Travaux dirigés de Mathématiques Séance 1

Travaux dirigés de Mathématiques
Séance 1 - Algèbre
1. Un veau présentant de la diarrhée doit être réhydraté. Il pèse 50kg et est déshydraté à
10%.
a) Quelle quantité de liquide de solution faut-il lui administrer par voie parentérale pour
corriger sa déshydratation ?
b) Quelle quantité de liquide faudra-t-il ensuite lui administrer par voie orale pour
combler ses besoins d’entretien qui sont de 50ml/kg/jour, ainsi que les pertes à venir
qui sont évaluées à 80 ml/kg/jour sur base de la consistance et de la fréquence
d’émission de ses matières fécales ? Dans le calcul, il faut tenir compte du fait que
l’absorption des solutions de réhydratation par voie orale n’est que de 80%.
c) Combien de litres devra-t-il recevoir durant la première heure de perfusion, sachant
que la vitesse de perfusion maximale préconisée est de 40 ml/kg/heure ?
d) Ce veau est aussi en acidose. Son déficit en base (BD) est évalué à –20 mmol/kg. Le
BD total se calcule en mmol selon la formule : BD total = poids du veau x BD x 0,6
Combien de grammes de NaHCO3 faut-il apporter à ce veau pour corriger son acidose,
sachant que le poids moléculaire du NaHCO3 est de 84g ?
e) A quel volume de solution cela va-t-il correspondre sachant qu’il faut 1,4% de
NaHCO3 par litre pour respecter l’isotonicité (environ 300 mOsm/l) ?
2. Déterminer l’équation cartésienne des droites suivantes :
a) d1 passant par (-2;1) et de pente -1
b) d2 parallèle à l’axe x et passant par (3;2)
c) d3 passant par (5;-1) et parallèle à l’axe y
d) d4 passant par les points (1;3) et (-1;4)
e) d5 passant par l’origine et parallèle à d ≡ 2x – y + 7 = 0
f) d6 passant par (-1;1) et perpendiculaire à d’ ≡ y – (x+1)/2 = 0
3. Un rayon lumineux est issu du point A (-2;3) sous un angle α avec l’axe des abscisses. On
sait que tg α = 3 et que le rayon est orienté de la droite vers la gauche. Ayant atteint l’axe
horizontal, le rayon est réfléchi. Déterminer les équations des droites portant les rayons
incident et réfléchi.
4. Rechercher l’équation de la trajectoire du mouvement résultant de deux mouvements
harmoniques selon des directions perpendiculaires, dont les équations respectives sont x =
4 cosωt et y = 3 cos(π/2 – ωt). Quelle est la nature de la courbe décrite ?
5. Une balle est lancée verticalement vers le haut à une vitesse de 20m/s. Quelle est la nature
de la trajectoire décrite par la balle et pourquoi ? Combien de temps se passe-t-il entre le
lancement de la balle et son retour au point de départ ? La résolution aboutit à une
équation du second degré qui donne 2 solutions. Interprétez ces solutions.
(Indication : x = v0t – ½ gt² ou g est l’accélération de la pesanteur, soit 9,81 m/s²)
6. Un motocycliste voit à une distance de 50m, un panneau indicateur à partir duquel on ne
peut plus rouler qu’à v2 = 50 km/h. Combien de temps durera l’opération de freinage et
quelle sera la décélération sachant que la vitesse initiale est de v1 = 80 km/h ?
(Rappel : vf = vi + at ; x = vit + ½ at² ou vf et vi sont les vitesses finale et initiale, a
l’accélération et t le temps)
7. Un train roule à la vitesse constante de 36 km/h. Sur la même voie circule un autre train à
la vitesse de 144 km/h. le conducteur du 2e train aperçoit le dernier wagon du 1er train.
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1
Alors qu’une distance de 150m sépare les deux trains, le conducteur 2 bloque les freins et
provoque une décélération de 4 m/s². Y aura-t-il collision et, si oui, où aura-t-elle lieu ?
8. Un homme court à 4 m/s pour rattraper un bus à l’arrêt. Quand il arrive à 10m de la porte,
le bus démarre et poursuit son mouvement avec une accélération constante de 1,2 m/s². De
combien de temps l’homme a-t-il besoin pour arriver à la porte du bus ? On aboutit à une
équation du second degré dont le réalisant est négatif. Qu’est-ce que cela signifie ?
Si le piéton n’est plus qu’à 6m de la porte du bus à la place de 10m lorsque celui-ci
démarre. Interprétez les deux solutions obtenues par la nouvelle équation.
9. La pression de la vapeur d’eau saturée dépend de la température suivant une loi de la
forme p = at² + bt + c. Nous disposons des valeurs expérimentales suivantes :
t (°C)
p (mm de Hg)
0
4,6
10
9,2
20
17,5
Calculez les coefficients a, b et c.
10. En photographie, on mesure couramment le sensibilité des films à l’aide des échelles
« ASA » et « DIN ». Si x désigne la sensibilité en ASA et y la sensibilité en DIN, on
dispose de la relation suivante : y = 1 + 3 log2x. Sachant qu’une sensibilité de 25 ASA
correspond à 15 DIN, calculez, sans utiliser la calculatrice, la sensibilité en DIN
correspondant à 100 ASA.
11. Déterminez l’équation de la droite D passant par le milieu du segment délimité par les
points A(1;2) et B(5;8) et perpendiculaire à ce segment.
