Cours de topologie et d`analyse fonctionnelle Master premi`ere année

Cours de topologie et d’analyse fonctionnelle
Master premi`ere ann´ee
Rapha¨el Danchin
7 janvier 2013

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Table des mati`eres
1 Un peu de topologie g´en´erale 5
1.1 D´efinitions........................................ 5
1.2 Continuit´e........................................ 7
1.3 Topologie produit (hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Suites des espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Compacit´e........................................ 10
2 Espaces m´etriques 13
2.1 D´efinitions........................................ 13
2.2 Topologie des espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Continuit´e dans les espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Compacit´e dans les espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Compl´etude....................................... 20
3 Espaces vectoriels norm´es 25
3.1 D´efinitions........................................ 25
3.2 Applicationslin´eaires.................................. 28
3.3 Sous-espacesvectoriels................................. 30
3.4 EspacesdeBanach................................... 32
3.5 Lecasdeladimensionfinie .............................. 33
4 Connexit´e et convexit´e 37
4.1 Connexit´e........................................ 37
4.1.1 Cadreg´en´eral.................................. 37
4.1.2 Parties connexes de R............................. 38
4.1.3 La connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Unpeudeconvexit´e .................................. 40
5 Espaces d’applications continues 43
5.1 G´en´eralit´es ....................................... 43
5.2 Equicontinuit´e ..................................... 44
5.3 Leth´eor`emed’Ascoli.................................. 46
5.4 Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass (hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Les grands th´eor`emes de l’analyse fonctionnelle 53
6.1 Leth´eor`emedeBaire.................................. 53
6.2 Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3 Le th´eor`eme de l’application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4 Le th´eor`eme du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.5 Autour du th´eor`eme de Hahn-Banach (hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . 58
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4TABLE DES MATI ` ERES
6.5.1 Th´eor`eme de Hahn-Banach, forme analytique . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5.2 Le th´eor`eme de Hahn-Banach, forme g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . 62
6.5.3 Suppl´ementaires topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Espaces de Hilbert 67
7.1 Produitscalaire..................................... 67
7.1.1 Lecasr´eel.................................... 67
7.1.2 Lecascomplexe ................................ 69
7.2 Orthogonalit´e...................................... 71
7.3 EspacesdeHilbert ................................... 74
7.4 Projecteursorthogonaux................................ 75
7.5 Deux r´esultats importants sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.6 Bases hilbertiennes et espaces de Hilbert s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.7 La convergence faible dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.8 Application `a l’espace L2et aux s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.8.1 Les espaces Lp................................. 85
7.8.2 S´eriesdeFourier ................................ 88
8 Op´erateurs compacts sur les espaces de Hilbert 91
8.1 Op´erateurscompacts.................................. 91
8.2 Op´erateursadjoints................................... 94
8.3 AlternativedeFredholm................................ 96
8.4 Spectredesop´erateurs................................. 98
8.5 Les op´erateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.6 Quelquesapplications ................................. 102
8.6.1 R´esolution d’une ´equation diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.6.2 Op´erateurs de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9 La topologie faible 107
9.1 Lecadreabstrait .................................... 107
9.2 Latopologiefaible ................................... 108
9.3 Unexemple....................................... 111
10 La topologie faible ´etoile 115
10.1D´efinition ........................................ 115
10.2Propri´et´es........................................ 116
10.3 Un r´esultat de compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11 Espaces r´eflexifs et espaces s´eparables 121
11.1D´efinitionetexemples ................................. 121
11.2R´esultats ........................................ 122
11.3 Espaces uniform´ement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.4Lesespacess´eparables ................................. 127
11.5 Les espaces Lp..................................... 130
Bibliographie 133

Chapitre 1
Un peu de topologie g´en´erale
But recherch´e : Formaliser les concepts “intuitifs” de proximit´e de deux objets math´ematiques
de “mˆeme nature”, et de continuit´e des applications agissant sur ces objets.
1.1 D´efinitions
En licence, nous avons vu que l’introduction d’une norme permettait d’atteindre ce but.
Dans ce cours, nous serons parfois amen´es `a manipuler des objets pour lesquels l’introduction
d’une norme ne permet pas de mesurer la proximit´e de fa¸con ad´equate, et nous aurons besoin
de d´efinir une notion encore plus g´en´erale.
Cela peut ˆetre fait par le biais de la d´efinition suivante.
D´efinition. Soit Xun ensemble. On appelle topologie sur Xla donn´ee d’un ensemble O
de parties de Xposs´edant les propri´et´es suivantes :
(i)Ocontient ∅et X,
(ii) la r´eunion quelconque d’´el´ements de Oest encore dans O,
(iii) l’intersection finie d’´el´ements de Oest encore dans O.
Les ´el´ements de Osont appel´es ouverts et les compl´ementaires des ouverts sont appel´es
ferm´es. Le couple (X, O) est appel´e espace topologique.
Exemples. 1. Soit Xun ensemble. Alors {∅, X}est une topologie sur X, parfois appel´ee
topologie grossi`ere.
2. Si l’on prend pour Ol’ensemble de toutes les parties de X, on obtient ´egalement une
topologie, appel´ee topologie discr`ete.
3. Sur R,l’ensemble des r´eunions arbitraires d’intervalles ouverts ]a, b[ est une topologie.
Sauf mention explicite, on munit toujours Rde cette topologie.
D´efinition. Soit Xun ensemble et O1,O2deux topologies sur X. On dit que O1est plus
fine (ou plus forte) que O2si O2⊂ O1.
Ainsi, la topologie discr`ete est la plus fine et la topologie grossi`ere, la moins fine de toutes
les topologies. Dans le cas de R,la topologie “usuelle” se situe entre les deux.
La donn´ee d’une topologie Osur l’ensemble Xpermet de d´efinir les notions de voisinage,
adh´erence, int´erieur, fronti`ere, etc.
D´efinition. Soit (X, O) un espace topologique.
– Soit x∈Xet V⊂X. On dit que Vest un voisinage de xsi Vcontient un ouvert
contenant x. L’ensemble des voisinages de xest not´e VX(x).
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