Prépa concours Analyse - Feuille 3 Université d`Orléans A. Batakis

Prépa concours Analyse - Feuille 3 Université d’Orléans
A. Batakis Dérivation des fonctions - Partie I 2013-2014
Exercice 1 Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont justes et lesquelles sont fausses ?
Justifier avec une preuve ou donner un contre-exemple.
1. Toute fonction continue est dérivable.
2. Toute fonction bijective est dérivable.
3. Toute fonction croissante est dérivable.
4. Toute fonction impaire est dérivable.
5. Si une fonction fest bijective dérivable alors f−1l’est aussi.
Exercice 2 Calculer la dérivée en x0des fonctions suivantes.
1. sin √x3+x4[x0= 0]
2. xα(x, α > 0), αx(α > 0), cotan, ln √x2+ 1[x0∈R]
3. ln (f(x)), où ffonction strictement positive dérivable [x0∈R]
4. fdonnée par f(x) = sin 1
x[x06= 0]
5. gdonnée par g(x) = exp(αx),où α∈R[x0∈R].
Exercice 3 Montrer qu’une fonction f:]a, b[→Rest dérivable en x0∈]a, b[si et seulement
si il existe une fonction g:]a, b[→Ret une fonction affine h:R→Rtelle que
– Pour tout x∈]a, b[on ait f(x) = h(x)+(x−x0)g(x)et
– La fonction g:]a, b[→Rvérifie lim
x→x0
g(x) = 0
Exercice 4 Montrer que si f:R→Rest paire et dérivable en 0alors f0(0) = 0.
Exercice 5 Montrer que si la fonction dérivée de la fonction f:R→Rexiste et est bornée
alors fest lipschitzienne. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 6 Calculer les fonctions dérivées et préciser leurs domaines de définition pour
les fonctions suivantes :
ln pex2+x2+ 1,sin (ln(ex+ 3)) ,pax2+bx +c , |xα|,arcsin 1
x,ln tan x 2,
arcsin x
α,a2 2arcsin x a+x a2pa2−x2,tanh(2x), xxx,(ln x)(ln x)2,
ln tanh−1tan x
2, ex2arcot 1 + x 1−x, esin2x
Exercice 7 Montrer que si f: [a, b]→Rest une fonction convexe (c.à.d. f(λx+(1−λ)y)≤
λf(x) + (1 −λ)f(y)pour tout λ∈[0,1] et tout x, y ∈[a, b]) et dérivable, alors sa fonction
dérivée est croissante. Que peut-on dire des fonctions concaves ?
Exercice 8 Soit f:]a, b[→Rune fonction bornée et x0∈]a, b[. Que peut-on dire de la
dérivabilité de la fonction g:]a, b[→Rdonnée par g(x) = (x−x0)2f(x)?
Exercice 9 Montrer que si f:]a, b[→]c, d[et g:]c, d[→Rsont deux fonctions dérivables
alors g◦f:]a, b[→Rest dérivable et que la réciproque est fausse.
Exercice 10 Etudier les fonctions données par les formules suivantes (i.e. domaine de
définition, monotonie, injectivité, surjectivité, périodicité, parité, majoration et minoration,
inversibilité, dérivabilité). Sont-elles dérivables en 0?
1. tan(x+π
2)
x
1

2. √x7+x5+x4
x3+x2
3. exp 1
x2sin21 x
4. √xsin 1
x+ sin−1√x.
Exercice 11 Etudier les limites suivantes en utilisant la règle de l’hôpital.
1. lim
x→0
√sin x
p√x+x
2. lim
x→+∞
√x2+ 1
√ex
3. lim
x→1
√x2+x3+ 1
ex
Exercice 12 Ecrire un algorithme pour trouver les extrema d’une fonction.
Exercice 13 La fonction donnée par [x] sin(πx)est-elle dérivable sur R?
Exercice 14 Soient f:]0,+∞[→Rdérivable , c > 0et supposons que lim
x→∞ f0(x) = 0.
Montrer qu’alors lim
x→∞[f(x+c)−f(x−c)] = 0. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 15 Démontrer les formules de la page suivante.
Exercice 16 Montrer que si f, g :R→Rsont kfois dérivables (k∈N) alors f·gl’est
aussi et la fonction k-ième dérivée du produit est donnée par :
(f·g)(k)=
k
X
i=0
Ci
kf(i)g(k−i).
Exercice 17 Montrer que si fest donnée par f(x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) alors
elle est dérivable et f0a exactement trois racines réelles distinctes.
Exercice 18 Montrer que
1. L’équation tan x=xa une infinité re racines ; elle a exactement une racine ρkdans
chaque intervalle du type ]kπ −π
2, kπ +π 2[,k∈Z
2. La limite lim
k→∞
(ρk−ρk−1)existe et le calculer. Quelle est l’interprétation géomeétrique
du résultat ?
Exercice 19 Montrer que l’équation ex= 1 + xa exactement une racine réelle. Laquelle ?
Même question pour l’équation ex=x2+ 1, puis pour l’équation ex=xn+ 1.
Exercice 20 Montrer que la fonction fdonnée par f(x) = x2pour x≤0et par f(x) =
exp −1
xpour x > 0est infiniment dérivable en 0.
Exercice 21 Trouver A, B ∈Rtels que lim
x→+∞px2+ 1 −(Ax +B)= 0 et donner une
interprétation géométrique. Même question pour la fonction arctan x2+ 1
x.
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Les dérivées de quelques fonctions usuelles
Fonction Domaine de Définition Dérivée
exRex
sin xRcos x
cos xR−sin x
xa(a∈R)R∗
+axa−1
ax(a > 0) Raxln a
logax(a > 0, a 6= 1) R∗
+
1
xln a
ln |x|x6= 0 1
x
tan x−π
2,π 21
cos2x= 1 + tan2x
sinh xRcosh x
cosh xRsinh x
tanh xR1
cosh2x= 1 −tanh2x
arcsin x]−1,1[ 1
√1−x2
arccos x]−1,1[ −1
√1−x2
arctan xR1
1 + x2
argshxR1
√1 + x2
argchx]1,+∞[1
√x2−1
argtanhx]−1,1[ 1
1−x2
pax2+bx +c{x;ax2+bx +c > 0}2ax +b
2√ax2+bx +c
log x+pa2+x2R1
√a2+x2
arcsin 1
x]1,+∞[−1
x√x2−1
ln 
tan x
2
R\πZ1
sin x
|x|αR∗αx|x|α−2
arcsin x
a]− |a|,|a|[1
√a2−x2
a2
2harcsin x a+x a2pa2−x2i]− |a|,|a|[pa2−x2
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