TS Devoir Commun de Mathématiques N° 3 Lundi17/11/2014 La

TS Devoir Commun de Mathématiques N° 3 Lundi17/11/2014
La présentation, la rédaction et la rigueur des résultats entreront pour une part significative dans l’évaluation de la copie.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. La calculatrice est autorisée. La durée du devoir est de 2h.
Exercice 1 : sur 6 points
Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel
n
, on note
n
R
l’évènement « le joueur réussit le n-ième service » et
n
R
l’évènement contraire.
Soit
n
x
la probabilité de
n
R
et
n
y
la probabilité de
n
R
. La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7.
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :
 Si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,8
 Si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,7
1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.
a. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous, traduisant la situation :
b. Déterminer la loi de probabilité de X
c. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X
2. On s’intéresse maintenant au cas général.
a. Donner les probabilités conditionnelles
1
nn
R
PR
et
1
nn
R
PR
b. Montrer que, pour tout entier naturel
n
non nul, on a :
10,1 0,7. nn
xx
3. Soit la suite (
n
u
) définie pour tout entier naturel
n
non nul, par
9 7.
nn
ux
Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation
a. Déterminer la nature de la suite (
n
u
)
b. En déduire la limite de la suite (
n
x
)
Exercice 2 : Les questions suivantes sont indépendantes sur 5 points
1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait également que 35% des filles et 30% des
garçons déjeunent à la cantine. On choisit au hasard un élève du lycée.
a) Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille qui déjeune à la cantine ?
b) Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?
c) Cet élève a déjeuné à la cantine. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ? On donnera le résultat à
.

2. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et
1
5
.
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2 .Donner une valeur approchée du résultat à
3
10
.
3. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l’évènement : « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement : « l’appareil présente
un défaut de fonctionnement »
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que
l’appareil présente au moins l’un des défauts est égale à 0,069.
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?
4. On considère l’algorithme :
Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la
valeur C affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.
Exercice 3 : sur 2.5 points
Répondre par VRAI ou par FAUX à chacune des affirmations suivantes, en justifiant votre réponse .
1. Si f est définie sur par
( ) ² 1f x x x  
alors
1
'(0) 2 f
2. Si f est définie sur par
3
( ) 3 2f x x
alors la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0 a pour
équation
36 8yx
3. La fonction f définie sur
]0; [
par
sin
() x fx x
a pour asymptote en la droite d’équation
0y
.
Exercice 4 : sur 6.5 points
1. Soit le polynôme P défini sur par
32
( ) 3 1P x x x x   
a. Calculer les limites de P en et en
b. Déterminer les variations de P sur
c. Démontrer que l’équation
( ) 0Px
admet une unique solution sur et que
[ 1;0]
d. Donner un encadrement de à
2
10
e. Déterminer le signe de
()Px
suivant les valeurs de x
2. Soit f la fonction définie sur par
2
() ²1 f x x x
.
a. Déterminer les limites de f en et en
b. Déterminer la dérivée de f et montrer que
2
( 1) ( )
'( ) ²1
x P x
fx x
c. A l’aide de la question 1) e), déterminer le signe de
'( )fx
et dresser le tableau de variation de la fonction f

CORRIGE
Exercice 1
1. On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.
Soit la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.
a. Déterminer la loi de probabilité de . (On pourra utiliser un arbre de probabilités)
La variable aléatoire prend les valeurs 0, 1 et 2.
De plus, En utilisant le principe multiplicatif sur l'arbre on obtient:
P(X=0)= 0.3×0.3 = 0.09
P(X=1)= 0.7×0.2+0.3×0.7 = 0.35
P(X=2)= 0.7×0.8= 0.56
D’où la loi de probabilité de X :
En utilisant le principe multiplicatif sur l'arbre on obtient la loi :
b. Calculer l'espérance mathématique E de la variable aléatoire .
2. On s'intéresse maintenant au cas général.
a. Donner les probabilités conditionnelles et .
D'après l'énoncé on a directement :
et
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul , on a : .
On se place à l'étape : et constituent un système complet d'événements, donc d'après la formule des
probabilités totales :
or (car et sont complémentaires), donc .
En remplaçant il vient :
3. Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul par .
a. Déterminons la nature de la suite .
Pour tout entier naturel non nul on a : a. Pour tout entier naturel non nul on a :

