x - Free

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C O L L E S P T S I M A T H S - I1A - Semaine N° 6 : du 17 au 19 octobre 2016
et du 3 au 4 novembre 2016
Définitions et théorèmes à connaître :
Chap 4 – Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles – rappels et compléments
Ensemble
(
)
,
AF
R
ou
A
R
. Somme, produit et composée de fonctions.
Domaine de définition.
 Cas de la composée :
(
)
g f x
défini si
x Df
∈ et
(
)
f x Dg
∈
.
Courbe représentative.
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f x
−
֏
s’obtient à partir de
Cf
par symétrie d’axe
Oy
.
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f x
−
֏
s’obtient à partir de
Cf
par symétrie d’axe
Ox
.
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f x a
+
֏
s’obtient à partir de
Cf
par translation de vecteur
(
)
0,
u a
.
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f x a
+
֏
s’obtient à partir de
Cf
par translation de vecteur
(
)
,0
u a
−
.
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x a f x
×
֏
avec
0
a
>
s’obtient à partir de
Cf
par dilatation ou contraction verticale.
( si
0
a
<
, on combine la dilatation/contraction avec une symétrie orthogonale d’axe
Ox
)
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f a x
×
֏
avec
0
a
>
s’obtient à partir de
Cf
par dilatation ou contraction horizontale.
( si
0
a
<
, on combine la dilatation/contraction avec une symétrie orthogonale d’axe
Oy
)
Fonctions croissante/décroissantes/monotones sur D. Fonctions strictement croissante/décroissantes/monotones sur D.
 composée de fonctions monotones.
Fonctions majorées/minorées/bornées sur D.
 f est bornée sur D
⇔
(
)
0, ,
K x D f x K
∃ > ∀ ∈ ≤
.
Relation
f g
≤
.
recherche du signe de
f g
−
par factorisation ou par étude de fonction.
Restrictions du domaine d’étude
Périodicité, parité, autres symétries : (symétrie d’axe :
x a
∆ =
, symétrie de centre
(
)
,
a b
Ω
).
Continuité, prolongement par continuité en un point.
Soit
a Df
∈ . Alors f est continue en a ssi
(
)
(
)
(
)
lim
x a
f x f a
→
=
.
Nombre dérivée de f en a, interprétation graphique. Fonction dérivée de f sur D.
Soit
a Df
∈ . Alors f est dérivable en a ssi
(
)
(
)
f x f a
x a
−
−
admet une limite finie quand x tend vers a.
on note alors
(
)
(
)
( )
lim
x a
f x f a
f a
x a
→
−
′
=
−
, appelé nombre dérivé de f en a .
Si f est dérivable en a, alors
Cf
admet en
(
)
(
)
,
A a f a
une tangente d’équation :
(
)
(
)
(
)
y f a x a f a
′
= × − +
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Fonctions dérivées successives.
(
)
0
f f
=
, et si
(
)
n
f
est dérivable sur D, on note
( ) ( )
( )
1n n
f f
+
′
=
appelée fonction dérivée
( )
1
ième
n+
de f .
Dérivée et variations.
Soit I un intervalle, et f une fonction dérivable sur I .
f est croissante sur I
⇔
0
f
′
≥
sur I
f est décroissante sur I
⇔
0
f
′
≤
sur I
f est constante sur I
⇔
0
f
′
=
sur I
de plus si
0
f
′
>
sur I , alors f est strictement croissante sur I
si
0
f
′
<
sur I , alors f est strictement décroissante sur I
Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient.
dérivée d’une composée : Si f est dérivable sur D, à valeurs dans C , et g dérivable sur C ,
alors
g f
est dérivable sur D , et
( ) ( )
g f f g f
′′ ′
= ×

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Fonction réciproque
 Soit f une bijection. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de
1
f
−
est obtenue à partir de la courbe
représentative de f par symétrie orthogonale d’axe :
y x
∆ =
.
 Théorème de la bijection. Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans
R
.
Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f est une bijection de I dans
(
)
J f I
=
.
 Dérivée d’une réciproque. Soit f une bijection de A sur B.
Si f est dérivable sur A et si
f
′
ne s’annule pas sur A,
alors
1
f
−
est dérivable sur B, et
( )
1
1
1
f
f f
−
−
′=′
.
Chap 5 – Fonctions usuelles
Objectifs Elargir le panel des fonctions de référence :
Maitriser les propriétés algébriques de ces fonctions.
Connaitre les courbes, les domaines de dérivabilité et les dérivées, les limites.
