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Année 2015–2016 TSTMG Ch3 Les suites F.T.
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CHAPITRE 3 LES SUITES
I. GENERALITES SUR LES SUITES :
Une suite de nombres peut être notée avec une lettre ( en général u , v ou w ).
Chaque nombre ayant sa place dans la suite , à la lettre symbolisant la suite , on ajoutera un indice n entier ,
qui indiquera la place du nombre dans la suite.
Exemple : La suite de nombres 1 ; 4 ; 7 ; 10 …. sera symbolisée par la lettre u.
Le premier terme de cette suite, 1 , pourra être noté u0 et alors on a : u0 = 1 ; u1 = 4 ; u2 = 7 …
Le premier terme de cette suite peut aussi être noté u1 et alors on a : u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 7 …
La suite de nombre 1 ; 4 ; 7 ; 10 sera appelée la suite ( un ) n
IN ou ( un ).
Chaque nombre 1 ; 4 ; 7 …. est un terme de la suite ( un ).
1) Définition :
Une suite peut être définie de deux manières différentes :
 soit par une expression donnant le terme un en fonction de n ( forme explicite )
exemple : un = – 2n + 1
2 on a alors une relation de la forme un = f(n).
on peut, grâce à cette formule, calculer facilement n'importe quel terme de la suite .
u1 = – 2 1 + 1
2 = – 3 2 ; u25 = – 2
25 + 1
2 = – 99 2 .
 soit par son premier terme ( ou un autre ) et une relation entre des termes de la suite
exemple : u1 = 1 et un+1 = 1
2 un
Une relation du type un+1 = f (un) est une relation de récurrence.
On dit alors que la suite est définie par récurrence.
On peut alors calculer n'importe quel terme de la suite à condition de connaitre
les précédents.
u2 = 1
2
u1 = 1
2 ; u25 = 1 2 u24 il faudra donc connaître les 24 premiers termes pour
pouvoir calculer le 25è avec la relation de récurrence.
2) Sens de variation :
On dira qu'une suite ( un )n
IN est croissante ( respectivement strictement croissante) si ,
pour tout entier naturel n , on a un+1 un ( respectivement un+1 > un ) .
On dira qu'une suite ( un )n
IN est décroissante si , pour tout entier naturel n , on a un+1
un .
On dira qu'une suite ( un )n
IN est ( strictement ) monotone si elle est ( strictement ) croissante
ou ( strictement ) décroissante .
Remarque : un+1 un un+1 – un 0 et un+1 un un+1 – un 0
Pour étudier le sens de variation d'une suite ( un )n
IN il suffira d'étudier le signe de la
différence un+1 – un .
Si cette différence est positive , la suite ( un )n
IN sera croissante.
Si cette différence est négative , la suite ( un )n
IN sera décroissante.

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Exemples :
a) u0 = 4 et un+1 = un – 2 . Etudier le sens de variation de cette suite ( un )n
IN .
un+1 – un = – 2 0 donc la suite ( un )n
IN est décroissante.
b) vn = 2 + 3n pour n IN . Etudier le sens de variation de cette suite ( vn )n
IN .
vn+1 = 2 + 3 ( n + 1 ) = 2 + 3n + 3 = vn + 3 donc vn+1 – vn = 3.
La suite ( vn )n
IN est donc croissante.
3) Représentation graphique :
Représenter graphiquement la suite (un ), c'est placer les points de coordonnées ( n ; f(n) ) .
Exemple : Représenter la suite définie par un = 2n² – 7n + 3 pour n 0 .

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II. LES SUITES ARITHMETIQUES :
1) Rappels :
a) Définition :
Une suite arithmétique notée ( un ) où n est un entier naturel est une suite dans laquelle chaque terme
sauf le premier ( noté u0 ) est obtenu en ajoutant au terme précédent un nombre réel non nul a appelé
la raison de la suite.
b) Notation :
( un ) définie par : u0 terme initial
un + 1 = un + a , pour tout n entier naturel
raison
terme de rang n+1 terme de rang n
Remarque : un+1 – un = a donc une constante.
On utilisera cette remarque pour démontrer qu'une suite est arithmétique.
c) Exemples :
1) Montrer que la suite ( un )n
IN définie par 
 u0 = 2
un+1 = un + 3 est une suite arithmétique
de raison 3.
un+1 – un = 3 donc la suite ( un )n
IN est une suite arithmétique de raison 3.
2) La suite ( un )n
IN définie par un = 3
5 n – 6 est–elle une suite arithmétique ?
un+1 = 3
5 n – 27 5 ; un+1 – un = 3 5
donc la suite ( un )n
IN est une suite arithmétique de raison 3
5 et de premier terme u0 = – 6.
d) Représentation graphique :
Dans la représentation graphique d'une suite arithmétique, les points sont alignés.
On a un = u0 + n a donc la fonction f associée est définie par f(x) = u0 + x a = a x + u0 .
Une telle fonction est bien une fonction affine représentée par la droite d'équation
y = a x + u0 . Cette droite a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine u0 .
Exemple : Représenter la suite ( un )n
IN définie par un = 3
5 n – 6

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e) Sens de variation :
Il est le même que celui des fonctions affines, à savoir,
Si a > 0 la suite sera croissante ; si a < 0 la suite sera décroissante
et si a = 0 la suite est constante.
2) Expression de un en fonction de n :
+ a + a + a + a
u0 u1 u2 u3 ………..……. un–1 un
un = u0 + n a
Soit ( un ) une suite arithmétique définie par son terme initial u0 et sa raison r.
On a alors : un = u0 + n a n IN
Remarque : Si le premier terme est u1 alors on a un = u1 + ( n – 1 ) a n IN *
Petit truc : Dans la relation un = u0 + na on a 0 + n = n
Dans la relation un = u1 + ( n – 1 ) a on a 1 + ( n – 1 ) = n
un = up + ( n – p ) a
Exemples : Dans tout l’exercice ( un ) désigne une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison a.
a) u0 = – 6 et a = 4. Calculer u7 et u20.
b) u0 = 2 et u13 = 67. Calculer a .
c) u5 = 3 et u15 = – 27 . Calculer a et u0.
d) u22 = 15 et a = 3
4. Expliciter le terme général un .

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3) Somme de termes consécutifs :
S = up + up+1 + up+2 + … + un
a) Déterminer le nombre de termes de la somme :
Pour déterminer la nombre de termes de la somme S = up + up+1 + up+2 + … + un
il faut calculer n – p + 1.
Exemple : Déterminer le nombre de termes de la somme S = u15 + u16 + u17 + … + u32.
Il suffit de calculer 32 – 15 + 1 = 18. Cette somme comporte 18 termes.
b) Les méthodes pour calculer une somme :
 On calcule tous les termes et on les additionne.
 On utilise un tableur ou une calculette pour faire le calcul à notre place !
Exemple : Calculer S = u15 + u16 + u17 + … + u32 avec un = 3
5 n – 6.
On peut calculer les 18 termes à la main mais cela risque d'être long !
Utilisons une calculette :
On tape donc
(3/5) –6, ,15,32,1)
La calculette affiche 145,8 donc on a S = u15 + u16 + u17 + … + u32 = 145,8.