Chapitre 4 - My MATHS SPACE
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Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES 1. Limite en 0. Accroissement moyen. Limite en 0 : Si f est une fonction définie sur un intervalle I contenant 0, on admet que chercher f x= f 0 la limite de f en 0 revient à calculer l'image de 0 par f . On note lim x 0 exemple : Soit f x = x32 x – 1 . Déterminer sa limite en 0. Définition: a et b étant deux nombres réels distincts de l'intervalle I, l'accroissement moyen de la fonction f entre a et b est le quotient f b – f a . b–a Interprétation graphique: Le quotient f b – f a est le coefficient directeur b–a de la droite (AB) appelée sécante (AB). Dans ce qui suit, on va s'intéresser à la position de la sécante par rapport à la courbe lorsque le point B « se rapproche » de A. En d'autres termes, en posant b=ah avec h réel non nul, « B se rapproche de A » lorsque h « tend » vers 0. Écrire l'accroissement moyen de f entre a et ah . Exemple: f x =x 2 . Déterminer la limite en 0 lorsque h tend vers 0 de l'accroissement moyen de f entre 2 et 2h . Traduction graphique ? 2009©My Maths Space Page 1/5 Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES En économie : coût marginal d'une unité produite. Soit C q le coût total lorsque l'on a fabriqué q unités. Le coût marginal de la q – ième unité produite est l'accroissement de coût dû à cette dernière unité produite c'est à dire C m q=C q – C q – 1 . exemple: La fonction de coût total pour la fabrication de q chaises est donnée en euros, par 2 C q=– q 20 q200 , pour q ∈ [0 ;10 ] . Calculer le coût marginal de la 4ème chaise fabriquée. Exprimer le coût marginal de la q – ième chaise en fonction de q . 2. Nombre dérivé en x A et tangente en x A . f ah – f a tend vers un nombre lorsque h tend vers 0, alors la h fonction f est dérivable en a . La limite de ce quotient est le nombre dérivé de f en a . On le note f ' a . f ah – f a = f ' a Écriture mathématique : lim h h0 Définition : Si le quotient Interprétation graphique: f est une fonction dérivable en a et C f sa courbe représentative; A le point de C f d'abscisse a et M un point mobile de C f d'abscisse ah . Point de vue calcul Point de vue graphique tangente en A : La tangente à la courbe C f au point A d'abscisse a est la droite passant par A dont le coefficient directeur est le nombre dérivé de f en a . Son équation réduite est : y= f ' x A x – x A f x A Propriétés de la tangente: contact approximation f ' a=0 Exercice : soit f x = 2009©My Maths Space 4x . Donner l'équation de la tangente à C f en A d'abscisse 3 . x–1 Page 2/5 Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES 3. Fonction dérivée et sens de variation. Définition : Soit f une fonction définie sur l'intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si le nombre dérivé f ' x existe pour tous les nombres x de I. La fonction dérivée de f est la fonction notée f ' qui, à tout x de I, fait correspondre son nombre dérivé f ' x . Plus schématiquement, f ' x f' : x . Dire que f est dérivable sur I signifie que, en tout réel x de I , la courbe C f admet une seule tangente de coefficient directeur f ' x Fonctions dérivées des fonctions de référence : 2 x b x Fonction x x axb x x 3 x x n n1 , n ∈ ℕ Condition x 1 x x ≠0 x x x0 Fonction dérivée Théorèmes (admis) : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I . Si f ' x est positif pour tout x de I , alors f est croissante sur I . Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur positif, c'est à dire que tous les nombres f ' x sont positifs : la courbe « monte » donc la fonction est croissante sur I . Si f ' x est négatif pour tout x de I , alors f est décroissante sur I . Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur négatif, c'est à dire que tous les nombres f ' x sont négatifs : la courbe « descend » donc la fonction est décroissante sur I . 2009©My Maths Space Page 3/5 Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES Exemple d'étude de variations d'une fonction : Soit f définie sur [ – 2 ;5 ] par f x =– x 22 x . Déterminer les variations de f sur [ – 2 ;5 ] . 4. Calcul de dérivées Fonction dérivée de la somme de deux fonctions : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si f x =u x v x , alors f est dérivable sur I et f ' x=u ' x v ' x . En d'autres termes, uv ' =u 'v ' Exemple: I =[ 0 ;∞[ , u x = x et v x= x 3 . On pose f x =u x v x . Calculer f ' 2 . Fonction dérivée du produit d'une fonction par un réel : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel . Si f x =k×u x , alors f est dérivable sur I et f ' x=k ×u ' x . En d'autres termes, k ×u'=k ×u ' Exemple: I =]0 ;∞[ , f est définie sur I par f x = −3 4 x 2 . Calculer f ' −2 . x Fonction dérivée du produit de deux fonctions : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si f x =u x ×v x , alors f est dérivable sur I et f ' x=u ' x ×v xu x×v ' x . En d'autres termes, u×v ' =u ' ×vu×v ' Exemple: I =ℝ , f est définie sur I par f x =x 2 −3 x4 . Calculer f ' x . 2009©My Maths Space Page 4/5 Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES Fonction dérivée du quotient de deux fonctions : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et v ne s'annule pas sur I . Si f x = u ' x ×v x −u x ×v ' x u x , alors f est dérivable sur I et f ' x= . v x v x2 u v En d'autres termes, '= Exemple: I =[2 ; 10] , f est définie sur I par f x = Cas particulier : f = 3 x−2 . Calculer f ' x pour tout x d e I . 3 x2 1 ( v dérivable et ne s'annule pas sur l'intervalle de déf.) alors v 1 – v' f ' = ' = 2 v v exemple : g définie sur [0;3] par g x= 2009©My Maths Space u '×v−u×v ' v2 1 , calculer g ' x pour tout x de [0;3]. 6 x5 Page 5/5