Fonction valeur absolue
 La valeur absolue est une fonction définie et continue sur
R
, dérivable sur
∗
R
, paire.
2
,
x x x
∀ ∈ =
R
,
x x
≥
et
x x
≥ −
.
(
)
2
, ,
x y x y x y
∀ ∈ + ≤ +
R
inégalité triangulaire
Valeur absolue et dérivation : savoir dériver une fonction contenant une valeur absolue.
 Lecture sur graphe à maîtriser : savoir résoudre graphiquement les inéquations
3
x
≥
et
3
x
≤
Valeur absolue et distance : savoir résoudre avec la notion de distance les inéquations
2 x
α
− ≤
et
2 x
α
− ≥
.
Fonctions polynômes.
fonction polynôme, degré, coefficient dominant, monômes, fraction rationnelle.
 Toute fonction polynôme est définie, continue et dérivable sur
R
.
 Toute fraction rationnelle est définie, continue et dérivable sur
R
privé des racines du dénominateur.
 Un polynôme est nul ssi tous ses coefficients sont nuls.
 Deux polynômes sont égaux ssi leurs coefficients sont égaux.
 on appelle racine de P tout réel
α
vérifiant
(
)
0
P α
=
. On peut alors factoriser P par
(
)
x
α
−
.
 La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du rapport des monômes de plus haut degré.
Fonction logarithme népérien
 La fonction ln est définie, continue et dérivable sur
+∗
R
, et
(
)
, ln 1/
x x x
+∗
′
∀ ∈ =
R
.
( )
(
)
2
,x y
∗
+
∀ ∈
R
,
(
)
(
)
(
)
ln ln ln
xy x y
= +
,
(
)
(
)
ln 1/ ln
x x
= −
, et
(
)
(
)
(
)
ln / ln ln
x y x y
= −
(
)
, ln ln
n
x n x n x
+∗
∀ ∈ ∀ ∈ =
R Z
e et t
( )
( )
( )
1 2 1
1
, ,.., , ln ln
nn
n
n k k
k
k
x x x x x
∗
+=
=
∀ ∈ =
∑
∏
R
Dérivée de
ln
u
: si u dérivable sur I et ne s’annule pas sur I, alors
ln
u
est dérivable sur I et
( )
ln
u
u
u
′
′
=
.
fonction exponentielle
La fonction exp est définie, continue et dérivable sur R , et
(
)
(
)
, exp exp
x x x
′
∀ ∈ =
R
.
(
)
2
, x y∀ ∈
R
,
x y x y
e e e
+
= ×
,
e 1/
x x
e
−
=
, et
e /
x y x y
e e
−
= .
x
∀ ∈
R
et
(
)
, e
n
nx x
n e
∀ ∈ =
Z
et
( )
1
1 2 1
, ,.., , e
n
k
k k
n
x
x
n
nk
x x x e
=
=
∑
∀ ∈ =
∏
R
.
Fonctions puissances réelle
x x
α
֏
avec
α
constante réelle.
La fonction
x x
α
֏
est définie, continue et dérivable sur
+∗
R
, et
( )
1
,
x x x
α α
α
+∗ −
′
∀ ∈ =
R
( pour
α
constant !!)
(
)
2
, α β ∀ ∈
R
,
( )
(
)
2
,x y
+∗
∀ ∈
R
,
( )
x y xy
α
α α
=
x x x
α β α β
+
=
(
)
x x
β
α αβ
=
1 1
α
=
0
1
x
=
(
)
ln ln
x x
α
α =
allure des courbes pour
1
α
>
,
1
α
=
,
0 1
α
< <
,
0
α
=
,
0
α
<
.
Etude d’une fonction de type
( )
(
)
v x
u x : utiliser la forme exponentielle.
limites
Taux de variations :
(
)
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
lim 1
x
x
ex
→
−
=

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 croissances comparées : pour
0
α
>
:
e
lim
x
x
x
α
→+∞
= +∞
,
ln
lim 0
x
x
x
α
→+∞
=
,
(
)
0
lim ln 0
x
x x
α
→
=
.
pour n
∈
N
:
(
)
lim e 0
n x
x
x
→−∞
=
Fonctions hyperboliques sh, ch.
 sinus hyperbolique : x
∀ ∈
R
,
Sh
2
x x
e e
x
−
−
= et
cosinus hyperbolique : x
∀ ∈
R
, Ch
2
x x
e e
x
−
+
= .
Sh et Ch sont définies, continues et dérivables sur ℝ , de plus,
Sh Ch
′
=
et
Ch Sh
′
=
.
Sh est impaire et Ch est paire.
