Cours sur les équations différentielles

Chapitre 10
!
!
Qu’est ce qu’une équation différentielle ?
Exemple : résoudre l’équation différentielle ! signifie trouver toutes les fonctions ƒ
telles que ! quel que soit x appartenant à !.
!
! EQUATION DE TYPE y’+ay=0
!
Théorème
Soit l’équation différentielle ! (dite équation homogène) où !et y est une fonction
de variable x définie et dérivable sur !.
Les solutions de cette équation sont sous la forme ! où C est une constante réelle.
!
!
Exemple
Les solutions de l’équation différentielle !sont sous la forme !.
!
Remarque
Il y a donc une infinité de solutions (infinité de constantes C possibles). En revanche, lorsqu’il y a
une condition imposée (appelée condition initiale) alors l’équation différentielle n’admet qu’une
seule solution (voir partie suivante).
!
! EQUATION DE TYPE y’+ay=b
!
! Cas général
!
Théorème
Soit l’équation différentielle !, où a et b sont deux réels, avec !, et où y est une
fonction de variable x définie et dérivable sur !.
Les solutions de cette équation sont sous la forme ! où C est une constante réelle.
Exemple
Les solutions de l’équation différentielle ! sont sous la forme : ……………….
′′
y+3′ y−5y=3
f'' x
( )
+3f'x
( )
−5f x
( )
=3
!
I.
y'+ay =0
a∈!
!
x!Ce−ax
y'+3y=0
x!Ce−3x
II.
1
y'+ay =b
a≠0
!
x!Ce−ax +b
a
y'−3y=1
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Chapitre 10 : Equations différentielles
Equations différentielles

Chapitre 10
Remarque
✋Attention à bien se ramener à la forme ! avant de résoudre !
!
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, résoudre l’équation différentielle (E) dans laquelle y est une fonction de la
variable réelle x définie et dérivable sur !.
1) (E) :!
2) (E) : !
3) (E) :!
!
Remarque
On a représenté ci-contre les
courbes représentatives de huit
solutions de l’équation
différentielle de l’exemple
précédent. Supposons que la
solution doive vérifier la
condition : !.
Quelle est la courbe
correspondante ?
!!
!
! Condition initiale
!
Théorème
Soient ! et ! deux réels. L’équation différentielle!, où a et b sont deux réels, avec
!, admet une unique solution telle que !
!
Exemple
Déterminer la solution ƒ de l’équation différentielle ! qui vérifie!
Les solutions de cette équation différentielle sont sous la forme !.
Donc ! et on sait que ! D’où : ! donc !
Conclusion : !
!
!
Exercice 2
1) Déterminer la solution ƒ de l’équation différentielle (E) : !telle que !
2) Déterminer la solution ƒ de l’équation différentielle (E) : !telle que !
!
!
!
!
!
!
!
!
y'+ay =b
!
y'=−6y+4
y'=4y−7
2y'−5y−3=0
y0
( )
=2
3
2
x0
y0
y'+ay =b
a≠0
f x0
( )
=y0.
y'+y=−2
f0
( )
=5.
f x
( )
=Ce−x−2
f0
( )
=Ce0−2=C−2
f0
( )
=5.
C−2=5
C=7.
f x
( )
=7e−x−2
y'+4y=5
f0
( )
=−1.
y'+3y=−5
fln 2
( )
=4
3
.
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Chapitre 10 : Equations différentielles

Chapitre 10
! EQUATION DE TYPE !
! Cas général
!
Théorème
Soit l’équation différentielle ! où ! est un réel non nul et où y est une fonction de
variable réelle x définie et deux fois dérivable sur !.
Les solutions de cette équation sont sous la forme ! où ! et ! sont
deux constantes réelles.
!
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, résoudre l’équation différentielle (E) dans laquelle y est une fonction de variable
réelle x définie et deux fois dérivable sur !.
1) (E) : !
2) (E) : !
3) (E) : !
!
! Condition initiale
!
Remarque
Pour déterminer une constante, on a besoin d’une condition initiale. Pour déterminer deux
constantes, on a besoin de deux conditions initiales.
!
Théorème
Soient !, ! et ! trois réels. L’équation différentielle ! où ! est un réel non nul,
admet une unique solution ƒ vérifiant les conditions ! et !
!
Exemple
Déterminer la solution de l’équation différentielle (E) : ! qui vérifie ! et !
Ici : !donc on prend ! Donc ƒ est sous la forme : ! où ! et !
sont deux constantes réelles.
! et on sait que ! (condition initiale) donc !
! donc ! et on sait que !
(condition initiale) donc !d’où !
Conclusion : !
!
Exercice 4
Déterminer la solution de l’équation différentielle (E) :! vérifiant ! et !
III
y''+ ω
2y=0
1
y''+ ω
2y=0
ω
!
x!C1cos ω x
( )
+C2sin ω x
( )
C1
C2
!
y'' =−9y
4y''+ π
2y=0
25y''+4y=0
2
x0
y0
y1
y''+ ω
2y=0
ω
f x0
( )
=y0
f'x0
( )
=y1.
y''+4y=0
y0
( )
=3
y' 0
( )
=0.
ω
2=4
ω =2.
f x
( )
=C1cos 2x
( )
+C2sin 2x
( )
C1
C2
f0
( )
=C1cos 0
( )
+C2sin 0
( )
=C1
f0
( )
=3
C1=3
f'x
( )
=−2C1sin 2x
( )
+2C2cos 2x
( )
f' 0
( )
=−2C1sin 0
( )
+2C2cos 0
( )
=2C2
f' 0
( )
=0
2C2=0
C2=0
f x
( )
=3cos 2x
( )
y''+ π
2y=0
y1
( )
=0
y' 1
( )
=2 π .
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Chapitre 10 : Equations différentielles