Chapitre 12

Chapitre 12
SERIES ENTIERES
1 Rayon de convergence
Définition 1 On appelle série entière toute série d’applications fnoù fnest une application de Cdans C
telle que fn(z) = anznavec (an)une suite complexe.
Définition 2 E={ρ≥0,tel que la suite(|an|ρn)n∈Nsoit bornée}est un intervalle.
On appelle rayon de convergence de la série entière Pn≥0anzn, la borne supérieure dans Rde E.
Lemme 3 d’Abel : Supposons que ∀n∈N,|an|ρn≤M,
∀n∈N,∀z∈C,|anzn| ≤ M|z|
ρn
Théorème 4 Soit Rle rayon de convergence de Pn≥0anznet Lun réel.
L=R⇔|z|< L ⇒Pn≥0anznabsolument convergente
|z|> L ⇒Pn≥0anzndiverge
Exemple 5 Pn≥0zn,Pn≥0
zn
n2,Pn≥0
zn
n,Pn≥0
zn
Rn,Pn≥0
zn
n!,Pn≥0nnzn,Pn≥0sin(n)zn
Théorème 6 Soit Pn≥0anznune série entière de rayon de convergence R.
La série Pn≥0anznest absolument convergente sur le disque ouvert de convergence D={z∈C:|z|< R}
La série Pn≥0anznest normalement convergente sur tout compact du disque ouvert de convergence D.
La somme de la série Pn≥0anznest continue sur le disque ouvert de convergence D.
Proposition 7 Règle de d’Alembert et de Cauchy :
si lim |an+1|
|an|=L∈Ralors R=1 L.
si lim n
p|an|=L∈R,alors R=1
L
Proposition 8 Soient Pn≥0anznet Pn≥0bnzndeux séries entières de rayon de convergence Raet Rb.
si ∀n∈N,|an|≤|bn|alors Ra≥Rb
si |an|∼|bn|alors Ra=Rb
Proposition 9 Soient Pn≥0anznet Pn≥0bnzndeux séries entières de rayon de convergence Raet Rb,
1) soit cn=an+bnet Rcle rayon de convergence de la série Pn≥0cnzn, on a :
si Ra6=Rbalors Rc= min(Ra, Rb),
si Ra=Rbalors Rc≥min(Ra, Rb)et
∀z∈Ctel que |z|<min(Ra, Rb),on a
∞
X
n=0
cnzn= ∞
X
n=0
anzn!+ ∞
X
n=0
bnzn!
2) soit cn=Pp+q=napbqet Rcle rayon de convergence de la série Pn≥0cnzn, on a Rc≥min(Ra, Rb)et
∀z∈Ctel que |z|<min(Ra, Rb),on a
∞
X
n=0
cnzn= ∞
X
n=0
anzn! ∞
X
n=0
bnzn!
Théorème 10 Soit k∈N. Les séries entières Pn≥0nkanznde Pn≥0anznont le même rayon de convergence
.
Corollaire 11 Soit Fune fraction rationnelle. Les séries entières Pn≥0F(n)anznde Pn≥0anznont le même
rayon de convergence .
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2 Série entière d’une variable réelle
2.1 Propriété de la somme
Théorème 12 Soit f(t) = P∞
n=0 antn
la somme d’une série entière de la variable réelle de rayon de convergence R > 0:
1) fest C∞sur ]−R, R[et ses dérivées successives sont les sommes des séries dérivées successives, et on a :
∀n∈N, an=1
n!f(n)(0)
2) On peut intégrer terme à terme, c’est à dire :
∀x∈]−R, R[,Zx
0
f(t)dt =
∞
X
n=0
an
xn+1
n+ 1
Proposition 13 Pour tout p≥0, la somme fadmet un développement limité à l’ordre pau voisinage de 0
dont la partie régulière est Pp
n=0 antn.
Exemple 14
∀x∈]−1,1[,1
1 + x=
∞
X
n=0
(−x)n
∀x∈]−1,1[,ln(1 + x) =
∞
X
n=1
(−1)n−1xn
n
2.2 Fonctions développables en séries entières
Définition 15 Soit fune application d’une partie Xde Rdans C.
