent R. Représenter également sur la même figure les graphes des fonctions t 7→ t6 et
t 7→ at4 + bt2 + c sur l’intervalle [0, 1] et sur l’intervalle [0, 2] (où a, b, c sont les valeurs calculées ci-dessus).
2