1.2 Sous-espaces vectoriels

ALGEBRE LINEAIRE
ESISAR
GRENOBLE INP
P.A. Toupance
2015/2016
2
Table des matières
1 ESPACES VECTORIELS
1.1 Structure d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Définition d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . .
1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Caractérisation d’un sous-espace vectoriel . . . . .
1.3 Intersection et somme d’espace vectoriel . . . . . . . . . .
1.3.1 Intersection de ss ev . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Somme d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Supplémentaire d’un ss ev . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Familles finies de vecteurs de E . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Base d’un ev de dimension finie . . . . . . . . . . .
1.4.4 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . .
1.4.5 Dimension d’un ssev dans un ev de dimension finie
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10
11
11
12
13
14
15
2 Applications linéaires
2.1 Surjection, injection . . . . . . . .
2.2 Définition - Application linéaire .
2.3 Noyau et image . . . . . . . . . .
2.3.1 Définitions . . . . . . . . .
2.3.2 Propriétés . . . . . . . . .
2.4 Rang d’une application linéaire .
2.4.1 Définition . . . . . . . . .
2.4.2 Théorème du rang . . . .
2.5 Matrice d’une application linéaire
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3 Matrices
3.1 Opérations sur les matrices . . . . . .
3.1.1 Egalités de 2 matrices . . . .
3.1.2 Somme de 2 matrices . . . . .
3.1.3 Multiplication par un scalaire
3.1.4 Produit de 2 matrices . . . . .
3.1.5 Transposée d’une matrice . .
3.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
4
3.3
3.2.2 Matrices inversibles . . . . . .
Changement de bases . . . . . . . . .
3.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Matrice de passage . . . . . .
3.3.3 Matrice d’un endomorphisme
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4 Déterminant et diagonalisation
4.1 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Déterminant de 2 vecteurs de E e.v. de dimension 2 . .
4.1.2 Déterminant d’une matrice carré d’ordre 3 . . . . . . .
4.2 Valeurs propres, vecteurs propres et polynôme caractéristique .
4.2.1 valeur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Diagonalisation d’une matrice . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Utilisation de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . .
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31
31
31
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36
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39
Chapitre 1
ESPACES VECTORIELS
1.1
1.1.1
Structure d’espaces vectoriels
Groupe
Définition : Un ensemble G muni d’une loi de composition interne T possède une
structure de groupe si :
– La loi T est associative.
∀(a, b, c) ∈ G3 , (aT b)T c = aT (bT c)
– La loi T possède un élément neutre e.
∀a ∈ G, aT e = eT a = a
– Tout élément a de G possède un symétrique.
∀x ∈ G, ∃y ∈ G, xT y = yT x = e
Lorque la l.c.i. est notée ., le symétrique de x est noté x−1 .
Lorque la l.c.i. est notée +, le symétrique de x est noté −x.
Exemple : (Z, +) est un groupe
Définition : Soit (G, T ) un groupe. Une partie H de G est un sous groupe de G lorsque :
• H 6= ∅
• T est stable dans H :∀(x, y) ∈ H, xT Y ∈ H.
• Tout élément de H a son symétrique dans H.
Remarque : Un sous groupe est un groupe.
Exemple : Soit A l’ensemble des nombres pairs de Z et B l’ensemble des nombres impairs.
5
CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS
6
Propriété : Soit (G, T ) un groupe. Une partie H de G est un sous groupe de G si et
seulement si :
H 6= ∅ et ∀(x, y) ∈ H, xT y −1 ∈ H
Démonstration :
1.1.2
Définition d’un espace vectoriel
A partir de maintenant, l’ensemble K sera égale à R ou C
Définition : Soit E muni d’une l.c.i (notée généralement +) et d’une loi de composition
externe sur K (notée généralement .).
On dit que (E, +, .) est un K espace vectoriel (K.e.v.) lorsque :
• (E, +) est groupe commutatif.
−
→
L’élément neutre sera noté 0E .
−
→ →
−
2
2
• La l.c.e. vérifie les propriétés suivantes : ∀(α, β) ∈ K , ∀ X , Y ) ∈ E
−
→
−
→
−
→
1. (α + β). X = α. X + β. X
−
→ −
→
−
→
−
→
2. α.( X + Y ) = α. X + α. Y
−
→
−
→
3. α.(β. X ) = (α × β). X
−
→ −
→
4. 1. X = X
Exemples :
• Soit E = R2 muni des l.c.i et l.c.e suivantes :
∀(x, y) ∈ E, (x′ , y ′ ) ∈ E, ∀α ∈ R, (x, y) + (x′ , y ′) = (x + x′ , y + y ′ ) et α.(x, y) = (αx, αy)
(E, +, .) est un R espace vectoriel.
• L’ensemble des applications de R dans R muni de l’addition et de la multiplication par un réel est
un R espace vectoriel.
1.2. SOUS-ESPACES VECTORIELS
7
Propriété : Soit (E, +, .) un K espace vectoriel, ∀(α, β) ∈ K 2 ,
a:
−
→ −
→
• 0. X = 0E
−
→ −
→
• α 0E = 0E
−
→ −
−
→ −
→
→
• α X = 0E ⇒ α = 0 ou X = 0E
−
→
−
→
• (−1). X = − X
−
→
−
→
−
→
• (α − β). X ) = α. X − β. X
−
→ −
→
−
→
−
→
• α.( X − Y ) = α. X − β. Y
−
→ →
−
∀ X , Y ) ∈ E 2 , on
Démonstration :
1.2
1.2.1
Sous-espaces vectoriels
Définition
Définition :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
On appelle sous espace vectoriel de E (noté en abrégé ssev) une partie F de E stable par
+ et ., c’est à dire :
−
→
−
→
• ∀α ∈ K , ∀ X ∈ F , α. X ∈ F
−
−
→ −
→
→ −
→
• ∀( X , Y ) ∈ F 2 , X + Y ∈ F
et (F, +) est un sous groupe de (E, +).
Remarque : Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
1. E est un sous espace vectoriel de E.
−
→
2. {0E } est un sous espace vectoriel de E.
−
→
−
→
−
→
−
→
3. Soit X ∈ E, F = { Y ∈ E, ∃α ∈ K, Y = α. X } est un sous espace vectoriel de E.
1.2.2
Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
Propriété :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si :
1. F ⊂ E
2. F 6= ∅
−
−
→
−
→
→ −
→
