TP5 (16/2)

5. Exercises TP5, 16 février 2017
Exercice 5.1.(i) Trouver une formule pour
1
1+1 2+1 22+1 23+. . . +1 2n
et puis montrer votre formule par induction mathématique.
(ii) Soit a∈R. Trouver une formule pour 3a6+ 3a8+ 3a10 + 3a12 +. . . + 3a2npour chaque
nombre naturel n≥3. Et montrer cette formule directement, sans induction.
(iii) Prouver que
13+ 23+. . . +n3= [n(n+ 1)/2]2
lorsque nest un nombre naturel positif.
Exercice 5.2.(i) Trouver le plus petit nombre naturel mtel que pour chaque nombre naturel n≥m
il existe deux nombres naturels set ttels que n= 5s+ 7t. Montrer !
(ii) Quels nombres naturels sont de la forme 6s+8toù set tsont des nombres naturels. Montrer
!
(iii) Pour quels nombres naturels na-t-on n2≤n!. Montrer !
Exercice 5.3.Trouver l’errreur.
Proposition: Pour chaque n≥0on a 3n= 1.
Preuve par induction généreuse.
Posons P(n) := ”3n= 1”. On veut montrer par induction que P(n)vrai pour chaque n∈N.
Début. C’est vraie pour n= 0 parce que 30= 1.
Étape d’induction. Supposons P(m)vraie pour m= 0,1,2, . . . , n. Nous voulons montrer P(n+1)
vrai aussi. Nous supposons alors 30= 1,31= 1,. . . , 3n−1= 1 et 3n= 1. Alors
3n+1 = 3n+n−(n−1) =3n·3n
3n−1=1·1 1= 1
Conclusion: Par induction 3n= 1 pour chaque nombre naturel n,
Exercice 5.4.(i) Soient Aet Bdeux matrices réelles 2×2tels que AB =BA. Montrer par induction
que ABn=BnApour chaque n.
(ii) Soit f:R→Rune fonction différentiable telle que f0(x) = xf(x)et f(2) = 2. Trouver
une formule pour la valeur en x= 2 de la n-ième derivé f(n), c.-à-d. de f(n)(2), et montrer cette
formule en utilisant induction..
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