1.2 Sous-espaces vectoriels

ALGEBRE LINEAIRE
ESISAR
GRENOBLE INP
P.A. Toupance
2015/2016

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Table des matières
1 ESPACES VECTORIELS 5
1.1 Structure d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Groupe ....................................... 5
1.1.2 Définition d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Définition ...................................... 7
1.2.2 Caractérisation d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Intersection et somme d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Intersection de ss ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Somme d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Sommedirecte ................................... 10
1.3.4 Supplémentaire d’un ss ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Familles finies de vecteurs de E.............................. 11
1.4.1 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Famillelibre..................................... 12
1.4.3 Base d’un ev de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.4 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.5 Dimension d’un ssev dans un ev de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Applications linéaires 17
2.1 Surjection,injection..................................... 17
2.2 Définition - Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Noyauetimage ....................................... 18
2.3.1 Définitions...................................... 18
2.3.2 Propriétés ...................................... 18
2.4 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Définition ...................................... 20
2.4.2 Théorèmedurang ................................. 21
2.5 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Matrices 23
3.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Egalités de 2 matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Somme de 2 matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.4 Produit de 2 matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.5 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Matricescarrées....................................... 25
3.2.1 Définition ...................................... 25
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4TABLE DES MATIÈRES
3.2.2 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Changementdebases.................................... 28
3.3.1 Exemple....................................... 28
3.3.2 Matricedepassage ................................. 28
3.3.3 Matrice d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Déterminant et diagonalisation 31
4.1 Déterminant......................................... 31
4.1.1 Déterminant de 2 vecteurs de Ee.v. de dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 Déterminant d’une matrice carré d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Valeurs propres, vecteurs propres et polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 valeurpropre .................................... 36
4.2.2 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.3 Diagonalisation d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.4 Utilisation de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chapitre 1
ESPACES VECTORIELS
1.1 Structure d’espaces vectoriels
1.1.1 Groupe
Définition : Un ensemble G muni d’une loi de composition interne T possède une
structure de groupe si :
– La loi T est associative.
∀(a, b, c)∈G3,(aT b)T c =aT (bT c)
– La loi T possède un élément neutre e.
∀a∈G, aT e =eT a =a
– Tout élément a de G possède un symétrique.
∀x∈G, ∃y∈G, xT y =yT x =e
Lorque la l.c.i. est notée ., le symétrique de xest noté x−1.
Lorque la l.c.i. est notée +, le symétrique de xest noté −x.
Exemple : (Z,+) est un groupe
Définition : Soit (G, T ) un groupe. Une partie Hde Gest un sous groupe de Glorsque :
•H6=∅
•Test stable dans H :∀(x, y)∈H, xT Y ∈H.
•Tout élément de Ha son symétrique dans H.
Remarque : Un sous groupe est un groupe.
Exemple : Soit Al’ensemble des nombres pairs de Zet Bl’ensemble des nombres impairs.
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