3. ∀(α, β) ∈ K 2 , ∀( X , Y ) ∈ F 2 , α. X + β. Y ∈ F
CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS
8
Démonstration :
Remarque :
• Le 3ième point peut être remplacé par :
−
−
→ −
→
→ −
→
∀α ∈ K , ∀( X , Y ) ∈ F 2 , α. X + Y ∈ F
−→
• Pour montrer que F 6= ∅, on vérifie que OE ∈ F , car :
−→
⊲ si OE ∈ F on peut en déduire que F 6= ∅.
−→
⊲ si OE ∈
/ F on peut en déduire que F n’est pas un sous espace vectoriel.
Exemple : Soit E = R3 muni des opérations usuelles.
Soient F = {(x, y, z) ∈ R3 , x − 2y + z = 0} et G = {(x, y, z) ∈ R3 , x + 2y + z = 1}.
F et G sont-ils des ssev de E.
1.3
1.3.1
Intersection et somme d’espace vectoriel
Intersection de ss ev
Propriété :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Si F1 et F2 sont des sous espaces vectoriels de E alors F1 ∩ F2 est
un ssev de E.
1.3. INTERSECTION ET SOMME D’ESPACE VECTORIEL
9
Démonstration :
Remarques :
1. Si F1 , F2 , . . . , Fn sont des ssev de E alors F1 ∩ F2 ∩ · · · ∩ Fn est un ssev de E
2. Attention, lorsque F1 et F2 sont des ssev, en général F1 ∪ F2 n’est pas un ssev.
Par exemple, en prenant E = R2 ,
F1 = {(x, 0) où x ∈ R} et F2 = {(0, y) où y ∈ R}
1.3.2
Somme d’espaces vectoriels
Définition :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E, la somme de E1 et E2 est l’ensemble noté
E1 + E2 défini par :
−
→
E1 + E2 = { X ∈ E,
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→
∃(X1 , X2 ) ∈ E1 × E2 , X = X1 + X2 }
−
→
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→
Si U ∈ E1 + E2 alors ∃(U1 , U2 ) ∈ E1 × E2 tels que U = U1 + U2 .
Propriété :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Si E1 et E2 sont des sous espaces vectoriels de E alors E1 + E2 est un ssev de E.
Démonstration :
CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS
10
1.3.3
Somme directe
Définition :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E, on dit que E1 et
L
E2 sont en somme directe, et on note E1 E2 , lorsque :
−
→
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→
∀ X ∈ E1 + E2 , ∃!(X1 , X2 ) ∈ E1 × E2 tel que X = X1 + X2
Propriété :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels. E1 et
−→
E2 sont en somme directe si et seulement si E1 ∩ E2 = {OE }
Démonstration :
Exemple : Soit E = R3 et soient F et G deux ssev de E définis par :
F = {(x, y, z) ∈ R3 , x = y = z}
G = {(x, y, z) ∈ R3 , x − y + z = 0}
F et G sont-ils en somme directe ?
1.3.4
Supplémentaire d’un ss ev
Définition :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels. On
L
dit que E1 est le supplémentaire de E2 dans E lorsque E1 E2 = E
Remarque : Pour montrer que E1 est le supplémentaire de E2 dans E, il faut prouver les 2
assertions suivantes :
• E1 + E2 = E
−
→
• E1 ∩ E2 = {0E }
Exemple : Soit E = R3 et soient F et G deux ssev de E définis par :
F = {(x, y, z) ∈ R3 , x = y = z}
G = {(x, y, z) ∈ R3 , x − y + z = 0}
1.4. FAMILLES FINIES DE VECTEURS DE E
F est-il le supplémentaire de G dans E ?
1.4
Familles finies de vecteurs de E
−
→ −
→
−→
Soit E un K espace vectoriel. Soient X1 , X2 , . . . Xn n vecteurs de E.
−
→
On appelle combinaison linéaire de ces n vecteurs, tout vecteur X de la forme :
n
−→
−
→
−
→
−
→ X
−
→
X =
λi .Xi = λ1 .X1 + λ2 .X2 + · · · + λn .Xn
i=1
−→
→
−
→ −
où (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ K n L’ensemble des combinaisons linéaires de X1 , X2 , . . . Xn est noté :
−
−→
→
→ −
Vect X1 , X2 , . . . Xn
Cet ensemble est un sous espace vectoriel de E.
1.4.1
Famille génératrice
Définition :
−
→ −
→
−→
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soit B = X1 , X2 , . . . Xn une famille de vecteurs
de E.
−
→ −
→
−→
On dit que B est une famille génératrice de E lorsque E = Vect X1 , X2 , . . . Xn .
C’est à dire tout vecteur de E s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs
→
−→
−
→ −
X1 , X2 , . . . Xn .
Lorsqu’il existe une famille génératrice finie d’un espace vectoriel, on dit que celui-ci est
de dimension finie.
Exemple : E = R3 et F = {(x, y, z) ∈ R3 , x − 2y + z = 0}
Déterminer une famille génératrice de E et de F .
11
CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS
12
1.4.2
Famille libre
Définition :
−
→ −
→
−→
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soit B = X1 , X2 , . . . Xn une famille de vecteurs
de E.
On dit que B est une famille libre de E lorsque :
∀(λ1 , λ2 , . . . , λn ),
n
X
−
→ −
→
λi Xi = 0E ⇔ ∀i ∈ J1; nK, λi = 0
i=1
On dit aussi que la famille B sont linéairement indépendants.
Dans le cas contraire, on dit que B est une famille liée.
Exemple : Dans E = R3 , soit B1 et B2 les familles suivantes :
B1 = {(1, 2, 3), (2, 1, 4), (3, 2, 1)}
B2 = {(1, 2, 4), (−1, 2, 3), (5, −2, −1)}
Ces familles sont-elles libres ?
Remarques :
• Si une famille de n vecteurs de E sont linéairement indépendants, il en est de même d’une sous
famille de p vecteurs (p 6 n).
−
→
−
→
−
→ −
→
• Soit X ∈ E, { X } est une famille libre ⇔ X 6= 0E
−
→
• Toute famille qui contient 0E est liée.
• Une famille de 2 vecteurs est liée si et seulement si les 2 vecteurs sont colinéaires.
Propriété :
Toute sous famille d’une famille libre est libre.
Toute sur famille d’une famille liée est liée.
Propriété
: −
→ −
→
−→
X1 , X2 , . . . Xn est une famille liée si et seulement si
l’un des vecteurs est une combinaison linéaire des autres.
1.4. FAMILLES FINIES DE VECTEURS DE E
1.4.3
13
Base d’un ev de dimension finie
Définition : base d’un espace vectoriel
−
→ −
→
−→
Soit E un K espace vectoriel, et soit B = X1 , X2 , . . . Xn une famille de vecteurs de E.
On dit que B est une base de E lorsque B est une famille libre et génératrice de E.
Exemple : Soit E = R2 et soient les 2 familles B1 = {(1, 0), (0, 1)} et B2 = {(1, 2), (−1, 1)}.
Montrer que B1 et B2 sont des bases de E ?
Définition : base canonique
de Rn

