TP5 (16/2)

5. Exercises TP5, 16 février 2017
Exercice 5.1. (i) Trouver une formule pour
1
1
1 1
1
+ + 2 + 3 + ... + n
1 2 2
2
2
et puis montrer votre formule par induction mathématique.
(ii) Soit a ∈ R. Trouver une formule pour 3a6 + 3a8 + 3a10 + 3a12 + . . . + 3a2n pour chaque
nombre naturel n ≥ 3. Et montrer cette formule directement, sans induction.
(iii) Prouver que
13 + 23 + . . . + n3 = [n(n + 1)/2]2
lorsque n est un nombre naturel positif.
Exercice 5.2. (i) Trouver le plus petit nombre naturel m tel que pour chaque nombre naturel n ≥ m
il existe deux nombres naturels s et t tels que n = 5s + 7t. Montrer !
(ii) Quels nombres naturels sont de la forme 6s + 8t où s et t sont des nombres naturels. Montrer
!
(iii) Pour quels nombres naturels n a-t-on n2 ≤ n!. Montrer !
Exercice 5.3. Trouver l’errreur.
Proposition: Pour chaque n ≥ 0 on a 3n = 1.
Preuve par induction généreuse.
Posons P (n) := ”3n = 1”. On veut montrer par induction que P (n) vrai pour chaque n ∈ N.
Début. C’est vraie pour n = 0 parce que 30 = 1.
Étape d’induction. Supposons P (m) vraie pour m = 0, 1, 2, . . . , n. Nous voulons montrer P (n+1)
vrai aussi. Nous supposons alors 30 = 1, 31 = 1, . . . , 3n−1 = 1 et 3n = 1. Alors
3n · 3n
1·1
3n+1 = 3n+n−(n−1) = n−1 =
=1
3
1
Conclusion: Par induction 3n = 1 pour chaque nombre naturel n,
Exercice 5.4. (i) Soient A et B deux matrices réelles 2×2 tels que AB = BA. Montrer par induction
que AB n = B n A pour chaque n.
(ii) Soit f : R → R une fonction différentiable telle que f 0 (x) = xf (x) et f (2) = 2. Trouver
une formule pour la valeur en x = 2 de la n-ième derivé f (n) , c.-à-d. de f (n) (2), et montrer cette
formule en utilisant induction..
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