On dit que fest développable en série entière en 0,
s’il existe une série entière Pn≥0antnde rayon R > 0et r∈]0, R]avec ]−r, r[⊂Xtel que :
∀t∈]−r, r[, f (t) =
∞
X
n=0
antn
On dit que fest développable en série entière en t0si l’application t7−→ f(t0+t)est développable en série
entière en 0.
∀t∈]−r, r[, f (t0+t) =
∞
X
n=0
antn
Proposition 16 Si fest DSE en 0sur ]−r, r[, alors fest C∞sur ]−r, r[et le DSE de fen 0est unique :
∀t∈]−r, r[, f (t) =
∞
X
n=0
f(n)(0)
n!tn
Définition 17 Soit fune fonction de classe C∞sur ]−r, r[avec r > 0. On appelle série de Taylor de fen 0,
la série
X
n
f(n)(0)
n!tn
Remarque 18 La série de Taylor de fen 0peut être de rayon infini, sans que fsoit DSE en 0.
Exemple : f(x) = e−1
x2si x6= 0 et f(0) = 0
Proposition 19 Soit fune application DSE en 0, si fest paire alors ∀p∈N, a2p+1 = 0 et si fest impaire
alors ∀p∈N, a2p= 0
Proposition 20 Si fest de classe C∞sur un intervalle I=] −a, a[et s’il existe un ρ > 0et M∈R+tels que
∀x∈I, ∀n∈N,f(n)(x)≤Mn!
ρn
alors fest DSE en 0sur ]−R, R[où R= min(a, ρ).
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Exemple 21 ∀x∈R, ex=P∞
n=0
xn
n!,sin x=P∞
n=0 (−1)nx2n+1
(2n+1)! ,cos x=P∞
n=0 (−1)nx2n
(2n)!
Proposition 22 Soient fet gdeux fonctions DSE en 0de développement respectifs Pantnet Pbntn.
1) ∀(α, β)∈C2,αf +βg est DSE en 0et son développement est P(αan+βbn)tn.
2) fg est DSE en 0et son développement est le produit de Cauchy des deux séries entières.
Remarque 23 Soit fune fonction DSE en 0sur ]−r, r[de développement Pantnalors f0est DSE en 0sur
]−r, r[, et si Fest une primitive de fsur ]−r, r[, alors Fest DSE en 0
∀t∈]−r, r[, f 0(t) = X
n≥1
nantn−1
∀t∈]−r, r[, F (x) = F(0) + Xan
n+ 1tn+1
2.3 Méthode de l’équation différentielle :
Pour montrer qu’une application est développable en série entière et pour trouver sa série entière on peut :
1) trouver une équation différentielle linéaire d’ordre un ou deux dont fsoit solution, lui associer un problème
de Cauchy Pdont fest solution,
2) chercher s’il existe une série entière de rayon de convergence non nul dont la somme gest solution du problème
de Cauchy P,
3) conclure par unicité.
Exemple 24 f(x) = (1 + x)αavec α∈R.
2.4 Développement en série entière des fonctions usuelles
Proposition 25
∀z∈C,|z|<1, on a
∞
X
n=0
zn=1
1−z
Proposition 26 Toute fraction rationnelle Fn’admettant pas 0pour pôle est développable en série entière en
0et le rayon de convergence du DSE en 0est le minimum des modules des pôles complexes de F.
Exemple 27
F(x) = 1−x2
1−2xcos α+x2
Ci-joint un tableau de DSE à connaître.
3 Exponentielle complexe
3.1 Exponentielle complexe
Définition 28 On appelle exponentielle complexe la somme de la série entière Pn≥0
zn
n!qui est de rayon infini.
On a donc :
∀z∈C,exp(z) = ez=
∞
X
n=0
zn
n!
Proposition 29 La restriction de l’exponentielle complexe à Rconduit à l’exponentielle réelle .
Proposition 30
∀(z, z0)∈C2, ez+z0=ezez0
∀z∈C, e−z=1
ez
∀z∈C, ez=ez
∀z∈C,|ez|=eRe(z)
∀z∈C,|ez|= 1 ⇐⇒ z∈iR
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Théorème 31 L’application exponentielle est un morphisme continu surjectif de (C,+) sur (C∗,×).
