2 Géométrie

ROC: Restitution Organisée des
Connaissances ∗
Terminale S
Septembre 2005
Table des matières
1 Analyse 2
1.1 Limites et ordre ........................... 2
1.2 Bijection ............................... 3
1.3 Fonction composée ......................... 4
1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité ............ 5
1.5 Équation différentielle ....................... 7
1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle ........ 9
1.6.1 La fonction exponentielle ................. 9
1.6.2 Le logarithme ........................ 10
1.7 Les suites .............................. 12
1.8 Croissances comparées ....................... 14
1.9 Primitive s’annulant en a ...................... 16
1.10 Intégration Par Parties ........................ 18
2 Géométrie 19
2.1 Module et argument d’un produit, d’un quotient .......... 19
2.2 Second degré ............................ 21
2.3 Écriture complexe des transformations du plan ........... 22
2.4 Distance d’un point à un plan .................... 23
2.5 Distance d’un point à une droite dans le plan ............ 24
3 Probabilités 25
3.1 Formule des probabilités totales .................. 25
3.2 Triangle de Pascal - Binôme de Newton .............. 26
∗Ce document a été réalisé à l’aide de L
A
TEX2ε, un lociciel libre.
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1 Analyse
1.1 Limites et ordre
Théorème 1 Limites et ordre
1. Théorème des « Gendarmes »
Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a :
u(x)6f(x)6v(x)et si u et v ont la même limite l en a, alors :
lim
x→af(x)=l
2. Cas d’une limite infinie
Si, pour x « assez voisin de a »on a f(x)>u(x), et si :
lim
x→au(x)= +∞, alors lim x→af(x)= +∞
(Énoncé analogue pour −∞)
Démonstration :
Dans le cas où a= +∞(c’est le cas qui figure au programme, la démonstration
des autres cas ne pourra vous être demandée.)
On considère un intervalle ouvert quelconque Icontenant l.
La fonction ua pour limite len +∞donc il existe un réel Atel que pour tout
x∈]A;+∞[ tous les nombres u(x) sont dans I.
De même, pour la fonction v:
On note Ble réel tel que pour tout x∈]B;+∞[ona:v(x)∈I.
On désigne par Cle plus grand des nombres Aet B. Alors pour tout x∈]C;+∞[
on a : v(x)∈Iet u(x)∈I.
Or, on sait que u(x)≤f(x)≤v(x).
Donc, nécessairement f(x)∈I
Conclusion :
fa pour limite lquand x→+∞
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1.2 Bijection
Théorème 2 dit de la « bijection »
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a,b],
Alors, pour tout réel k compris entre f(a)et f(b), l’équation f(x)=k a
une solution unique dans [A,B].
Démonstration
Nous allons établir le théorème dans le cas où fest strictement croissante. Le
cas où fest décroissante sera facile à en déduire.
On sait que fest une fonction continue sur [a,b].
Considérons le réel kcompris entre f(a) et f(b).
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel αtel que :
f(α)=k
Supposons qu’il existe réel βtel que β,αet f(β)=k
Si β>α, alors f(β)>f(α) (On sait que fest strictement croissante).
et donc : f(β),k
Contradiction. La supposition est donc fausse, et le réel αest unique.
On procède de même si β<α.
D’où le résultat.
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1.3 Fonction composée
Théorème 3 Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle
I et g une fonction définie et dérivable sur un intervalle J tel que pour
tout x ∈I on ait u(x)∈J.
alors la fonction f =g◦u est dérivable sur I et on a pour tout x ∈I :
f0(x)=g0(u(x)) ×u0(x)
En résumé, on note (g◦u)0=g0◦u×u0
Démonstration :
Note importante : les commentaires officiels du programme précisent : « le prin-
cipe de la démonstration sera indiqué »
Soit x0∈I. Pour tout x∈I(x,x0)ona:
f(x)−f(x0)
x−x0
=g(u(x)) −g(u(x0))
x−x0
=g(u(x)) −g(u(x0))
u(x)−u(x0)×u(x)−u(x0) x−x0pour x,x0
on a : lim
x→x0u(x)=u(x0)=y0
On pose X=u(x). On a alors
lim
x→x0
g(u(x)) −g(u(x0))
u(x)−u(x0)=lim
X→y0
g(X)−g(y0)
X−y0
=g0(y0)
De plus :
lim
x→x0
u(x)−u(x0)
x−x0
=u0(x0)
Conclusion :
f0(x0)=g0(y0)×u0(x0)
=g0(u(x0)) ×g0(x0)
CQFD
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1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité
Propriété 1 S’il existe une solution f dérivable sur Rde l’équation
différentielle f0=f avec f(0) =1,
alors f est non nulle sur R
Démonstration :
On considère la fonction g:x7→ f(x)f(−x). gest définie sur R, et —par
composition de fonctions dérivables sur R— est donc dérivable sur R.
En utilisant le théorème de dérivation composée, on a pour tout x∈R:
g0(x)=f0(x)f(−x)−f(x)f0(−x)
=f(x)f(−x)−f(x)f(−x) (f0=f)
=0
gest donc une fonction constante.
Or, f(0) =1 donc g(0) =1 et pour tout x∈Ron a : g(x)=1.
Supposons qu’il existe a∈Rtel que f(a)=0.
Alors on aurait g(a)=f(a)f(−a)=0. Contradiction.
La supposition est donc fausse et fne s’annule jamais.
QED.
Théorème 4 et Définition
Il existe une unique fonction f, dérivable sur Rtelle que f0=f et
f(0) =1.
Cette fonction est la fonction exponentielle. On la note exp.
Démonstration :
Existence :
le théorème d’existence et d’unicité de la fonction qui s’annule en a:
x7→ Zx
af(t)dt (voir théorème 16 page 16) permet de prouver l’existence de
la fonction logarithme et de sa réciproque, la fonction exponentielle (grâce au
théorème de la bijection).
Unicité :
Supposons qu’il existe une autre solution gvérifiant les conditions.
fne s’annule pas, la fonction g
fest donc définie et dérivable sur Ret on a :
g
f!0=f0g−g0f f2=fg −gf f2=0.
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