Algèbre linéaire et orthogonalité

PCSI2 2010/2011
Algèbre linéaire et orthogonalité
1 Systèmes linéaires
On donne (a, b, c)∈R3,A=
16 28 32
−10 −18 −22
123
,B=
8 4 a
−6−2b
1 0 c
et C=
−3−6−9
4 6 4
32 56 64
.
1.1 Équation AM =B
On considère l’équation AM =B, à l’inconnue M∈M3(R).
1. La matrice Aest-elle inversible ? Quel est son rang ? À quelle condition sur les colonnes de By a-t-il
des solutions ? Combien faut-il alors de paramètres pour les exprimer ?
2. Essayer linsolve(A,B). Pourquoi est-ce que ça ne marche pas ?
3. Créer la concaténation des matrices Aet Bet lui appliquer la commande gausselim ; en déduire la
condition nécessaire et suffisante de compatibilité du système.
4. Connaissant la condition nécessaire et suffisante de compatibilité, trouver Mgrâce à linsolve(A,B).
1.2 Équation M A =C
On considère maintenant l’équation M A =C, à l’inconnue M∈M3(R).
La transformer en une équation « dans le bon sens ». Pourquoi peut-on demander à Maple de travailler
seul cette fois-ci ? N’oubliez pas de vérifier que les solutions trouvées conviennent.
1.3 Puissances de A
1. Demander à Maple de calculer A2,A3,A17,An. Pourquoi est-ce que ça bloque ?
2. Déterminer le polynôme minimal de A(minpoly(A,X)). En déduire l’expression de Anpour n∈N∗.
Cette formule est-elle encore vraie pour n= 0 ? Pour n < 0 ?
2 Commutant d’une matrice
On considère la matrice A=
1 1 1
0 2 1
0 0 3
.
Déterminer son commutant,i.e. l’ensemble des matrices Mvérifiant AM =MA.
Indications :
– la commande M:=matrix(3,3) crée une matrice (3,3) dont les coefficients ne sont affectés à aucune
valeur.
– L’équation AM =MA s’écrit encore AM −MA = 0.
– Pour obtenir l’ensemble des coefficients d’une matrice, on peut utiliser l’instruction convert(B,set),
ou calculer la séquence de ses coefficients en faisant varier l’indice ligne et l’indice colonne (il faut faire
varier deux indices, donc utiliser deux fois la commande seq). Pratiquez les deux méthodes !
– Pour résoudre un système d’équation, nul besoin qu’il y ait les « = 0 » dans les équations...
1

3 Équation cartésienne d’une courbe
On considère la courbe paramétrée t7→ M(t) définie par
x(t) = −t+t2=P1(t), y(t) = −3t2+ 2t3=P2(t).
On cherche une équation cartésienne polynomiale (s’il en existe) de la trajectoire Γ de cette courbe,
i.e. un polynôme Q(non nul) à deux variables vérifiant : ∀t∈R,Q(x(t), y(t)) = 0. Si le polynôme Q
s’écrit sous la forme Q=Pi,j ai,j XiYj, on veut donc avoir Pi,j ai,j Pi
1(t)Pj
2(t) = 0 pour tout réel t,
ou encore que le polynôme Pi,j ai,j Pi
1Pj
2soit nul. Autrement dit, on cherche une combinaison linéaires
des polynômes Pi
1Pj
2qui soit nulle. Par exemple, chercher un polynôme Qsolution de degré 1 revient à
chercher une combinaison linéaire des polynômes 1, P1et P2qui soit nulle. Pour cela, on écrira la liste des
coefficients de chacun de ces polynômes (jusqu’à quel degré faut-il coder les coefficients ?), dont on fera la
concaténation, pour obtenir une matrice à 3 colonnes (chaque colonne représentant l’un des polynômes).
À quoi revient alors de trouver une combinaison linéaire des colonnes égale à 0 ?
Évidemment, on ne trouve pas de telle combinaison. Cherchez-en une avec un polynôme Qde degré 2,
puis de degré 3 si c’est encore infructueux...
4 Orthonormalisation et distance
On se place dans l’espace R[X], muni du produit scalaire défini par hP|Qi=R1
0P Q.
– Écrire une procédure scal à deux paramètres, les polynômes Pet Q, retournant le produit scalaire
hP|Qi. On conviendra d’écrire les polynômes en l’indéterminée X, de façon à savoir quelle variable
d’intégration utiliser pour le calcul.
– Écrire une procédure Gram à un paramètre, une liste l, qui représentera une famille libre, retournant
l’orthogonalisée de cette famille (orthogonalisée plutôt qu’orthonormalisée pour éviter de faire apparaître
des racines carrées. Cette famille est obtenue en « redressant » uniquement chacun des vecteurs de la
famille de départ, sans les rendre unitaires. Si la famille de départ est (e1,...,ep), son orthogonalisée est
donc définie par
ε1=e1et εk=ek−
k−1
X
i=1
hek|εii
hεi|εiiεipour k∈[[2, p]] :
en effet, les vecteurs εkn’étant pas unitaires, il faut utiliser les vecteurs 1
||εk|| εkpour la projection ortho-
gonale).
La procédure devra s’appliquer à une liste de longueur quelconque. Pour calculer la somme intervenant
dans la définition des vecteurs « redressés », on utilisera la fonction add et non la fonction sum, ou on
écrira une boucle.
Application : calculer le minimum de l’intégrale
Z1
0t6−at4−bt2−c)2dt
lorsque a, b, c parcourent R. Représenter également sur la même figure les graphes des fonctions t7→ t6et
t7→ at4+bt2+csur l’intervalle [0,1] et sur l’intervalle [0,2] (où a, b, c sont les valeurs calculées ci-dessus).
2