−
→


 e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)



→
−
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)
Soient les n vecteurs .

.

.



→
−
e = (0, 0, . . . , 0, 1)
n
→
→
→
B= −
e1 , −
e2 , . . . −
en est appelée la base canonique de Rn
Définition et propriété : coordonnées de vecteurs
Soit E un K espace
vectoriel et soit
−
→
−
→
−
→
B = ε1 , ε2 , . . . εn une base de E.
On a :
n
−
→
−
→ X
→
xi −
εi
(∀ X ∈ E), (∃!(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K n , X =
i=1
−
→
On dit que les coordonnées de X sont (x1 , x2 , . . . , xn ).
Exemple : Soient E = R2 et B = {(1, 2), (−1, 1)} une base de E.
−
→
Déterminer les coordonnées de X = (x, y) dans la base B.
CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS
14
1.4.4
Dimension d’un espace vectoriel
−→
Propriété
: Soit E un K espace vectoriel tel que E 6= {OE }.
−
→ −
→
−
→
Soit f1 , f2 , . . . , fn une base de E.
→
−
Soit B = −
y ,→
y ,...,−
y→ une famille de vecteurs de E.
1
2
m
Si m > n alors B est une famille liée de E
Démonstration :
Propriété : Dans un espace vectoriel de dimension finie , toutes les bases ont le même
nombre d’éléments. Ce nombre est appelé la dimension de E, on le note dim E.
Démonstration :
−→
Théorème Soit E un K espace vectoriel tel que E 6= {OE }.
On peut extraire de tout famille génératrice de E une base de E
Démonstration :
−→
Théorème de la base incomplète
Soit
E
un
K
espace
vectoriel
tel
que
E
=
6
{
OE }.
−
→
−
→
−
→
Soit p ∈ N, toute famille u1 , u2 , . . . , up libre peut être complétée pour obtenir une base
deE.
→
−
→
→
−
→ soit une base de E.
n−p
∃( −
u−
, $telque −
u1 , →
u2 , . . . , −
u
p+1 , . . . , un ∈ E
n
1.4. FAMILLES FINIES DE VECTEURS DE E
15
Propriété Soit E un K espace vectoriel de dimension n.
Une famille libre de n vecteurs de E est une base de E. Une famille génératrice de n
vecteurs de E est une base de E.
Exemple : Soit E = R2 et soit B = (1, 2), (1, −1) .
1. Montrer que B est une base de E.
2. Déterminer les coordonnées de (1, 0), (0, 1) et de (x, y) dans B.
1.4.5
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension finie
Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.
F est un espace vectoriel de dimension finie, on peut ainsi trouver une base de F : ∃B = {ε1 , ε2 , · · · , εp }
base de F, c’est une famille libre de E ainsi :
dim F ≤ dim E
Si dim F = dim E alors E=F
Exemple : E = R3 et F = {(x, y, z) ∈ R3 /x − 2y + z = 0}
Déterminer une base de F.
Dimension d’une somme d’espaces vectoriels
1. dim(F + G) = dim F + dim G − dim (F ∩ G)
2. F ⊕ G ⇔ dim (F + G) = dim F + dim G
3. Si F ⊕ G et dim (F + G) = dim F + dim G alors F et G sont supplémentaires dans E
(c.à.d F ⊕ G = E
Démonstration : F ∩ G est un ss ev de F et un ss ev de G.
16
CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS
Soit B = {ε1, ε2 , · · · , εp } une base de F ∩ G, on la complète pour obtenir une base de F :
{ε1, ε2 , · · · , εp , xp+1 , · · · , xq }
On peut également compléter B pour obtenir une base de G : {ε1 , ε2 , · · · , εp , yp+1, · · · , yr }
{ε1, ε2 , · · · , εp , xp+1 , · · · , xq , yp+1, · · · , yr } est une base de F ∩ G
Chapitre 2
Applications linéaires
2.1
Surjection, injection
Soit E et F deux ensembles et f une application de E dans F : f : E → F
Définition : Surjection
On dit que f est une surjection de E dans F, lorsque tout élément de F possède au moins un
antécédent dans E.
∀y ∈ F, ∃x ∈ E/y = f (x)
Définition : Injection
On dit que f est une injection de E dans F, lorsque tout élément de F possède au plus un
antécédent dans E (0 ou 1).
∀(x, y) ∈ E, (f (x) = f (y)) ⇒ x = y
Définition : Bijection
On dit que f est une bijection de E dans F , lorsque tout élément de F possède exactement un
antécédent : f est injectif et surjectif.
∀y ∈ F, ∃!x ∈ E/y = f (x)
2.2
Définition - Application linéaire
Définition :
E et F sont deux K espaces vectoriels.
On dit que f est une application linéaire de E dans F, lorsque :
−
→ →
−
−
→ −
→
−
→
−
→
– ∀( X , Y ) ∈ E 2 f ( X + Y ) = f ( X ) + f ( Y )
−
→
−
→
−
→
– (∀ X ∈ E)(∀α ∈ K) f (α. X ) = α.f ( X )
Ces 2 assertions se résument en une seule :
−
→ −
→
−
→ −
→
−
→
−
→
(∀( X , Y ) ∈ E 2 )(∀α ∈ K), f (α X + Y ) = α.f ( X ) + f ( Y )
Notation et vocabulaire :
• L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E, F ).
• Une application linéaire de E dans E est appelé endomorphisme de E.
17
CHAPITRE 2. APPLICATIONS LINÉAIRES
18
L’ensemble des endomorphismes de E est noté L(E).
• Un endomorphisme bijectif est appelé isomorphisme.
−
→
−
→
Remarque : Si f ∈ L(E, F ), alors f ( 0 E ) = 0 F .
R2
→ R2
(x, y) 7→ (2x − y, x − y)
Montrer que f est une application linéaire.
Exemple :
2.3
2.3.1
f
Noyau et image
Définitions
Définition : noyau d’une application linéaire
