x - Free

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COLLES
P T S I M A T H S - I1A - Semaine N° 6 : du 17 au 19 octobre 2016
et du 3 au 4 novembre 2016
Définitions et théorèmes à connaître :
Chap 4 – Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles – rappels et compléments
Ensemble F ( A, R ) ou R A . Somme, produit et composée de fonctions.
Domaine de définition.
Cas de la composée : g f ( x ) défini si x ∈ Df et f ( x ) ∈ Dg .
Courbe représentative.
La courbe de la fonction g : x ֏ − f ( x ) s’obtient à partir de Cf par symétrie d’axe Oy .
La courbe de la fonction g : x ֏ f ( − x ) s’obtient à partir de Cf par symétrie d’axe Ox .
La courbe de la fonction g : x ֏ f ( x ) + a s’obtient à partir de Cf par translation de vecteur u ( 0, a ) .
La courbe de la fonction g : x ֏ f ( x + a ) s’obtient à partir de Cf par translation de vecteur u ( −a, 0 ) .
La courbe de la fonction g : x ֏ a × f ( x ) avec a > 0 s’obtient à partir de Cf par dilatation ou contraction verticale.
( si a < 0 , on combine la dilatation/contraction avec une symétrie orthogonale d’axe Ox )
La courbe de la fonction g : x ֏ f ( a × x ) avec a > 0 s’obtient à partir de Cf par dilatation ou contraction horizontale.
( si a < 0 , on combine la dilatation/contraction avec une symétrie orthogonale d’axe Oy )
Fonctions croissante/décroissantes/monotones sur D. Fonctions strictement croissante/décroissantes/monotones sur D.
composée de fonctions monotones.
Fonctions majorées/minorées/bornées sur D.
f est bornée sur D ⇔ ∃K > 0, ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ K .
Relation f ≤ g .
recherche du signe de f − g par factorisation ou par étude de fonction.
Restrictions du domaine d’étude
Périodicité, parité, autres symétries : (symétrie d’axe
∆ : x = a , symétrie de centre Ω ( a, b ) ).
Continuité, prolongement par continuité en un point.
Soit a ∈ Df . Alors f est continue en a ssi lim ( f ( x ) ) = f ( a ) .
x→a
Nombre dérivée de f en a, interprétation graphique. Fonction dérivée de f sur D.
f ( x) − f (a)
Soit a ∈ Df . Alors f est dérivable en a ssi
admet une limite finie quand x tend vers a.
x−a
 f ( x) − f ( a) 
on note alors lim 
 = f ′ ( a ) , appelé nombre dérivé de f en a .
x→a 
x−a


