Chapitre 4 - My MATHS SPACE

Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES
1. Limite en 0. Accroissement moyen.
Limite en 0 : Si
f
est une fonction définie sur un intervalle
I
contenant 0, on admet que chercher
la limite de
f
en 0 revient à calculer l'image de 0 par
f
. On note
lim
x0
fx= f0
exemple : Soit
fx= x32x – 1
. Déterminer sa limite en 0.
Définition:
a
et
b
étant deux nombres réels distincts de l'intervalle I, l'accroissement moyen de la
fonction
f
entre
a
et
b
est le quotient
fb– f a
b – a
.
Interprétation graphique:
Le quotient
fb– f a
b – a
est le coefficient directeur
de la droite (AB) appelée sécante (AB).
Dans ce qui suit, on va s'intéresser à la position de la
sécante par rapport à la courbe lorsque le point B « se
rapproche » de A.
En d'autres termes, en posant
b=ah
avec
h
réel
non nul, « B se rapproche de A » lorsque h « tend »
vers 0.
Écrire l'accroissement moyen de
f
entre
a
et
ah
.
Exemple:
fx=x2
. Déterminer la limite en 0 lorsque
h
tend vers 0 de l'accroissement moyen de
f
entre
2
et
2h
. Traduction graphique ?
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Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES
En économie : coût marginal d'une unité produite. Soit
Cq
le coût total lorsque l'on a fabriqué
q
unités. Le coût marginal de la
q – ième
unité produite est l'accroissement de coût dû à cette
dernière unité produite c'est à dire
Cmq=Cq– C q – 1
.
exemple: La fonction de coût total pour la fabrication de
q
chaises est donnée en euros, par
Cq=– q220 q200
, pour
q
∈
[0 ;10 ]
.
Calculer le coût marginal de la 4ème chaise fabriquée. Exprimer le coût marginal de la
q – ième
chaise en fonction de
q
.
2. Nombre dérivé en
xA
et tangente en
xA
.
Définition : Si le quotient
fah– f a
h
tend vers un nombre lorsque
h
tend vers 0, alors la
fonction
f
est dérivable en
a
.
La limite de ce quotient est le nombre dérivé de
f
en
a
. On le note
f ' a
.
Écriture mathématique :
lim
h0
fah– f a
h=f ' a
Interprétation graphique:
f
est une fonction dérivable en
a
et
Cf
sa courbe
représentative;
A
le point de
Cf
d'abscisse
a
et
M
un
point mobile de
Cf
d'abscisse
ah
.
tangente en A : La tangente à la courbe
Cf
au point
A
d'abscisse
a
est la droite passant par
A
dont le coefficient directeur est le nombre dérivé de
f
en
a
.
Son équation réduite est :
y=f ' xA x – x A fxA
Propriétés de la tangente:
contact 
approximation 
f ' a=0
Exercice : soit
fx= 4x
x – 1
. Donner l'équation de la tangente à
Cf
en
A
d'abscisse
3
.
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Point de vue calcul Point de vue graphique

Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES
3. Fonction dérivée et sens de variation.
Définition : Soit
f
une fonction définie sur l'intervalle I. On dit que
f
est dérivable sur I si le
nombre dérivé
f ' x
existe pour tous les nombres
x
de I.
La fonction dérivée de
f
est la fonction notée
f '
qui, à tout
x
de I, fait correspondre son nombre
dérivé
f ' x
.
Plus schématiquement,
f '
:
x
f ' x
.
Dire que
f
est dérivable sur I signifie que, en tout réel
x
de
I
, la courbe
Cf
admet une seule
tangente de coefficient directeur
f ' x
Fonctions dérivées des fonctions de référence :
Fonction
x
b
x
axb
x
x2
x
x3
x
xn
x
1
x
x
x
Condition
n1
,
n∈ℕ
x≠0
x0
Fonction
dérivée
Théorèmes (admis) :
Théorèmes (admis) : Soit
f
une fonction définie et dérivable sur un intervalle
I
.
Si
f ' x
est positif pour tout
x
de
I
, alors
f
est croissante sur
I
.
Toutes les tangentes tracées ont un coefficient
directeur positif, c'est à dire que tous les
nombres
f ' x
sont positifs : la courbe
« monte » donc la fonction est croissante sur
I
.
Si
f ' x
est négatif pour tout
x
de
I
, alors
f
est décroissante sur
I
.
Toutes les tangentes tracées ont un coefficient
directeur négatif, c'est à dire que tous les nombres
f ' x
sont négatifs : la courbe « descend » donc la
fonction est décroissante sur
I
.
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Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES
Exemple d'étude de variations d'une fonction :
Soit
f
définie sur
[–2;5]
par
fx=– x22x
. Déterminer les variations de
f
sur
[–2;5]
.
4. Calcul de dérivées
Fonction dérivée de la somme de deux fonctions :
Soit
u
et
v
deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si
fx=uxvx
, alors
f
est dérivable sur I et
f ' x=u ' xv ' x
.
En d'autres termes,
uv'=u 'v '
Exemple:
I=[ 0 ;∞[
,
ux= x
et
vx= x3
. On pose
fx=uxvx
. Calculer
f ' 2
.
Fonction dérivée du produit d'une fonction par un réel :
Soit
u
une fonction dérivable sur un intervalle I et
k
un réel . Si
fx=k×ux
, alors
f
est dérivable sur I et
f ' x=k×u ' x
.
En d'autres termes,
k×u'=k×u '
Exemple:
I=]0 ;∞[
,
f
est définie sur I par
fx=−3
x4x2
. Calculer
f ' −2
.
Fonction dérivée du produit de deux fonctions :
Soit
u
et
v
deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si
fx=ux×vx
, alors
f
est dérivable sur I et
f ' x=u ' x×vxux×v ' x
.
En d'autres termes,
u×v'=u '×vu×v '
Exemple:
I=ℝ
,
f
est définie sur I par
fx=x2−3x4
. Calculer
f ' x
.
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Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES
Fonction dérivée du quotient de deux fonctions :
Soit
u
et
v
deux fonctions dérivables sur un intervalle I et
v
ne s'annule pas sur I . Si
fx= ux
vx
, alors
f
est dérivable sur I et
f ' x= u ' x×vx−ux×v ' x
vx2
.
En d'autres termes,
u
v'=u '×v−u×v '
v2
Exemple:
I=[2;10]
,
f
est définie sur
I
par
fx= 3x−2
3x2
. Calculer
f ' x
pour tout
x
d e
I
.
Cas particulier :
f=1
v
(
v
dérivable et ne s'annule pas sur l'intervalle de déf.) alors
f ' = 1
v'=– v '
v2
exemple :
g
définie sur [0;3] par
gx= 1
6x5
, calculer
g ' x
pour tout
x
de [0;3].
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