Soient E et F sont deux K espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ).
−
→
On appelle noyau de f, l’ensemble de vecteurs de E, noté ker f , dont l’image est 0 F .
−
→
−
→
−
→
ker f = { X ∈ E, f ( X ) = 0 F }
Ou encore :
−
→
ker f = f −1 ( 0 F )
Définition : image d’une application linéaire
Soient E et F sont deux K espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ).
On appelle image de f, l’ensemble de vecteurs de F , noté Im f , qui posséden des antécédents
par f .
−
→
−
→
−
→
−
→
Im f = { Y ∈ F, (∃ X ∈ E, f ( X ) = Y }
Exemple :
2.3.2
Propriétés
Propriété :
Soient E et F sont deux K espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ).
ker f est un sous espace vectoriel de E.
Im f est un sous espace vectoriel de F .
Démonstration :
2.3. NOYAU ET IMAGE
Propriété :
Soient E et F sont deux K espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ).
−
→
f est injective ⇔ ker f = { 0 E }
Propriété :
Soient E et F sont deux K espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ).
Si f est injective alors l’image d’une famille libre de E est une famille libre de F .
Démonstration :
Propriété :
Soient E et F sont deux K espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ).
L’image d’une base de E est une famille génératrice de Im f .
19
CHAPITRE 2. APPLICATIONS LINÉAIRES
20
Démonstration :
Propriété :
Soient E et F sont deux K espaces vectoriels de dimensions finies et soit f ∈ L(E, F ).
→
→
−
→
→
→
• Si (−
ε 1, −
ε 2, . . . , →
ε n ) est une base de E, alors Im (f ) = Vect (f (−
ε 1 ), f (−
ε 2 ), . . . , f (−
ε n ))
. −
→
→
v n ) est une famille génératrice de E, alors
• Si (−
v 1, −
v 2, . . , →
→
→
→
Im (f ) = Vect (f (−
v 1 ), f (−
v 2 ), . . . , f (−
v n ))
Démonstration :
Propriété :
Une application linéaire est déterminée par l’image d’une base de E.
2.4
2.4.1
Rang d’une application linéaire
Définition
Définition :
Soient E et F sont deux K espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ).
On appelle rang de f la dimension de Im f , ce nombre est noté rg (f ) = dim(Im f )
Exemple :
f
R3
→ R3
(x, y, z) 7→ (x + 2y, x − z, −x + 4y + 3z)
2.4. RANG D’UNE APPLICATION LINÉAIRE
Déterminer le rang de f .
2.4.2
Théorème du rang
Théorème du rang :
Soient E et F sont deux K espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ).
On a :
rg (f ) + dim(Ker f ) = dim E
Démonstration :
21
CHAPITRE 2. APPLICATIONS LINÉAIRES
22
2.5
Matrice d’une application linéaire
Définition :
. →
→
−
e n ) une base de E.
Soit E un K espace vectoriel de dimension n et B = (−
e 1, →
e 2, . . , −
−
→
−
→
→
−
.
Soit E un K espace vectoriel de dimension p et B′ = ( f 1 , f 2 , . . , f p ) une base de F .
soit f ∈ L(E, F ) telle que :
−
→
−
→
−
→
→
f (−
e 1 ) = a1,1 f 1 + a2,1 f 2 + · · · + ap,1 f 2
−
→
−
→
−
→
→
f (−
e 2 ) = a1,2 f 1 + a2,2 f 2 + · · · + ap,2 f 2
.. .. ..
. . .
−
→
−
→
−
→
−
→
f( e ) = a f + a f + · · · + a f
n
1,n
1
2,n
2
p,n
p
La matrice de f relative aux bases B et B′ et la matrice A de dimension p × n dont l’élément
de la ième ligne et jième colonne est ai,j .
On note
MB,B′ (f ) = A = (ai,j )
16i6p
16j6n
→
Remarque : la matrice A est obtenue en notant sur la jième colonne les coordonnées de f (−
e j)
′
dans la base B .
→
−
−
Exemple : Soit E un K espace vectoriel et B = (−
e 1, →
e 2, →
e 2 ) une base de E.
−
→
−
→
′
Soit E un K espace vectoriel et B = ( f 1 , f 2 ) une base de F .
et soit f ∈ L(E, F ) telle que :
−
→
−
→
→
f (−
e 1) = 3 f 1 + f 2
−
→
−
→
→
f(−
e 2) = 2 f 1 − f 2
−
→
−
→
→
f(−
e 3) = 3 f 1 + 2 f 2
Déterminer la matrice de f relative aux bases B et B′ .
Chapitre 3
Matrices
3.1
3.1.1
Opérations sur les matrices
Egalités de 2 matrices
minipage16cm Soient A et B deux matrices, on dit que A = B lorsque :
• A et B sont de même dimension n × p
• (∀i ∈ J1; pK), (∀j ∈ J1; qK), ai,j = bi,j
3.1.2
Somme de 2 matrices
Soient A et B deux matrices de Mp,q (K), on appelle somme de A et B la matrice C = A + B
de Mp,q (K) définie par :
(∀i ∈ J1; pK), (∀j ∈ J1; qK), ci,j = ai,j + bi,j
!
1 2 −1
1 3 −2
Exemple : Soient A =
,B=
1 −3 1
2 −5 0
Calculer A + B
3.1.3
!
Multiplication par un scalaire
Soient A une matrice de Mp,q (K), et soit α ∈ K, on appelle multiplication de α par A la
matrice C = αA de Mp,q (K) définie par :
(∀i ∈ J1; pK), (∀j ∈ J1; qK), ci,j = αai,j
!
1 2 −1
1 3 −2
Exemple : Soient A =
,B=
1 −3 1
2 −5 0
23
!
CHAPITRE 3. MATRICES
24
Calculer 2A et −3B
3.1.4
Produit de 2 matrices
Soient A une matrice de Mp,q (K), et soit B ∈ Mq,r (K), on appelle multiplication de A par B
la matrice C = A × B de Mp,r (K) définie par :
(∀i ∈ J1; pK), (∀j ∈ J1; rK), ci,j =
q
X
ai,k bk,j
k=1
Remarque : Pour pouvoir effectuer le produit de 2 matrices, il faut que le nombre de colonnes de
la 1ère matrice soit égale au nombre de lignes de la 2ième matrice.


