Cours de maths - Terminale ES - Probabilités

I – Probabilité d'un évènement
La probabilité d'un évènement est la fréquence de réalisation de cet évènement lors d'un grand nombre de
répétition d'une même expérience aléatoire.
 Conséquence :  La probabilité d'un évènement est comprise entre 0 et 1.
 La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
 II – Modéliser avec un tableau ou un arbre pondéré
 III – Probabilité conditionnelle
Remarques : – La formule précédente s'écrit aussi
( ) ( ) ( )
A
p A B p B p A  
– L'évènement
AB
est réalisé lorsque l'évènement A est réalisé et l'évènement B est réalisé.
 IV – Formule des probabilités totales
Probabilités
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Définition 1: Lors d'une expérience aléatoire, on dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la
même probabilité de se réaliser.
Propriété 1: En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A est :
.
nombre d'issues de A
(A) nombre d'issues de Ω p
(
est l'Univers)
Propriété 2: – Si les évènements A et B sont incompatibles alors
(A B) (A) (B)p p p  
.
– Pour tous évènements A et B,
(A B) (A) (B) (A B)p p p p    
.
.
– Pour tout évènement A,
(A) (A) 1pp
.
Définition 2: Soit A et B deux évènements avec
( ) 0pA
. On appelle probabilité de B sachant que
A est réalisé le nombre :
()
() ()
Ap A B
pB pA
Propriété 4: Si
( ) 0 et ( ) 0 alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AB
p A p B p A B p B p A p A p B      
.
Propriété 5: Si les évènements
12
, ,..., n A A A
forment une partition de  alors la probabilité d'un évènement B
de  est :
12
( ) ( ) ( ) ... ( )
n
p B p B A p B A p B A   
Propriété 3: – La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
– Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un évènement correspondant à un chemin est égale au
produit des probabilités des branches qui composent ce chemin.

Rappel :
12
, ,..., n A A A
forment une partition de  signifie que :
12
pour tous 1 , ,
...
ij
n
i j n A A
A A A
Cas particulier :
Pour tous évènements , de , ( ) ( ) ) (p B pBB A AApB   
 V – Loi binomiale
1 - Evènements indépendants
Remarque : Lorsque 2 évènements A et B sont indépendants, la réalisation de l'un n'influe pas sur la probabilité
de réalisation de l'autre c’est-à-dire que
et ( ) ( ) ( ) ( )
AB
p B p B p A p A
.
On trouve ce type d'évènements lors de tirage avec remise.
2 - Loi binomiale
Définition 4: On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire ayant 2 issues :
succès avec une probabilité égale à p et échec.
Définition 5: On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de
Bernoulli X de paramètre p.
x
0
1
()p X x
1p
p
Définition 6: On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p l'expérience aléatoire qui consiste à
répéter n épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes.
Définition 7: On appelle loi binomiale de paramètres n et p , notée  (n , p), la loi de probabilité de la
variable aléatoire qui associe au schéma de Bernoulli de paramètres n et p le nombre de succès.
k
0
1
…
n
()p X k
( 0)pX
( 1)pX
…
()p X n
Propriété 6: L'espérance de la loi binomiale  (n , p), notée  , est :
np
L'écart-type de la loi binomiale  (n , p), notée
, est :
(1 )n p p
Définition 3: On dit que 2 évènements A et B sont indépendants lorsque :
( ) ( ) ( )p A B p A p B  