Donc est une suite géométrique de raison et de premier terme :
.
b. Déduisons la limite de la suite .
D'après la question précédente on a :
De , on tire soit
Comme ; .
Donc par opérations sur les limites : .
Exercice 2 :
1. On peut traduire l’énoncé à l’aide de l’arbre pondéré ci-contre
en notant F l'événement l'élève est une fille et C l'élève mange à la cantine.
a. On cherche à calculer
()p F C
.
0 55 0 35 0 1925( ) ( ) ( ) . . .
F
p F C p F p C     
Donc la probabilité que l’élève soit une fille qui déjeune à la cantine
est égale à
0 1925.
b. On cherche à calculer
()pC
.
D’après la formule des probabilités totales :
0 55 0 65 0 45 0 7 0 6725( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . .
FF
p C p F C p F C p F p C p F p C            
Donc la probabilité que l’élève ne déjeune pas à la cantine est égale à
0 6725.
c. On cherche à calculer
()
C
pF
.
0 55 0 35 0 5878
0 3275
1
( ) ( )
( ) . .
( ) .
( ) .
()
F
Cp F p C
p F C
pF pC pC
Donc la probabilité que l’élève soit une fille sachant qu’il n’a pas déjeuné pas à la cantine est environ égale à
0 5878.
2. On cherche à calculer
2()pY
.
0 20 1 19 20 19
20 20
1 4 1 4
2 1 0 1 1 1 0 8 20 0 2 0 8 0 93
5 5 5 5
01
( ) ( ) ( ) . . . .p Y p Y p Y    
3. On cherche à calculer
()pF
.
D’après l’énoncé,
0 02( ) .pA
et
0 069( ) .p A F
( probabilité de présenter au moins un défaut )
On a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p A F p A p F p A F p A p F p A p F        
puisque A et F sont indépendants
D’où :
0 069 0 02 0 02 0 02 0 98. . ( ) . ( ) . . ( )p F p F p F      
Ce qui donne :
0 069 0 02 0 05
0 98
..
( ) .
.
pF 
Donc la probabilité que l’appareil présente le défaut F environ égale à
0 05.
4. On répète, dans des conditions identiques et indépendantes, 9 fois une même expérience consistant à choisir au
F
0,55
C
0,35
C
0,65
F
0,45 C
0,3
C
0,7

hasard un nombre entier entre 1 et 7, en se demandant si ce nombre est supérieur strictement à 5 ou non.
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont le succès est S : « A > 5 » avec p(S)=
2
7
.
Dans ces conditions la variable C représente le nombre de succès lors de ces 9 expériences.
La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 9 et p =
2
7
Exercice n°3 :
1. f est définie sur par
( ) ² 1f x x x  
f est du type
avecu dérivable et strictement positive suru
( ) ² 1 donc '( ) 2 1
' 2 1
' donc '( )
2 2 ² 1
1
'(0) 2
u x x x u x x
ux
u f x
u x x
f
L'affirmation 1 est donc VRAIE
2. f est définie sur par
3
( ) 3 2f x x
; f est une fonction polynôme définie et dérivable sur 
f est du type un avec u(x)= (3x+2) et n=2 u'(x)= 3 et comme ( un)'= nu'un–1
f '(x)= 3 3(3x+2)² = 9(3x+2)²
La tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0 a pour équation
'(0)( 0) (0)y f x f  
f '(0)=36 et f(0)=8 donc une équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y = 36x+8 .
L'affirmation 3 est donc VRAIE
3. La fonction f définie sur
]0; [
par
sin
() x fx x
a pour asymptote en la droite d’équation
0y
?
On calcule la limite de f en + .
Pour tout réel x , – 1 ≤ sin x ≤ 1.
Pour tout réel x >0 , en multipliant par
1
x
on a donc
1 sin 1x
xxx
Or
11
lim 0 et lim 0
xx
xx
D'après le théorème des gendarmes on peut en déduire que
sin
lim 0
x
x
x
La droite d'équation y=0 est donc asymptote à la courbe de f en + .
L'affirmation 3 est donc VRAIE
Exercice 4 :
1. a.
33
lim ( ) lim lim ( ) lim
x x x x
P x x et P x x
( on utilise la limite d'une fonction polynôme à
l'infini qui est égale à celle de son terme de plus haut degré)
b.
3 2 3'( ) ²P x x x  
.
3 2 3²xx
est un polynôme du second degré de discriminant égal à – 32, strictement
négatif. On en déduit que
'( )Px
est du signe de 3 sur et donc que
0'( )Px
sur . Par suite P est strictement
croissant sur .
c. D’après le tableau de variation, ci-contre , P est strictement
croissante et continue sur , à valeurs dans
0 donc l’équation
0()Px 
a une unique solution sur .
De plus
1 4 0 0 1 0P et P     ( ) ( )
donc
10[ ; ]  
remarque : la flèche traduisant la stricte monotonie et la continuité
de P sur , on peut aussi compléter (correctement bien sûr ! ) le
tableau de variations de P avec les limites de P et l'image de –1 (
qui est négative) et celle de 0 (qui est positive ), insérer 0 et son
antécédent par P , et conclure par la simple phrase :
"d'après le tableau de variation de P , l'équation P(x) = 0 a une solution unique dans et cette solution est dans
l'intervalle [–1 ; 0]"
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