!
1 −1
1 2
1 0 −1


Exemple : Soient A =
, B = 2 0  et C =
1 0
2 0 1
1 −1
Calculer AB, BA, CA et C 2 .
!
Propriété : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies, et B et B′ des bases
de E et de F .
−
→
Soit f ∈ L(E, F ) et A sa matrice relative aux bases B et B′ . Soit X ∈ E et (x1 , x2 , . . . , xn ) ses
coordonnées dans B.
−
→
Soit (y1 , y2 , . . . , yp ) de f ( X ) dans la base B′ ,
On a :
 
 
x1
y1
 
 
 x2 
y 2 
 .  = A . 
 . 
.
 . 
.
yp
xn
Remarque : Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions finies, et B1 , B2 et B3 des
bases de ces 3 E.V.
2
Soient (f, g) ∈ L(E, F ) et h ∈ L(F, G)
Et soient A et B les matrices de f et g relatives aux bases B1 et B2 et C la matrice de h relative
aux bases B2 et B3 .
3.2. MATRICES CARRÉES
25
Alors la matrice de f + g relative aux bases B1 et B2 est A + B et la matrice de h ◦ f relative aux
bases B1 et B3 est CA.
3.1.5
Transposée d’une matrice
Soient A une matrice de Mp,q (K), la transposée de A est la matrice B notée t A définie par :
B ∈ Mq,p (K), et (∀i ∈ J1; qK), (∀j ∈ J1; pK), bi,j = aj,i
3.2
3.2.1
Matrices carrées
Définition
Une matrice carrée est une matrice dont le nombre de lignes est égale au nombre de colonnes.
L’ensemble des matrices avec n lignes et n colonnes est noté Mn (K).
Remarque : Soient (A, B) ∈ (Mn (K))2 , on peut calculer AB et BA : on obtient deux matrices de
Mn (K), mais en général AB 6= BA.
Si AB = BA, on dit que A et B commutent.
Définition : matrice unité
On appelle matrice unité de Mn (K) la matrice notée In définie par :

1
In =

0

.
.
.
0
0
...
..
.
1
.. ..
.
.
... 0

0
.. 
.



