Théorie et exercices

Techniques
fondamentales
de mathématiques
Théorie + Exercices
BA1 en chimie,
mathématiques,
physique,
sciences,
sciences de l’ingénieur (orientation bioingénieur).

Table des matières
1 Présentation et généralités 1
1.1 Ensembles de nombres, et opérations sur les ensembles .......... 1
2 La droite, le plan, l’espace : représentations 5
2.1 La droite .................................... 5
2.2 Le plan ..................................... 8
3 Trigonométrie 13
3.1 La notion d’angle : généralités ........................ 13
3.2 Le radian .................................... 14
3.3 Fonctions trigonométriques dans le cercle ................. 14
3.4 Valeurs importantes .............................. 15
3.4.1 Retrouver un angle à partir du sinus ou du cosinus ........ 16
3.5 Relation fondamentale ............................ 17
3.6 Symétries .................................... 17
3.6.1 Symétrie par rapport à l’axe des abscisses ............. 17
3.6.2 Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ............. 17
3.6.3 Symétrie par rapport à l’origine ................... 18
3.6.4 Symétrie par rapport à la première bissectrice ........... 18
3.6.5 Angles décalés de 90˚ ......................... 18
3.7 D’autres identités remarquables : formulaire ................ 19
3.8 Fonctions trigonométriques dans les triangles ............... 20
3.8.1 Triangles rectangles .......................... 20
3.8.2 Triangles quelconques ........................ 20
3.9 Exercices .................................... 21
4 Fonctions 25
4.1 Généralités sur la notion de fonction .................... 25
4.1.1 Fonction et fonction partielle .................... 25
4.1.2 Notation ................................ 26
4.1.3 Nomenclature ............................. 26
4.1.3.1 Image ............................. 26
4.1.3.2 Antécédent .......................... 26
4.1.3.3 Domaine ........................... 26
4.1.4 Exemples ................................ 26
4.1.5 Interprétation de la notion de fonction ............... 27
i

ii TABLE DES MATIÈRES
4.1.5.1 Association ......................... 28
4.1.5.2 Transformation ....................... 28
4.1.6 Image d’une fonction ......................... 28
4.1.7 Domaine de définition ........................ 29
4.1.8 Graphe ................................. 29
4.1.9 Antécédent ............................... 30
4.1.10 Parité .................................. 30
4.1.11 Composition .............................. 31
4.1.12 Injectivité et surjectivité ....................... 32
4.1.13 Fonction réciproque .......................... 33
4.2 Quelques familles de fonctions ........................ 33
4.2.1 Fonctions linéaires, affines et polynomiales ............ 33
4.2.1.1 Graphe ............................ 34
4.2.1.2 Fonctions polynomiales .................. 35
4.2.2 Les fonctions exponentielles et logarithmes ............ 35
4.2.2.1 Exponentielles ........................ 35
4.2.2.2 Logarithmes et logarithme naturel ............ 36
4.2.2.3 Identités importantes .................... 36
4.3 Exercices .................................... 37
5 Dérivées 41
5.1 Approche intuitive ............................... 41
5.2 Nombre dérivé, fonction dérivée. ...................... 42
5.2.1 Notations de la dérivée (et dérivées partielles) ........... 42
5.3 Règles de dérivation .............................. 43
5.3.1 Règles de calcul ............................ 43
5.3.2 Règle de dérivation en chaîne .................... 44
5.3.3 Dérivées des fonctions usuelles ................... 45
5.4 Application : recherche d’extrema ...................... 45
5.5 Application : croissance et décroissance ................... 47
5.6 Application : esquisse du graphe d’une fonction .............. 48
5.7 Exercices .................................... 48
6 Intégration 51
6.1 Introduction .................................. 51
6.2 Rappels et exercices .............................. 53
6.3 Applications à la physique .......................... 56
A De nombreuses notations 59
A.1 Informations non-écrites et implicites .................... 59
A.2 Alphabets .................................... 59
A.3 Quantificateurs ................................ 60
A.4 Connecteurs logiques ............................. 61
A.5 Indices et exposants .............................. 62
A.6 Abbréviations communes ........................... 62
A.7 Rigueur et formalisme ............................. 62
A.8 Utilisation de la langue ............................ 63

TABLE DES MATIÈRES iii
A.9 Stratégies de lecture .............................. 63
Index 65
Document réalisé par : Nicolas Brouette, Jonathan Demeyer, Thomas Lessines, Nicolas Ri-
chard.