Si f est dérivable en a, alors Cf admet en A ( a, f ( a ) ) une tangente d’équation :
y = f ′(a)× ( x − a) + f (a)
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Fonctions dérivées successives.
f ( ) = f , et si f (
0
n)
( )′ appelée fonction dérivée ( n + 1)
est dérivable sur D, on note f ( n +1) = f ( n )
Dérivée et variations.
Soit I un intervalle, et f une fonction dérivable sur I.
f est croissante sur I ⇔ f ′ ≥ 0 sur I
f est décroissante sur I ⇔ f ′ ≤ 0 sur I
f est constante sur I ⇔ f ′ = 0 sur I
de plus
si f ′ > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I
si f ′ < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I
Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient.
dérivée d’une composée :
Si f est dérivable sur D, à valeurs dans C, et g dérivable sur C,
alors g f est dérivable sur D, et ( g f )′ = f ′ × ( g ′ f )
ième
de f.
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Fonction réciproque
Soit f une bijection. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de f −1 est obtenue à partir de la courbe
représentative de f par symétrie orthogonale d’axe ∆ : y = x .
Théorème de la bijection.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans R .
Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f est une bijection de I dans J = f ( I ) .
Dérivée d’une réciproque.
Soit f une bijection de A sur B.
Si f est dérivable sur A et si f ′ ne s’annule pas sur A,
alors f −1 est dérivable sur B, et
( f )′ =
1
−1
.
f ′ f −1
Chap 5 – Fonctions usuelles
Objectifs
Elargir le panel des fonctions de référence :
Maitriser les propriétés algébriques de ces fonctions.
Connaitre les courbes, les domaines de dérivabilité et les dérivées, les limites.
Fonction valeur absolue
La valeur absolue est une fonction définie et continue sur R , dérivable sur R ∗ , paire.
∀x ∈ R,
x2 = x
x ≥ x et x ≥ − x .
,
∀ ( x, y ) ∈ R , x + y ≤ x + y
inégalité triangulaire
Valeur absolue et dérivation : savoir dériver une fonction contenant une valeur absolue.
Lecture sur graphe à maîtriser : savoir résoudre graphiquement les inéquations x ≥ 3 et x ≤ 3
2
Valeur absolue et distance : savoir résoudre avec la notion de distance les inéquations x − 2 ≤ α et x − 2 ≥ α .
Fonctions polynômes.
fonction polynôme, degré, coefficient dominant, monômes, fraction rationnelle.
Toute fonction polynôme est définie, continue et dérivable sur R .
Toute fraction rationnelle est définie, continue et dérivable sur R privé des racines du dénominateur.
Un polynôme est nul ssi tous ses coefficients sont nuls.
Deux polynômes sont égaux ssi leurs coefficients sont égaux.
on appelle racine de P tout réel α vérifiant P (α ) = 0 . On peut alors factoriser P par ( x − α ) .
La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du rapport des monômes de plus haut degré.
Fonction logarithme népérien
La fonction ln est définie, continue et dérivable sur R+∗ , et ∀x ∈ R +∗ , ln ′ ( x ) = 1/ x .
∀ ( x, y ) ∈ ( R∗+ ) ,
ln ( xy ) = ln ( x ) + ln ( y ) ,
ln (1/ x ) = − ln ( x ) , et
∀x ∈ R +∗ , ∀n ∈ Z
ln ( x n ) = n ln x
∀ ( x1 , x2 ,.., xn ) ∈ ( R∗+ ) ,
2
et
ln ( x / y ) = ln ( x ) − ln ( y )
n
 n
 n
ln  ∏ xk  = ∑ ln ( xk )
 k =1  k =1
u′
Dérivée de ln u : si u dérivable sur I et ne s’annule pas sur I, alors ln u est dérivable sur I et ( ln u )′ = .
u
fonction exponentielle
La fonction exp est définie, continue et dérivable sur R, et ∀x ∈ R, exp′ ( x ) = exp ( x ) .
∀ ( x, y ) ∈ R 2 ,
ex+ y = ex × e y ,
e− x = 1 / e x ,
et
ex− y = ex / e y .
n
∀x ∈ R et ∀n ∈ Z, e = ( e
nx
)
et ∀ ( x1 , x2 ,.., xn ) ∈ R ,
x n
n
∑ xk
e
k =1
n
= ∏ e xk
.
k =1
Fonctions puissances réelle x ֏ xα avec α constante réelle.
La fonction x ֏ xα est définie, continue et dérivable sur R+∗ , et ∀x ∈ R +∗ ,
∀ (α , β ) ∈ R 2 , ∀ ( x, y ) ∈ ( R
)
+∗ 2
xα yα = ( xy )
α
,
1α = 1
xα x β = xα + β
x0 = 1
allure des courbes pour α > 1 , α = 1 , 0 < α < 1 , α = 0 , α < 0 .
Etude d’une fonction de type u ( x )
limites
Taux de variations :
v( x )
: utiliser la forme exponentielle.
 ln (1 + x ) 
lim 
 =1
x →0
x


 ex −1 
lim 
 =1
x →0
 x 
( x )′ = α x
α
α −1
pour α constant !!)
(
(x ) = x
ln ( x ) = α ln x
α
β
α
αβ
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 ex 
 ln x 
pour α > 0 : lim  α  = +∞ , lim  α  = 0 , lim xα ln x = 0 .
x
→+∞
x →0
x →+∞
 x 
x 
(
croissances comparées :
pour n ∈ N : lim
x →−∞
)
(x e ) = 0
n
x
Fonctions hyperboliques sh, ch.
ex − e− x
e x + e− x
et cosinus hyperbolique : ∀x ∈ R , Ch x =
.
2
2
Sh et Ch sont définies, continues et dérivables sur ℝ, de plus, Sh ′ = Ch et Ch ′ = Sh .
Sh est impaire et Ch est paire.
Formule ch 2 − sh 2 = 1 .
sinus hyperbolique : ∀x ∈ R , Sh x =
Fonctions circulaires
Les fonctions sinus et cosinus sont définies, continues et dérivables sur R , sin ′ = cos et cos′ = − sin .
Les fonctions sinus et cosinus sont 2π -périodiques, sinus est impaire, et cosinus est paire.
sin 
1