0
1
Et on a ∀A ∈ Mn , A × In = In × A = A
Propriété
Soient (A, B) ∈ (Mn (K))2 , si AB = BA alors :
p
∀p ∈ N, (A + B) =
p
X
k=0
!
p k n−k
A B
k
CHAPITRE 3. MATRICES
26


1 2 1


Exemple : Soit A = 0 1 1
0 0 1
Déterminer une matrice B telle que A = I3 + B
Calculer B 2 et B 3 . En déduire, pour n ∈ N, An .
3.2.2
Matrices inversibles
Soit A ∈ Mn (K), on dit que A est inversible lorqu’il existe une matrice B de Mn (K) telle
que :
AB = BA = In
Cette matrice B, si elle existe est notée B = A−1 .
L’ensemble des matrices inversibles de Mn (K) est noté GLn (K).
Remarque : Si AB = In alors BA = In
Propriété : Soit A et B deux matrices inversibles de Mn (K), on a :
AB est inversible et (AB)−1 = B −1 A−1
t
A est inversible et (t A)−1 =t (A−1 )
Méthode de détermination de l’inverse d’une matrice de Mn (K)
2
1. Chercher une matrice où l’on
! a n valeurs inconnues.
2 1
Exemple : Soit A =
5 3
3.2. MATRICES CARRÉES
x y
On pose B =
z t
27
!
2. Résolution d’un système.
Si A est une matrice inversible, on a :
y1
x1
y1
x1
 
 
 
 
y2 
 x2 
y 2 
 x2 
−1 
 
 
 

A
 ..  =  ..  ⇔  ..  = A  .. 
 . 
 . 
.
 . 


xn


1 0 1

Par exemple, soit A = 
 2 3 5
−1 1 4


yp


xn


yn
CHAPITRE 3. MATRICES
28
3. Méthode de Gauss Jordan
3.3
3.3.1
Changement de bases
Exemple
Soit E un espace vectoriel de dimension 3.
−
→ −
→ →
−
→
→
→
Soient B = (−
e 1, −
e 2, −
e 3 ) et B′ = ( f 1 , f 2 , f 3 ) deux bases de E tels que :

−
→
→
→


f 1 = 2−
e1−−
e3

−
−
→
→
→
→
Soit X ∈ E de coordonnées (x, y, z) dans B et (x′ , y ′, z ′ ) dans B′ .
f2=−
e2+−
e3


→

→
→
−
f 3 = 3−
e1+−
e2
Déterminer (x, y, z) en fonction de (x′ , y ′, z ′ ).
3.3.2
Matrice de passage
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
−
→ →
−
−
→
→
−
→
B = (−
e 1, →
e 2, . . . , −
e n ) et B′ = ( f 1 , f 2 , . . . , f n ) deux bases de E tels que :
3.3. CHANGEMENT DE BASES
−
→

f1




−
→

f 2
..


.



→

−
f
29
→
→
→
= a1,1 −
e 1 + a1,2 −
e 2 + . . . + a1,n −
en
−
→
−
→
−
→
= a2,1 e 1 + a2,2 e 2 + . . . + a2,n e n
→
→
→
= an,1 −
e 1 + an,2 −
e 2 + . . . + an,n −
en
n
x1
x′1
 
 ′
 x2 
 x2 
−
→

 
Soient 
 ..  et  ..  les coordonnées d’un vecteur X de E.
 . 
 . 
xn
x′n
On a :




x1
x′1
a1,1 . . . a1,n
 

 ′ 
 x2 
 a2,1 . . . a2,n   x2 
 . = .
 
.. 
 . 
 .
 . 
 . 
 .
.   .. 
x′n
xn
an,1 . . . an,n





a1,1 . . . a1,n


a
 2,1 . . . a2,n 
′

La matrice P =  ..
.. 
 est appelé la matrice de passage de B à B .
 .
. 
an,1 . . . an,n


CHAPITRE 3. MATRICES
30
3.3.3
Matrice d’un endomorphisme
Propriété
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies et soit f ∈ L(E, F ).
• Soient B1 et B1′ deux bases de E, et P la matrice de passage de B1 à B1′
• Soient B2 et B2′ deux bases de E, et Q la matrice de passage de B2 à B2′
• A = MB1 ,B1′ (f ) et B = MB2 ,B2′ (f )
On a :
B = Q−1 AP
Propriété
Soit E un espaces vectoriel de dimension finie et soit f ∈ L(E).
Soient B et B′ deux bases de E, et P la matrice de passage de B à B′ .
Soit A = MB (f ) et B = MB′ (f )
On a :
B = P −1AP
Chapitre 4
Déterminant et diagonalisation
4.1
4.1.1
Déterminant
Déterminant de 2 vecteurs de E e.v. de dimension 2
Définition
→
→
Soit E un espace vectoriel de dimension 2, et B =!(−
e 1, −
e!2 ) une base de E.
−
→ →
−
a
c
Soient ( X , Y ) ∈ E 2 de coordonnées respectifs
et
dans la base B.
b
d
−
→ −
→
−
→ →
−
a c
On appelle déterminant de ( X , Y ) dans la base B, noté detB ( X , Y ) ou
, le nombre :
b d
−
→ →
−
a c
= ad − bc
detB ( X , Y ) =
b d
Exemple : Soient les vecteurs de R2 suivants
−
→
−
→
X = (2, 3), Y = (−1, −2)
−
→
−
→
f 1 = (1, 1), f 2 = (1, −1)
−
→ →
−
Soient B la base canonique et B′ = ( f 1 , f 2 ).
−
→ −
→
−
→ −
→
Calculer detB (( X , Y ) et detB′ (( X , Y ).
Propriété
−
→ →
−
Soit E un espace vectoriel de dimension 2, et soient ( X , Y ) ∈ E 2 et B une base de E.
−
→ −
→
−
→ −
→
( X , Y ) est un famille libre ⇔ , detB (( X , Y ) 6= 0.
−
→ −
→
−
→ −
→
( X , Y ) est une famille liée ⇔ detB (( X , Y ) = 0
31
CHAPITRE 4. DÉTERMINANT ET DIAGONALISATION
32
Définition
!
a c
Soit une matrice A =
, on appelle déterminant de A le nombre :
b d
det A =
a c
= ad − bc
b d
Soient E un espace vectoriel et B une base de E et soit f ∈ L(E) et MB (f ) = A.
Le déterminant de f dans la base B est le nombre det A.
Propriété
!
a c
Soit une matrice A =
, A est inversible ⇔ det A 6= 0
b d
Et lorsque A est inversible, on a :
−1
A
4.1.2
1
d −c
=
−b
a
det A
!
Déterminant d’une matrice carré d’ordre 3
Produit vectoriel de vecteurs de R3
Définition
−
−
→
−
→
−
→ →
orthonormée
directe
de
l’espace
et
soient
X
et
Y deux vecteurs
Soit B = ( i ; j; k ) une base
 
