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CHAPITRE 3
LES SUITES
I. GENERALITES SUR LES SUITES :
Une suite de nombres peut être notée avec une lettre ( en général u , v ou w ).
Chaque nombre ayant sa place dans la suite , à la lettre symbolisant la suite , on ajoutera un indice n entier ,
qui indiquera la place du nombre dans la suite.
Exemple : La suite de nombres 1 ; 4 ; 7 ; 10 …. sera symbolisée par la lettre u.
Le premier terme de cette suite, 1 , pourra être noté u0 et alors on a : u0 = 1 ; u1 = 4 ; u2 = 7 …
Le premier terme de cette suite peut aussi être noté u1 et alors on a : u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 7 …
La suite de nombre 1 ; 4 ; 7 ; 10 sera appelée la suite ( un ) n  IN ou ( un ).
Chaque nombre 1 ; 4 ; 7 …. est un terme de la suite ( un ).
1) Définition :
Une suite peut être définie de deux manières différentes :
 soit par une expression donnant le terme un en fonction de n ( forme explicite )
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exemple : un = – 2n +
on a alors une relation de la forme un = f(n).
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on peut, grâce à cette formule, calculer facilement n'importe quel terme de la suite .
1
3
1
99
u1 = – 2  1 + = –
; u25 = – 2  25 + = –
.
2
2
2
2
 soit par son premier terme ( ou un autre ) et une relation entre des termes de la suite
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exemple : u1 = 1 et un+1 = un
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Une relation du type un+1 = f (un) est une relation de récurrence.
On dit alors que la suite est définie par récurrence.
On peut alors calculer n'importe quel terme de la suite à condition de connaitre
les précédents.
1
1
1
u2 =  u1 = ; u25 = u24 il faudra donc connaître les 24 premiers termes pour
2
2
2
pouvoir calculer le 25è avec la relation de récurrence.
2) Sens de variation :
On dira qu'une suite ( un )n  IN est croissante ( respectivement strictement croissante) si ,
pour tout entier naturel n , on a un+1  un ( respectivement un+1 > un ) .
On dira qu'une suite ( un )n  IN est décroissante si , pour tout entier naturel n , on a un+1  un .
On dira qu'une suite ( un )n  IN est ( strictement ) monotone si elle est ( strictement ) croissante
ou ( strictement ) décroissante .
Remarque :
un+1  un  un+1 – un  0
et un+1  un  un+1 – un  0
Pour étudier le sens de variation d'une suite ( un )n  IN il suffira d'étudier le signe de la
différence un+1 – un .
Si cette différence est positive , la suite ( un )n  IN sera croissante.
Si cette différence est négative , la suite ( un )n  IN sera décroissante.
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Exemples :
a) u0 = 4 et un+1 = un – 2 . Etudier le sens de variation de cette suite ( un )n  IN .
un+1 – un = – 2  0 donc la suite ( un )n  IN est décroissante.
b) vn = 2 + 3n pour n  IN . Etudier le sens de variation de cette suite ( vn )n  IN .
vn+1 = 2 + 3 ( n + 1 ) = 2 + 3n + 3 = vn + 3 donc vn+1 – vn = 3.
La suite ( vn )n  IN est donc croissante.
3) Représentation graphique :
Représenter graphiquement la suite (un ), c'est placer les points de coordonnées ( n ; f(n) ) .
Exemple : Représenter la suite définie par un = 2n² – 7n + 3 pour n  0 .
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II. LES SUITES ARITHMETIQUES :
1) Rappels :
a) Définition :
Une suite arithmétique notée ( un ) où n est un entier naturel est une suite dans laquelle chaque terme
sauf le premier ( noté u0 ) est obtenu en ajoutant au terme précédent un nombre réel non nul a appelé
la raison de la suite.
b) Notation :
( un ) définie par :
u0
terme initial
un + 1 = un + a ,
pour tout n entier naturel
raison
terme de rang n+1
Remarque :
terme de rang n
un+1 – un = a donc une constante.
On utilisera cette remarque pour démontrer qu'une suite est arithmétique.
c) Exemples :
1) Montrer que la suite ( un )n  IN définie par
 u0 = 2

 un+1 = un
+ 3 est une suite arithmétique
de raison 3.
un+1 – un = 3 donc la suite ( un )n  IN est une suite arithmétique de raison 3.
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2) La suite ( un )n  IN définie par un = n – 6 est–elle une suite arithmétique ?
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un+1 =
3
27
3
n–
; un+1 – un =
5
5
5
donc la suite ( un )n  IN est une suite arithmétique de raison
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et de premier terme u0 = – 6.
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d) Représentation graphique :
Dans la représentation graphique d'une suite arithmétique, les points sont alignés.
On a un = u0 + n a donc la fonction f associée est définie par f(x) = u0 + x  a = a x + u0 .
Une telle fonction est bien une fonction affine représentée par la droite d'équation
y = a x + u0 . Cette droite a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine u0 .
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Exemple : Représenter la suite ( un )n  IN définie par un = n – 6
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e) Sens de variation :
Il est le même que celui des fonctions affines, à savoir,
Si a > 0 la suite sera croissante ; si a < 0 la suite sera décroissante
et si a = 0 la suite est constante.
2) Expression de u n en fonction de n :
+a
u0
+a
u1
+a
u2
+a
u3
………..……. un–1
un
un = u0 + n  a
Soit ( un ) une suite arithmétique définie par son terme initial u0 et sa raison r.
On a alors : un = u0 + n  a
n  IN
Remarque :
Si le premier terme est u1 alors on a un = u1 + ( n – 1 )  a n  IN *
Petit truc : Dans la relation un = u0 + na
on a 0 + n = n
Dans la relation un = u1 + ( n – 1 ) a on a 1 + ( n – 1 ) = n
un = up + ( n – p )  a
Exemples : Dans tout l’exercice ( un ) désigne une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison a.
a)
b)
c)
d)
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u0 = – 6 et a = 4.
u0 = 2 et u13 = 67.
u5 = 3 et u15 = – 27 .
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u22 = 15 et a = .
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Calculer u7 et u20.
Calculer a .
Calculer a et u0.
Expliciter le terme général un .
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3) Somme de termes consécutifs :
S = up + up+1 +
up+2 + … + un
a) Déterminer le nombre de termes de la somme :
Pour déterminer la nombre de termes de la somme S = up + up+1 +
il faut calculer n – p + 1.
up+2 + … + un
Exemple : Déterminer le nombre de termes de la somme S = u15 + u16 + u17 + … + u32.
Il suffit de calculer 32 – 15 + 1 = 18. Cette somme comporte 18 termes.
b) Les méthodes pour calculer une somme :
 On calcule tous les termes et on les additionne.
 On utilise un tableur ou une calculette pour faire le calcul à notre place !
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Exemple : Calculer S = u15 + u16 + u17 + … + u32 avec un = n – 6.
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On peut calculer les 18 termes à la main mais cela risque d'être long !
Utilisons une calculette :
On tape donc
(3/5)
–6,
,15,32,1)
La calculette affiche 145,8 donc on a S = u15 + u16 + u17 + … + u32 = 145,8.
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