Chapitre 12

Chapitre 12
SERIES ENTIERES
1
Rayon de convergence
Définition 1 On appelle série entière toute série d’applications fn où fn est une application de C dans C
telle que fn (z) = an z n avec (an ) une suite complexe.
Définition 2 E = {ρ ≥ 0, tel que la suite(|an | ρn )n∈N soit
P bornée} est un intervalle.
On appelle rayon de convergence de la série entière n≥0 an z n , la borne supérieure dans R de E.
Lemme 3 d’Abel : Supposons que ∀n ∈ N, |an | ρn ≤ M ,
∀n ∈ N, ∀z ∈ C, |an z n | ≤ M
P
Théorème 4 Soit R le rayon de convergence de
L=R
Exemple 5
P
n≥0
zn,
P
⇔
zn
n≥0 n2 ,
n≥0
|z|
ρ
n
an z n et L un réel.
P
|z| < L ⇒ n≥0 an z n absolument convergente
P
|z| > L ⇒ n≥0 an z n diverge
zn
n≥0 n ,
P
zn
n≥0 Rn ,
P
zn
n≥0 n! ,
P
P
n≥0
nn z n ,
P
n≥0
sin(n)z n
P
n
Théorème
P 6 Soitn n≥0 an z une série entière de rayon de convergence R.
La série Pn≥0 an z est absolument convergente sur le disque ouvert de convergence D = {z ∈ C : |z| < R}
La série n≥0 an z n est
Pnormalement convergente sur tout compact du disque ouvert de convergence D.
La somme de la série n≥0 an z n est continue sur le disque ouvert de convergence D.
Proposition 7 Règle de d’Alembert et de Cauchy :
|an+1 |
=
|an |
p
si lim n |an | =
si lim
Proposition 8 Soient
P
n≥0
an z n et
P
n≥0 bn z
n
1
.
L
1
L ∈ R, alors R =
L
L ∈ R alors R =
deux séries entières de rayon de convergence Ra et Rb .
si ∀n
∈
N, |an | ≤ |bn | alors Ra ≥ Rb
si |an |
∼
|bn | alors Ra = Rb
P
P
Proposition 9 Soient n≥0 an z n et n≥0 bn z n deux séries entières
de rayon de convergence Ra et Rb ,
P
1) soit cn = an + bn et Rc le rayon de convergence de la série n≥0 cn z n , on a :
si Ra 6= Rb alors Rc = min(Ra , Rb ),
si Ra = Rb alors Rc ≥ min(Ra , Rb ) et
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
n
n
n
∀z ∈ C tel que |z| < min(Ra , Rb ), on a
cn z =
an z
+
bn z
n=0
2) soit cn =
P
p+q=n
n=0
P
ap bq et Rc le rayon de convergence de la série
∀z ∈ C tel que |z| < min(Ra , Rb ), on a
∞
X
cn z n =
P
n≥0
nk an z n de
n=0
P
Corollaire 11 Soit F une fraction rationnelle. Les séries entières
rayon de convergence .
63
n≥0
P
n
, on a Rc ≥ min(Ra , Rb ) et
! ∞
!
∞
X
X
n
n
an z
bn z
n≥0 cn z
n=0
Théorème 10 Soit k ∈ N. Les séries entières
.
n=0
n=0
an z n ont le même rayon de convergence
n≥0
F (n)an z n de
P
n≥0
an z n ont le même
2
2.1
Série entière d’une variable réelle
Propriété de la somme
P∞
Théorème 12 Soit f (t) = n=0 an tn
la somme d’une série entière de la variable réelle de rayon de convergence R > 0 :
1) f est C ∞ sur ] − R, R[ et ses dérivées successives sont les sommes des séries dérivées successives, et on a :
∀n ∈ N,
an =
1 (n)
f (0)
n!
2) On peut intégrer terme à terme, c’est à dire :
Z
∀x ∈] − R, R[,
x
f (t)dt =
0
∞
X
an
n=0
xn+1
n+1
Proposition 13 Pour toutPp ≥ 0, la somme f admet un développement limité à l’ordre p au voisinage de 0
p
dont la partie régulière est n=0 an tn .
Exemple 14
∞
X
1
=
(−x)n
1 + x n=0
∀x ∈
] − 1, 1[,
∀x ∈
] − 1, 1[, ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n−1
n=1
2.2
xn
n
Fonctions développables en séries entières
Définition 15 Soit f une application d’une partie X de R dans C.
