Prépa concours Analyse - Feuille 3 Université d`Orléans A. Batakis

Analyse - Feuille 3
Dérivation des fonctions - Partie I
Prépa concours
A. Batakis
Université d’Orléans
2013-2014
Exercice 1
Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont justes et lesquelles sont fausses ?
Justifier avec une preuve ou donner un contre-exemple.
1. Toute fonction continue est dérivable.
2. Toute fonction bijective est dérivable.
3. Toute fonction croissante est dérivable.
4. Toute fonction impaire est dérivable.
5. Si une fonction f est bijective dérivable alors f −1 l’est aussi.
Exercice 2
Calculer
la dérivée en x0 des fonctions suivantes.
√
x3 + x4 [x0 = 0]
1. sin
√
2. xα (x, α > 0), αx (α > 0), cotan, ln
x2 + 1 [x0 ∈ R]
3. ln (f (x)), où f fonction strictement positive dérivable [x0 ∈ R]
4. f donnée par f (x) = sin x1 [x0 6= 0]
5. g donnée par g(x) = exp(αx), où α ∈ R [x0 ∈ R].
Exercice 3
Montrer qu’une fonction f :]a, b[→ R est dérivable en x0 ∈]a, b[ si et seulement
si il existe une fonction g :]a, b[→ R et une fonction affine h : R → R telle que
– Pour tout x ∈]a, b[ on ait f (x) = h(x) + (x − x0 )g(x) et
– La fonction g :]a, b[→ R vérifie lim g(x) = 0
x→x0
Exercice 4
Montrer que si f : R → R est paire et dérivable en 0 alors f 0 (0) = 0.
Exercice 5
Montrer que si la fonction dérivée de la fonction f : R → R existe et est bornée
alors f est lipschitzienne. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 6
Calculer les fonctions dérivées et préciser leurs domaines de définition pour
les fonctions suivantes :
p
p
1
x
2
x
α
x
2
2
,
e + x + 1 , sin (ln(e + 3)) , ax + bx + c , |x | , arcsin
, ln tan
ln
x
2
arcsin
x
α
,
x
a2
xp
x
2
arcsin
+ 2 a2 − x2 , tanh(2x) , xx , (ln x)(ln x) ,
2
a a
2
x
1+x
2
ln tanh−1 tan
, ex arcot
, esin x
2
1−x
Exercice 7
Montrer que si f : [a, b] → R est une fonction convexe (c.à.d. f (λx+(1−λ)y) ≤
λf (x) + (1 − λ)f (y) pour tout λ ∈ [0, 1] et tout x, y ∈ [a, b]) et dérivable, alors sa fonction
dérivée est croissante. Que peut-on dire des fonctions concaves ?
Exercice 8
Soit f :]a, b[→ R une fonction bornée et x0 ∈]a, b[. Que peut-on dire de la
dérivabilité de la fonction g :]a, b[→ R donnée par g(x) = (x − x0 )2 f (x) ?
Exercice 9
Montrer que si f :]a, b[→]c, d[ et g :]c, d[→ R sont deux fonctions dérivables
alors g ◦ f :]a, b[→ R est dérivable et que la réciproque est fausse.
Exercice 10
Etudier les fonctions données par les formules suivantes (i.e. domaine de
définition, monotonie, injectivité, surjectivité, périodicité, parité, majoration et minoration,
inversibilité, dérivabilité). Sont-elles dérivables en 0 ?
tan(x + π2 )
1.
x
1
√
x7 + x5 + x4
2.
3
2
x
+ x 1
1
3. exp
sin2
x2
x
√
1
−1 √
4. x sin + sin
x .
x
Exercice 11
Etudier les limites suivantes en utilisant la règle de l’hôpital.
√
sin x
1. lim p√
x→0
x+x
√
x2 + 1
√
2. lim
x→+∞
ex
√
x2 + x3 + 1
3. lim
x→1
ex
Exercice 12
Ecrire un algorithme pour trouver les extrema d’une fonction.
Exercice 13
La fonction donnée par [x] sin(πx) est-elle dérivable sur R ?
Exercice 14
Soient f :]0, +∞[→ R dérivable , c > 0 et supposons que lim f 0 (x) = 0.
x→∞
Montrer qu’alors lim [f (x + c) − f (x − c)] = 0. La réciproque est-elle vraie ?
x→∞
Exercice 15
Démontrer les formules de la page suivante.
Exercice 16
Montrer que si f, g : R → R sont k fois dérivables (k ∈ N) alors f · g l’est
aussi et la fonction k-ième dérivée du produit est donnée par :
(f · g)(k) =
k
X
Cki f (i) g (k−i) .
i=0
Exercice 17
Montrer que si f est donnée par f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) alors
elle est dérivable et f 0 a exactement trois racines réelles distinctes.
Exercice 18
Montrer que
1. L’équation tan x = x a une infinité re racines ; elle a exactement une racine ρk dans
π
π
chaque intervalle du type ]kπ − , kπ + [, k ∈ Z
2
2
2. La limite lim (ρk − ρk−1 ) existe et le calculer. Quelle est l’interprétation géomeétrique
k→∞
du résultat ?
Exercice 19
Montrer que l’équation ex = 1 + x a exactement une racine réelle. Laquelle ?
Même question pour l’équation ex = x2 + 1, puis pour l’équation ex = xn + 1.
Exercice 20
Montrer que la fonction f donnée par f (x) = x2 pour x ≤ 0 et par f (x) =
−1
exp x pour x > 0 est infiniment dérivable en 0.
p
Exercice 21
Trouver A, B ∈ R tels que lim
x2 + 1 − (Ax + B) = 0 et donner une
x→+∞
2
x +1
interprétation géométrique. Même question pour la fonction arctan
.
x
2
Les dérivées de quelques fonctions usuelles
Fonction
Domaine de Définition
Dérivée
ex
R
ex
sin x
R
cos x
cos x
R
− sin x
xa (a ∈ R)
R∗+
axa−1
ax (a > 0)
R
ax ln a
loga x (a > 0, a 6= 1)
R∗+
ln |x|
x 6= 0
tan x
π π
−2, 2
sinh x
R
cosh x
R
tanh x
R
arcsin x
] − 1, 1[
arccos x
] − 1, 1[
arctan x
R
argshx
R
argchx
]1, +∞[
argtanhx
] − 1, 1[
p
ax2 + bx + c
{x ; ax2 + bx + c > 0}
p
log x + a2 + x2
R
1
x
x ln tan 2
arcsin
]1, +∞[
R \ πZ
|x|α
arcsin
x
a
i
x
a2 h
xp
arcsin
+ 2 a2 − x2
2
a
a
R∗
] − |a|, |a|[
] − |a|, |a|[
3
1
x ln a
1
x
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
cosh x
sinh x
1
= 1 − tanh2 x
cosh2 x
1
√
1 − x2
−1
√
1 − x2
1
1 + x2
1
√
1 + x2
1
√
x2 − 1
1
1 − x2
2ax + b
√
2 ax2 + bx + c
1
√
2
a + x2
−1
√
x x2 − 1
1
sin x
αx|x|α−2
1
√
a2 − x2
p
a2 − x2