 
y1
x1
 
 
de l’espace de coordonnées x2  et y2 .
y3
x3
−
→ −
→
−
→ −
→
Le produit vectoriel de X et Y est le vecteur noté X ∧ Y dont les coordonnées sont :
x2

 x3

 x1
−
 x
3


 x1
x2

y2
y3
y1
y3
y1
y2












x2 y3 − x3 y2


= −(x1 y3 − x3 y1 )
x1 y2 − x2 y1
−
→ ✻
−
→
X∧Y
−
→✿
Y
−
→✲
X
 
 
1
2
 
 
→
→
Exemple : Soient −
u et −
v de coordonnées 3 et 3 dans une base orthonormée.
4
4
−
→
−
→
Déterminer u ∧ v
Remarque :
4.1. DÉTERMINANT
33
−
→ −
→
→
• −
u ∧ 0 = 0
−
→
→
→
→
→
• −
u et −
v sont colinéaires ⇔ −
u ∧−
v = 0.
→
→
→
→
• −
u ∧−
v est orthogonale à −
u et à −
v
→
→
→
→
• −
u ∧−
v = −−
v ∧−
u
Déterminant de 3 vecteurs de R3
Définition
→
−
→ −
→ −
→
−
→ −
Soit B = ( i ; j; k ) une baseorthonormée
directe
de l’espace et soient X , Y et Z trois vecteurs
 
  
z1
y1
x1
 
  
de l’espace de coordonnées 
x2 , y2  et z2 .
z3
y3
x3
−
→ −
→ −
→
Le déterminant de X , Y et Z dans la base B est le nombre :
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→
detB ( X , Y , Z ) = X .( Y ∧ Z )
−
→ →
− −
→
y z
y z
y z
detB ( X , Y , Z ) = x1 . 2 2 − x2 1 1 + x3 1 1
y3 z3
y3 z3
y2 z2
Définition
−
→ −
→ −
→
Soit E un espace vectoriel de dimension
B une base de E et soient X , Y et Z trois
 
 et soit
   3,
z1
y1
x1
 
   
vecteurs de E de coordonnées x2 , y2  et z2  dans la base B.
z3
y3
x3
−
→ −
→ −
→
On appelle déterminant de X , Y et Z dans la base B le nombre :
−
→ −
→ −
→
y z
y z
y z
detB ( X , Y , Z ) = x1 . 2 2 − x2 . 1 1 + x3 . 1 1
y3 z3
y3 z3
y2 z2
Propriété_ Soit E un espace vectoriel de dimension n et B une base de E
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ →
−
• detB ( X , Y , Z ) = −detB ( Y , X , Z )
−
→ −
→ −
→
−
→ →
− −
→
−
→ −
→ →
−
• detB ( X , Y , Z ) = detB ( Y , Z , X ) = detB ( Z , X , Y )
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ →
−
• ( X , Y , Z ) est une base de E ⇔ detB ( X , Y , Z ) 6= 0
Démonstration :
CHAPITRE 4. DÉTERMINANT ET DIAGONALISATION
34
Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3
Définition
Soit A ∈ M3 (K), on appelle déterminant de A le nombre :
a1,1 a1,2 a1,3
a
a
a
a
a
a
det(A) = a2,1 a2,2 a2,3 = a1,1 . 2,2 2,3 − a2,1 1,2 1,3 + a3,1 1,2 1,3
a3,2 a3,3
a3,2 a3,3
a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
Remarque :
a d e
0 b f = abc
0 0 c