Formule
2 2
ch sh 1
− =
.
Fonctions circulaires
Les fonctions sinus et cosinus sont définies, continues et dérivables sur
R
,
sin cos
′
=
et
cos sin
′
= −
.
Les fonctions sinus et cosinus sont
2
π
-périodiques, sinus est impaire, et cosinus est paire.
La fonction tangente
sin
tan
cos
=
est définie, continue et dérivable sur
tan
/
2
D k k
ππ
= − + ∈
ℝ ℤ
et
2
2
1
tan 1 tan
cos
′= = + .
La fonction tan est
π
-périodique et impaire.
Limites de taux de variations :
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
et
0
tan
lim 1
x
x
x
→
=
Savoir simplifier
sin
u
,
cos
u
et
tan
u
avec
u x
π
= −
,
u x
π
= +
,
2
u x
π
= −
,
2
u x
π
= +
Savoir résoudre graphiquement des équations
sin sin
a b
=
,
cos cos
a b
=
,
tan tan
a b
=
.
Fonctions arcsin, arccos et arctan.
Arcsinus (Arcsin) :
[ ]
-1,1 ,
2 2
π π
→ −
, définie par :
(
)
[ ]
(
)
[ ]
Arcsin sin
1,1 2, 2
a a
a
θ θ
θ π π
= =
⇔
∈ − ∈ −
Pour
[
]
1,1
a∈ −
,
(
)
arcsin
a
est l’unique
[
]
2, 2
θ π π ∈ −
vérifiant
(
)
sin
a
θ
=
Arccosinus (Arccos) :
[
]
[
]
-1,1 0,
π
→
, définie par :
(
)
[ ]
(
)
[ ]
Arccos cos
1,1 0,
a a
a
θ θ
θ π
= =
⇔
∈ − ∈
Pour
[
]
1,1
a∈ −
,
(
)
arccos
a
est l’unique
[
]
0,
θ π
∈
vérifiant
(
)
cos
a
θ
=
Arctangente (Arctan) :
]
[
2, 2
π π → −
R
, définie par :
(
)
(
)
] [
tan
Arctan
2, 2
a
a
a
θ
θθ π π
=
=
  ⇔
  ∈ −
∈ ℝ
Pour a
∈
R
,
(
)
arctan
a
est l’unique
]
[
2, 2
θ π π ∈ −
vérifiant
(
)
tan
a
θ
=
.
[
]
1,1
x∀ ∈ −
,
( )
(
)
2
cos Arcsin 1
x x
= − , et
( )
(
)
2
sin Arccos 1
x x
= −
Les fonctions Arcsin et Arctan sont impaires.
Arcsin et Arccos sont définies et continues sur
[
]
1,1
−
dérivables sur
]
[
1,1
−
, et
]
[
1,1
x∀ ∈ −
,
( )
2
1
Arcsin 1 x
x
′=− et
( )
2
1
Arccos 1 x
x
−
′=
−
Arctan est définie, continue et dérivable sur
R
, et x
∀ ∈
ℝ
,
( )
2
1
Arctan 1 x
x
′=
+
.
0
Arcsin
lim 1
x
x
x
→
=
et
0
Arctan
lim 1
x
x
x
→
=
Démonstrations ou exercices à comprendre et savoir refaire :
Démos
[
]
1,1
x∀ ∈ −
,
( )
(
)
2
cos Arcsin 1
x x
= −
Arcsin est dérivable sur
]
[
1,1
− , et
]
[
1,1
x∀ ∈ −
( )
2
1
Arcsin 1 x
x
′=−
Exo TD : Montrer :
x
+
∀ ∈
R
,
3
sin
6
x
x x
− ≤
.
Exo cours : Trouver le domaine de dérivabilité, puis calculer la dérivée de
( )
: ln 2 3
f x x
+
֏

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Savoir-faire :
• Savoir montrer une inégalité à l’aide d’une étude de fonction.
• Savoir mener les différentes étapes d’une étude de fonction ( domaine de définition, restriction du domaine d’étude
avec périodicité et/ou parité, domaine de dérivabilité et variations, limites, interprétations géométriques : point et tangente,
asymptotes verticales, graphe )
• savoir trouver le domaine de dérivabilité d’une composée, et calculer la dérivée de la composée.
• Savoir utiliser le théorème de la bijection pour définir une réciproque, tracer la courbe de cette réciproque, puis étudier
la dérivabilité et la dérivée de la réciproque.
• Savoir visualiser sin(a), cos(a), tan(a), arcsin(t), arccos(t), arctan(t) sur le cercle trigo.