Cours de mathématiques Chapitre 12 : Calcul Intégral

Cours de mathématiques
Terminale S1
Chapitre 12 : Calcul Intégral
Année scolaire 2008-2009
mise à jour 5 mai 2009
Fig. 1 – Henri-Léon Lebesgue et Bernhard Riemann
On les confond parfois
1

Table des matières
I Chapitre 12 : Calcul Intégral 3
I.A Intégrale d’une fonction continue positive ......................... 3
I.A.1 Définition ....................................... 3
I.B Intégrale d’une fonction continue négative ......................... 4
I.B.1 Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.B.2 Cas d’une fonction en escalier ............................ 5
I.C Propriétés de l’intégrale ................................... 5
I.D Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.D.1 Linéarité ........................................ 6
I.D.2 Relation de Chasles ................................. 6
I.D.3 Intégrales et inégalités ................................ 6
I.D.4 Valeur moyenne d’une fonction ........................... 7
I.E Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.E.1 Exemple ........................................ 8
I.E.2 Définition ....................................... 10
I.F Primitive d’une fonction continue .............................. 10
I.G Calculs de primitives ..................................... 11
I.H Calculs d’intégrales ...................................... 12
I.I Intégration par parties .................................... 12
I.J Calculs de volumes ...................................... 13
Informations sur la mise en page
Le document s’inspire des nombreux livres de Terminale S des différentes éditions. Les figures
de ce document ont été réalisées avec métapost et les macros de J-M Sarlat et en s’inspirant
très fortement de ce qui est fait ici par David Nivauda:
http://melusine.eu.org/syracuse/metapost/cours/nivaud/figTsc_integrale/.
L’environnement bclogo, utilisé pour la réalisation de ce document, est téléchargeable ici :
http://melusine.eu.org/syracuse/wiki/doku.php/mc/bclogo
ale fichier de macros s’appelle toujours courbes.mp mais est différent du fichier courbes.mp des chapitres
précédents
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I Chapitre 12 : Calcul Intégral
I.A Intégrale d’une fonction continue positive
I.A.1 Définition
Définition 1:
Un repère orthogonal (O,−→ ı , −→ )ayant été fixé, une unité d’aire est définie de la manière sui-
vante :
I
KJ
~ı
~ u.a.
1u.a.=aire du rectangle OIKJ
x
y
O
Définition 2:
Soit fune fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]et Cfsa courbe représentative
dans un repère orthogonal (O,−→ ı , −→ ).
Le réel, noté Zb
a
f(x)dx, est l’aire, en unités d’aire, du domaine Ddélimité par Cf, l’axe des
abscisses et les droites d’équations x=aet x=b.
Zb
a
f(x)dx se lit somme de aàbde f(x)dx ou intégrale de aàbde f
y=f(x)
ab
Domaine D
Zb
a
f(x)dx=aire du domaine D
x
y
O
3

I.B Intégrale d’une fonction continue négative
Définition 3:
Si fest une fonction continue et négative sur [a;b], on a la définition suivante :
y=f(x)
a b
Domaine D
Zb
a
f(x)dx=-(aire du domaine D)
x
y
O
I.B.1 Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
Définition 4:
Si fest continue sur l’intervalle [a;b], alors on définit Zb
a
f(x)dx de la manière suivante :
y=f(x)
ab
D1
D2
Zb
a
f(x)dx=aire du domaine D1-(aire du domaine D2)
x
y
O
4

Remarque
On admet pour l’instant l’égalité suivante :
si fest une fonction continue sur [a;b], alors, pour tout c∈[a;b],
Zc
c
f(x)dx = 0
I.B.2 Cas d’une fonction en escalier
Définition 5:
Il est un cas où, si la fonction fn’est pas continuesur [a;b], on peut néanmoins définir Zb
a
f(x)dx
, c’est le cas des fonctions en escalier.
Si fest définie ainsi :
1. si x∈[x0;x1[,f(x) = c1
2. si x∈[x1;x2[,f(x) = c2
3. si x∈[x2;x3[,f(x) = c3
4. si x∈[x3;x4],f(x) = c4
alors Zb
a
f(x)dx=somme des aires des rectangles situés au-dessus de l’axe des abscisses-(somme
des aires des rectangles en dessous de l’axe des abscisses)
+
+
−
+
c1
c2
c3
c4
x0=ax1x2x3x4=bx
y
O
I.C Propriétés de l’intégrale
I.D Propriété
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