1 2 −1


Exemple : A =  3 2 1  Calculer det A
−2 4 −1
Propriété
Soit A ∈ M3 (K), A est inversible si et seulement si det A 6= 0
4.1. DÉTERMINANT
35
Méthode de Sarrius
Propriétés
Propriété
Pour calculer le déterminant d’une matrice A une matrice de M3 (R), on a Soit A et B deux
matrices de M3 (K), on a
• det(AB) = det(A) × det(B)
1
• Si A est inversible, det A−1 =
det A
• det(t A) = det(A)
Propriété
1. Le déterminant reste inchangé quand on ajoute à une ligne (resp. un colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (resp colonnes)
2. Si on multiplie une ligne ou une colonne par α le déterminant est multiplié par α.
3. Si on échange deux lignes ou deux colonnes le déterminant est multiplié par −1.
4. Si une ligne (resp une colonne) est une combinaison des autres lignes (resp colonnes) le
déterminant est nul.
Exemple : calculer les déterminants suivants :
∆1 =
1 2 1
2 5 −2
−3 2 −5
∆2 =
2 1 3
1 0 1
−2 2 0
CHAPITRE 4. DÉTERMINANT ET DIAGONALISATION
36
4.2
4.2.1
Valeurs propres, vecteurs propres et polynôme caractéristique
valeur propre
Définition Soit E un K espace vectoriel de dimension finie et soit f ∈ L(E).
−
→
−
→
On dit que λ ∈ K est une valeur propre de f lorqu’il existe X ∈ E − { 0 E } tel que
−
→
−
→
f (X ) = λX
Soit B une base de E et soit A = MB (f ), on dit aussi que λ est une valeur propre de A.
−
→
On dit que X est un vecteur propre de f et de A associé à la valeur propre λ.
−
→
Remarque : 0 est une valeur propre de f ⇔ ker f 6= { 0 E } ⇔ f n’est pas injective.
!
2 1
Exemple : Soit f ∈ L(R ) dont la matrice associée dans la base canonique est A =
3 0
Déterminer les valeurs propres de A.
2
Définition et propriété
Soit E un espace vectoriel et soit f ∈ L(E).
Soit λ une valeur propre de f , on appelle sous espace propre associé à λ l’ensemble
−
→
−
→
−
→
Vλ = { X ∈ E, f ( X ) = λ X }
Vλ est un sous espace vectoriel de E.
4.2. VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES ET POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE 37
Démonstration :
Propriété : Soit E un K espace vectoriel et soit
f ∈ L(E)
.
∀λ ∈ K, λ est une valeur propre de f
⇔ ker(f − λIdE )
⇔ f − λIdE n’est pas injective
On a Vλ = ker(f − λIdE ).
Soit A une matrice de Mn (K), on a :
∀λ ∈ K, λ est une valeur propre de A ⇔ det(A − λIn ) = 0
!
2 3
Exemple : A =
, déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de A.
4 1
4.2.2
Polynôme caractéristique
Définition Soit A ∈ Mn (K).
On appelle polynôme caractéristique de A le polynome PA défini par
PA (x) = det(A − xIn )
CHAPITRE 4. DÉTERMINANT ET DIAGONALISATION
38


2
1
1


Exemple : Soit A = −1 −2 −1, déterminer le polynôme caractéristique de A.
−3 −1 −2
Définition Soit E un espace vectoriel, soit f ∈ L(E) et A = MB (f ) où B est une base de E.
λ est une valeur propre de A si et seulement si PA (λ) = 0.
Remarque :
• Dans R, A admet au plus n valeurs propres.
• Dans C, A admet n valeurs propres distinctes ou confondues.
4.2.3
Diagonalisation d’une matrice
Définition Soit E un espace vectoriel, soit f ∈ L(E).
On dit que f est diagonalisable lorsqu’il existe une base B′ où la matrice de f dans cette base
est diagonale.
MB′ (f ) =

λ1

0

 .
 .
 .
0

0
...
0
.. 
..
..
.
.
.


..
. λn−1 0 

...
0
λn
Soit A ∈ Mn (K), on dit que A est diagonalisable, lorqu’il existe P ∈ GLn (K) telle que P −1 AP
est une matrice diagonale.
Définition Soit A ∈ Mn (K), on dit que A est diagonalisable, lorqu’il existe P ∈ GLn (K) telle
que P −1 AP est une matrice diagonale.
Propriété Soit f ∈ L(E) où E est un espace vectoriel de dimension n.
Si f admet n valeurs propres distinctes ( c’est à dire toutes les racines du polynôme caractéristique sont simples), alors il existe une base de E constituée de vecteurs propres de f , et dans
cette base la matrice de f est diagonale.
Propriété Soit f InL(E) où E est un espace vectoriel de dimension n.
f est diagonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique est scindé et l’ordre de
multiplicité de chaque racine est égale à la dimension du sous espace propre.
f est diagonalisable si et seulement si ∃(λ1 , . . . , λp ) ∈ K p , ∃(α1 , . . . , αp ) ∈ Np ,
PA (x) = (x − λ1 )α1 . . . ((x − λp )αp et (∀k ∈ J1; pK), dim Eλk = αk
4.2. VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES ET POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE 39
!
2 3
Exemple : Soit A =
, diagonaliser A.
4 1
En résumé : Pour diagonaliser une matrice
1. On calcule le polynôme caractéristique de A : PA (x).
2. On détermine les racines de ce polynôme (on résout PA (x) = 0), celles-ci sont les valeurs
propres de A (λ1 , λ2 , . . . , λp ).
3. On détermine les sous-espaces propres ∀i ∈ J1; pK, Eλi , en déterminant Ker(A − λi In )
4. Si ∀i ∈ J1; pK, dim Eλi = αi où αi est l’ordre de multiplicité de la racine λi de PA (x), alors
on obtient une base B′ de vecteurs propres où la matrice de l’endomorphisme associé est
diagonale.
5. Lorsque A est diagonalisable, il y a donc une matrice P inversible (matrice de passage de
la base B à B′ ) telle que P −1AP est diagonale.


1 −1 1

Exemple : Soit A = −1 1 1
, diagonaliser A.
−1 −1 3
4.2.4
Utilisation de la diagonalisation
Puissance d’une matrice
Soit A ∈ Mn (K) une matrice diagonalisable, (∃P ∈ GLn (K)), D = P −1 AP où D est une matrice
diagonale.
Ainsi A = P DP −1, pour p ∈ N, Ap = P DP −1P DP −1 . . . P DP −1 = P D n P −1 .
CHAPITRE 4. DÉTERMINANT ET DIAGONALISATION
40
!
2 3
Exemple : Soit A =
, calculer An .
4 1
Suites récurrentes linéaires
Soient les suites (un ) et (vn ) deux suites définies par :



u 0
∈ R, v0 ∈ R
un+1 = 2un + 3vn



vn+1 = 4un + vn
Déterminons (un ) et (vn ) en fonction de n.
Résolution d’un système d’équations différentielles linéaires
Soient x et y deux fonctions définies sur R telles que :

x′ (t)
Résoudre ce système.
y ′ (t)
= 2x(t) + 3y(t)
= x(t) + 4y(t)