Cours de maths - Terminale ES - Probabilités

Probabilités
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I – Probabilité d'un évènement
La probabilité d'un évènement est la fréquence de réalisation de cet évènement lors d'un grand nombre de
répétition d'une même expérience aléatoire.
Définition 1: Lors d'une expérience aléatoire, on dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la
même probabilité de se réaliser.

Propriété 1: En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A est :
.
p (A) 
nombre d'issues de A
(  est l'Univers)
nombre d'issues de Ω

Conséquence :  La probabilité d'un évènement est comprise entre 0 et 1.
 La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
Propriété 2: – Si les évènements A et B sont incompatibles alors p (A  B)  p (A)  p (B) .
– Pour tous évènements A et B, p (A  B)  p (A)  p (B)  p (A  B) .
.
– Pour tout évènement A, p (A)  p (A)  1 .

II – Modéliser avec un tableau ou un arbre pondéré

Propriété 3: – La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
– Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un évènement correspondant à un chemin est égale au
produit des probabilités des branches qui composent ce chemin.

III – Probabilité conditionnelle
Définition 2: Soit A et B deux évènements avec p( A)  0 . On appelle probabilité de B sachant que
A est réalisé le nombre :
p( A  B)
p A ( B) 
p( A)
Remarques : – La formule précédente s'écrit aussi p( A  B)  p A ( B)  p( A)
– L'évènement A  B est réalisé lorsque l'évènement A est réalisé et l'évènement B est réalisé.
Propriété 4: Si p( A)  0 et p( B)  0 alors p( A  B)  p A ( B)  p( A)  pB ( A)  p( B) .

IV – Formule des probabilités totales
Propriété 5: Si les évènements A1 , A2 ,..., An forment une partition de  alors la probabilité d'un évènement B
de  est :
p( B)  p( B
A1 )  p( B
A2 )  ...  p( B
An )

 pour tous 1  i, j  n, Ai  A j  
Rappel : A1 , A2 ,..., An forment une partition de  signifie que : 

 A1  A2  ...  An  
Cas particulier : Pour tous évènements A, B de , p( B)  p( B  A)  p( B  A)

V – Loi binomiale
1 - Evènements indépendants
Définition 3: On dit que 2 évènements A et B sont indépendants lorsque :
p( A  B)  p( A)  p( B)
Remarque : Lorsque 2 évènements A et B sont indépendants, la réalisation de l'un n'influe pas sur la probabilité
de réalisation de l'autre c’est-à-dire que p A ( B)  p( B) et pB ( A)  p( A) .
On trouve ce type d'évènements lors de tirage avec remise.
2 - Loi binomiale
Définition 4: On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire ayant 2 issues :
succès avec une probabilité égale à p et échec.
Définition 5: On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de
Bernoulli X de paramètre p.
x
0
1
p ( X  x)
1 p
p
Définition 6: On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p l'expérience aléatoire qui consiste à
répéter n épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes.
Définition 7: On appelle loi binomiale de paramètres n et p , notée  (n , p), la loi de probabilité de la
variable aléatoire qui associe au schéma de Bernoulli de paramètres n et p le nombre de succès.
k
p (X  k)
0
p ( X  0)
1
p ( X  1)
…
…
n
p ( X  n)

Propriété 6: L'espérance de la loi binomiale  (n , p), notée  , est :   n  p
L'écart-type de la loi binomiale  (n , p), notée  , est :   n p (1  p)