On dit que f est développable
P en série entière en 0,
s’il existe une série entière n≥0 an tn de rayon R > 0 et r ∈]0, R] avec ] − r, r[⊂ X tel que :
∀t ∈] − r, r[, f (t) =
∞
X
an tn
n=0
On dit que f est développable en série entière en t0 si l’application t 7−→ f (t0 + t) est développable en série
entière en 0.
∞
X
∀t ∈] − r, r[, f (t0 + t) =
an tn
n=0
Proposition 16 Si f est DSE en 0 sur ] − r, r[, alors f est C ∞ sur ] − r, r[ et le DSE de f en 0 est unique :
∀t ∈] − r, r[, f (t) =
∞
X
f (n) (0) n
t
n!
n=0
Définition 17 Soit f une fonction de classe C ∞ sur ] − r, r[ avec r > 0. On appelle série de Taylor de f en 0,
la série
X f (n) (0)
tn
n!
n
Remarque 18 La série de Taylor de f en 0 peut être de rayon infini, sans que f soit DSE en 0.
1
Exemple : f (x) = e− x2 si x 6= 0 et f (0) = 0
Proposition 19 Soit f une application DSE en 0, si f est paire alors ∀p ∈ N, a2p+1 = 0 et si f est impaire
alors ∀p ∈ N, a2p = 0
Proposition 20 Si f est de classe C ∞ sur un intervalle I =] − a, a[ et s’il existe un ρ > 0 et M ∈ R+ tels que
M n!
∀x ∈ I, ∀n ∈ N, f (n) (x) ≤ n
ρ
alors f est DSE en 0 sur ] − R, R[ où R = min(a, ρ).
64
Exemple 21 ∀x ∈ R, ex =
xn
n=0 n! ,
P∞
sin x =
P∞
n=0
n x2n+1
(2n+1)! ,
(−1)
cos x =
P∞
n=0
(−1)
n x2n
(2n)!
P
P
Proposition 22 Soient f et g deux fonctions DSE en 0 de développement
respectifs
an tn et
bn tn .
P
1) ∀(α, β) ∈ C2 , αf + βg est DSE en 0 et son développement est (αan + βbn )tn .
2) f g est DSE en 0 et son développement est le produit de Cauchy des deux séries entières.
Remarque 23 Soit f une fonction DSE en 0 sur ] − r, r[ de développement
] − r, r[, et si F est une primitive de f sur ] − r, r[, alors F est DSE en 0
X
nan tn−1
∀t ∈ ] − r, r[, f 0 (t) =
P
an tn alors f 0 est DSE en 0 sur
n≥1
∀t
2.3
∈ ] − r, r[, F (x) = F (0) +
X an
tn+1
n+1
Méthode de l’équation différentielle :
Pour montrer qu’une application est développable en série entière et pour trouver sa série entière on peut :
1) trouver une équation différentielle linéaire d’ordre un ou deux dont f soit solution, lui associer un problème
de Cauchy P dont f est solution,
2) chercher s’il existe une série entière de rayon de convergence non nul dont la somme g est solution du problème
de Cauchy P ,
3) conclure par unicité.
Exemple 24 f (x) = (1 + x)α avec α ∈ R.
2.4
Développement en série entière des fonctions usuelles
Proposition 25
∀z ∈ C, |z| < 1 , on a
∞
X
zn =
n=0
1
1−z
Proposition 26 Toute fraction rationnelle F n’admettant pas 0 pour pôle est développable en série entière en
0 et le rayon de convergence du DSE en 0 est le minimum des modules des pôles complexes de F .
Exemple 27
F (x) =
1 − x2
1 − 2x cos α + x2
Ci-joint un tableau de DSE à connaître.
3
3.1
Exponentielle complexe
Exponentielle complexe
Définition 28 On appelle exponentielle complexe la somme de la série entière
On a donc :
∞
X
zn
∀z ∈ C, exp(z) = ez =
n!
n=0
zn
n≥0 n!
P
qui est de rayon infini.
Proposition 29 La restriction de l’exponentielle complexe à R conduit à l’exponentielle réelle .