π

La fonction tangente  tan =
= 1 + tan 2 .
 est définie, continue et dérivable sur Dtan = ℝ −  + kπ / k ∈ ℤ  et tan ′ =
cos 
cos 2

2

La fonction tan est π -périodique et impaire.
 sin x 
 tan x 
Limites de taux de variations : lim 
 = 1 et lim

 =1
x →0
x
→
0
 x 
 x 
Savoir simplifier sin u , cos u et tan u avec u = π − x , u = π + x , u =
π
π
−x, u = +x
2
2
Savoir résoudre graphiquement des équations sin a = sin b , cos a = cos b , tan a = tan b .
Fonctions arcsin, arccos et arctan.
 θ = Arcsin ( a ) 
 a = sin (θ ) 
 π π
Arcsinus (Arcsin) : [ -1,1] →  − ,  , définie par : 
 ⇔ 

 2 2
 a ∈ [ −1,1] 
θ ∈ [ − π 2 , π 2 ] 
Pour a ∈ [ −1,1] , arcsin ( a ) est l’unique θ ∈ [ − π 2, π 2] vérifiant sin (θ ) = a
 θ = Arccos ( a ) 
 a = cos (θ ) 
Arccosinus (Arccos) : [ -1,1] → [ 0, π ] , définie par : 
 ⇔ 

 a ∈ [ −1,1] 
 θ ∈ [ 0, π ] 
Pour a ∈ [ −1,1] , arccos ( a ) est l’unique θ ∈ [ 0, π ] vérifiant cos (θ ) = a
 a = tan (θ ) 
 θ = Arctan ( a ) 
Arctangente (Arctan) : R → ]− π 2, π 2[ , définie par : 

 ⇔ 
a
∈
ℝ


 θ ∈ ]− π 2, π 2 [ 
Pour a ∈ R , arctan ( a ) est l’unique θ ∈ ]− π 2, π 2 [ vérifiant tan (θ ) = a .
∀x ∈ [ −1,1] , cos ( Arcsin ( x ) ) = 1 − x 2 , et sin ( Arccos ( x ) ) = 1 − x 2
Les fonctions Arcsin et Arctan sont impaires.
Arcsin et Arccos sont définies et continues sur [ −1,1] dérivables sur ]−1,1 [ , et
∀x ∈ ]−1,1 [ , Arcsin ′ ( x ) =
1
1− x
2
et Arccos′ ( x ) =
−1
1 − x2
Arctan est définie, continue et dérivable sur R , et ∀x ∈ ℝ , Arctan ′ ( x ) =
 Arcsin x 
lim 
 =1
x →0
x


et
1
.
1 + x2
 Arctan x 
lim 
 =1
x →0
x


Démonstrations ou exercices à comprendre et savoir refaire :
Démos
∀x ∈ [ −1,1] , cos ( Arcsin ( x ) ) = 1 − x 2
Arcsin est dérivable sur
Exo TD :
]−1,1[ , et
Montrer : ∀x ∈ R + , x −
∀x ∈ ]−1,1 [ Arcsin ′ ( x ) =
1
1 − x2
x3
≤ sin x .
6
Exo cours : Trouver le domaine de dérivabilité, puis calculer la dérivée de f : x ֏ ln ( 2 x + 3)
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Savoir-faire :
•
Savoir montrer une inégalité à l’aide d’une étude de fonction.
•
Savoir mener les différentes étapes d’une étude de fonction ( domaine de définition, restriction du domaine d’étude
avec périodicité et/ou parité, domaine de dérivabilité et variations, limites, interprétations géométriques : point et tangente,
asymptotes verticales, graphe )
•
savoir trouver le domaine de dérivabilité d’une composée, et calculer la dérivée de la composée.
•
Savoir utiliser le théorème de la bijection pour définir une réciproque, tracer la courbe de cette réciproque, puis étudier
la dérivabilité et la dérivée de la réciproque.
•
Savoir visualiser sin(a), cos(a), tan(a), arcsin(t), arccos(t), arctan(t) sur le cercle trigo.