Théorème 32 L’application ϕ:t→eit est un morphisme continu surjectif de (R,+) sur (U, ×). Il existe un
unique réel a > 0tel que ker ϕ=aZ. On note π=a
2.
Corollaire 33
∀t∈R, eit = 1 ⇔t∈2πZ
Le sous-groupe des périodes de ϕest 2πZ.
Proposition 34 Il existe une unique application continue ϕdéfinie sur le plan complexe privé du demi-axe
réel négatif telle que
ϕ(1) = 0
∀z∈C,exp(ϕ(z)) = z
Cette fonction est appelée détermination principale du logarithme et coïncide avec la fonction ln sur R∗
+.
3.2 Fonctions circulaires et hyperboliques
Définition 35 On appelle fonctions cosinus et sinus complexes, les applications de Cdans Cdéfinies par :
∀z∈C,cos z=eiz +e−iz
2=
∞
X
n=0
(−1)nz2n
(2n)!
∀z∈C,sin z=eiz −e−iz
2i=
∞
X
n=0
(−1)nz2n+1
(2n+ 1)!
On appelle fonctions cosinus et sinus hyperboliques complexes, les applications de Cdans Cdéfinies par :
∀z∈C, ch z =ez+e−z
2=
∞
X
n=0
z2n
(2n)!
∀z∈C, sh z =ez−e−z
2=
∞
X
n=0
z2n+1
(2n+ 1)!
Proposition 36
∀z∈C,cos(iz) = ch z, ch(iz) = cos z
∀z∈C,sin(iz) = ish z, sh(iz) = isin z
∀z∈C, ez=ch z +sh z, eiz = cos z+isin z
∀z∈C, ch2z−sh2z= 1,cos2z+ sin2z= 1
Proposition 37
∀(a, b)∈C2,cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
∀(a, b)∈C2,sin(a+b) = sin acos b+ cos asin b
∀(a, b)∈C2, ch(a+b) = ch a ch b +sh a sh b
∀(a, b)∈C2, sh(a+b) = sh a ch b +ch a sh b
Proposition 38 L’application cos est paire périodique et son groupe des périodes est 2πZ.
L’application sin est impaire périodique et son groupe des périodes est 2πZ.
L’application ch est paire périodique et son groupe des périodes est 2iπZ.
L’application sh est impaire périodique et son groupe des périodes est 2iπZ.
Définition 39 Les restrictions des fonctions trigonométriques complexes à Rcoincident avec les fonctions
trigonométriques réelles dont nous avions admis l’existence :
∀t∈R,cos t=eit +e−it
2=
∞
X
n=0
(−1)nt2n
(2n)!,sin t=eit −e−it 2i=
∞
X
n=0
(−1)nt2n+1
(2n+ 1)!.
Proposition 40 Les fonctions cos et sin sont de classe C∞et (cos)0=−sin,(sin)0= cos .
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3.3 Théorème de relèvement
Théorème 41 L’application θ7→ eiθ est une bijection de ]−π, π[sur U\{−1}.
Son application réciproque u7→ Arg(u)est continue.sur U\{−1}et ne se prolonge pas en une application
continue sur U.
(u=x+iy, x2+y2= 1, , x 6= 1) ⇒Arg(u)=2Arc tan y
x+ 1
Théorème 42 du relèvement :Soit f∈ Ck(I, C)avec k≥1telle que ∀t∈I, |f(t)|= 1. Il existe une fonction
θ∈ Ck(I, R)telle que :
∀t∈I, f(t) = eiθ(t)
De plus une telle fonction est unique à une constante additive multiple de 2πprès.
Corollaire 43 Soit f∈ Ck(I, C∗)avec k≥1. Il existe deux fonctions (ρ, θ)∈ Ck(I, R)2telle que :
∀t∈I, ρ(t)>0et f(t) = ρ(t)eiθ(t)
De plus une telle fonction est unique à une constante additive multiple de 2πprès.
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