Proposition 30
∀(z, z 0 ) ∈
0
0
∀z
∈
∀z
∈
C2 , ez+z = ez ez
1
C , e−z = z
e
C , ez = ez
∀z
∈
C , |ez | = eRe(z)
∀z
∈
C , |ez | = 1 ⇐⇒ z ∈ iR
65
∗
Théorème 31 L’application exponentielle est un morphisme continu surjectif de (C, +) sur (C , ×).
Théorème 32 L’application ϕ : t → eit est un morphisme continu surjectif de (R, +) sur (U, ×). Il existe un
unique réel a > 0 tel que ker ϕ = aZ. On note π = a2 .
Corollaire 33
∀t ∈ R , eit = 1 ⇔ t ∈ 2πZ
Le sous-groupe des périodes de ϕ est 2πZ.
Proposition 34 Il existe une unique application continue ϕ définie sur le plan complexe privé du demi-axe
réel négatif telle que
ϕ(1)
=
0
∀z
∈
C, exp(ϕ(z)) = z
Cette fonction est appelée détermination principale du logarithme et coïncide avec la fonction ln sur R∗+ .
3.2
Fonctions circulaires et hyperboliques
Définition 35 On appelle fonctions cosinus et sinus complexes, les applications de C dans C définies par :
∀z
∈
∞
X
z 2n
eiz + e−iz
=
(−1)n
C , cos z =
2
(2n)!
n=0
∀z
∈
C , sin z =
∞
X
eiz − e−iz
z 2n+1
=
(−1)n
2i
(2n + 1)!
n=0
On appelle fonctions cosinus et sinus hyperboliques complexes, les applications de C dans C définies par :
∀z
∈
C , ch z =
∞
X
z 2n
ez + e−z
=
2
(2n)!
n=0
∀z
∈
C , sh z =
∞
X
ez − e−z
z 2n+1
=
2
(2n + 1)!
n=0
Proposition 36
∀z
∈ C, cos(iz) = ch z, ch(iz) = cos z
∀z
∈ C, sin(iz) = ish z, sh(iz) = i sin z
∀z
∈ C, ez = ch z + sh z, eiz = cos z + i sin z
∀z
∈ C, ch2 z − sh2 z = 1, cos2 z + sin2 z = 1
Proposition 37
∀(a, b) ∈ C2 , cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
∀(a, b) ∈ C2 , sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
∀(a, b) ∈ C2 , ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b
∀(a, b) ∈ C2 , sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh b
Proposition 38 L’application cos est paire périodique et son groupe des périodes est 2πZ.
L’application sin est impaire périodique et son groupe des périodes est 2πZ.
L’application ch est paire périodique et son groupe des périodes est 2iπZ.
L’application sh est impaire périodique et son groupe des périodes est 2iπZ.
Définition 39 Les restrictions des fonctions trigonométriques complexes à R coincident avec les fonctions
trigonométriques réelles dont nous avions admis l’existence :
∞
∞
2n
X
X
eit − e−it
t2n+1
eit + e−it
n t
=
(−1)
, sin t =
=
(−1)n
.
∀t ∈ R, cos t =
2
(2n)!
2i
(2n + 1)!
n=0
n=0
Proposition 40 Les fonctions cos et sin sont de classe C ∞ et (cos)0 = − sin, (sin)0 = cos .
66
3.3
Théorème de relèvement
Théorème 41 L’application θ 7→ eiθ est une bijection de ] − π, π[ sur U\{−1}.
Son application réciproque u 7→ Arg(u) est continue.sur U\{−1} et ne se prolonge pas en une application
continue sur U.
y
(u = x + iy, x2 + y 2 = 1, , x 6= 1) ⇒ Arg(u) = 2Arc tan
x+1
Théorème 42 du relèvement :Soit f ∈ C k (I, C) avec k ≥ 1 telle que ∀t ∈ I, |f (t)| = 1. Il existe une fonction
θ ∈ C k (I, R) telle que :
∀t ∈ I, f (t) = eiθ(t)
De plus une telle fonction est unique à une constante additive multiple de 2π près.
Corollaire 43 Soit f ∈ C k (I, C∗ ) avec k ≥ 1 . Il existe deux fonctions (ρ, θ) ∈ C k (I, R)2 telle que :
∀t ∈ I, ρ(t) > 0 et f (t) = ρ(t)eiθ(t)
De plus une telle fonction est unique à une constante additive multiple de 2π près.
67