12. Calculez la valeur de p pour que les 3 droites suivantes soient concourantes (c'est-à-dire,
se coupent en un seul point): 2y + x = 1 ; y = 2x + 2 et y = 3x + p
13. Combien vaut le reste de la division du polynôme P(w) = 27w³ + 54w² + 36w + 9 par le
monôme (3w + 2) ?
14. Les deux paraboles x²/5 + y/10 = 1 et x²/2 - y/16 = 1 se coupent :
Réponses proposées :
en un seul point
en deux points
en trois points
en quatre points
en plus de quatre points
en aucun point (ne se coupent pas)
15. Pour quelle(s) valeur(s) de a la division du polynôme P(x)=(4 x² -2x +a) par le monôme
(x + a) donne-t-elle un reste nul ?
16. Quelle est la valeur du paramètre k qui fait que les deux droites
y1 = 3x + 4 et y2 =2x + k se coupent en un point P ayant 10 pour ordonnée ?
17. Pour lutter contre une faiblesse cardiaque, un chien de 30 kilos doit recevoir tous les jours
une dose d’un stimulant cardiaque. La dose est calculée sur la base de 5 mg/kg/jour. La
concentration du stimulant dans la solution commercialisée du stimulant est de 75 mg par
10 ml. Quelle quantité quotidienne de la solution faut-il administrer quotidiennement au
chien ?
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18. Quelle pente m faut-il donner à la droite y = mx + 1 pour qu’elle coupe la droite (y + x) =
4 en un point P(3 ;1) ?
19. La droite passant par le point P (1,2) et perpendiculaire à la droite d’équation y = 2x + 5
coupe la droite y – 2x + 3 = 0 en un point Q. Quelle est l’abscisse de ce point ?
20. Le polynôme (x+1)4 est divisé par (x+2)². Combien vaut le reste de la division ?
21. Quelle est la contrainte à mettre sur m pour que les deux paraboles P1(x) = (x²+2x+m) et
P2(x) = -(x-1)(x-3) ne se coupent pas ?
22. Lors d'un essai, une fusée d’une masse (qu'on supposera constante…) de 1000 kg subit
une force verticale constante (appelée "poussée") de 20 kN pendant 20 s. On supposera
également que l'accélération due à la pesanteur reste constante et vaut 10 m/s². Quelle est
l'altitude atteinte à la fin de la poussée ?
23. Pour quelle valeur de k le polynôme P(x) = (x³ + x² + x + k) est-il divisible par le monôme
(x – 1) ?
24. Quelle est l’équation de la droite passant par le sommet de la parabole 2x² + 5x - 2y + 1 =
0 et parallèle à la droite y = -x + 3 ?
25. Combien vaut l’ordonnée Q du point d’intersection de la tangente à la parabole y = x² +
2x + 2 en x = 2 et de l’axe vertical x = 0 ?
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Travaux dirigés de Mathématiques
Séance 2 - Trigonométrie - Vecteurs
1. Une côte de 6,5km de long fait avec l’horizontale un angle de 6°30’. Calculer sa
dénivellation et son pourcentage.
2. Un observateur situé au bord d’une rivière regarde un arbre haut de 12m sous un angle de
10°. La rivière franchie, il voit l’arbre sous un angle de 20°. Quelle est la largeur de la
rivière ? (On néglige la taille de l’observateur).
3. Un goal de football mesure 7,32m. Un joueur se trouve à 12m du piquet gauche sur la
perpendiculaire à la ligne de but.
a) Sous quel angle minimum par rapport à cette dernière, doit-il tirer pour marquer un
goal ?
b) Quelle sera la longueur du trajet parcouru par le ballon s’il tire sur le piquet de droite ?
4. Le poids d’un corps placé sur un plan incliné est de 300N. L’angle du plan avec
l’horizontale vaut 20°. Trouver les composantes normale et tangentielle de ce vecteur
poids W.
5. Une console est formée de deux barres AB et AC, scellées dans un mur et assemblées en
leur autre extrémité (point A) par un boulon. La barre supérieure AB est perpendiculaire
au mur. On suspend au point A une charge de 5000 N. On admet que les forces exercées
sur le boulon sont dirigées suivant les axes de ces barres. Déterminer l’intensité de ces
forces, ainsi que leur sens. La distance BC vaut 0,75m et la distance AB vaut 1,5m. Faire
une représentation graphique.
6. La poussée de l’air sur l’aile d’un avion en vol est une certaine force Fr, qui admet une
composante Fp verticale (ou portance) de 9000 N, et une composante Ft horizontale (ou
trainée) de 900 N. Calculer la grandeur de la résultante Fr, ainsi que l’angle que fait sa
droite d’action avec l’horizontale.
7. Trouver graphiquement et analytiquement la résultante des déplacements suivants :
Vecteur OA : 10m vers le nord-ouest
Vecteur AB : 20m vers le nord-est dans une direction faisant un angle de 30° avec la
direction ouest-est
Vecteur BC : 35m plein sud
8. Calculer les expressions suivantes :
r
r
r r
a) j • (2i − 3 j + k )
r
r
r r
b) (i + 2 j )Λ(i + k )
r r
r r r
c) (2i − j ) • (3i + j + k )
r
r
9. Rechercher l’angle entre les vecteurs A = (2,3,−1) et B = (−1,1,2) .
10. Dans le système d’axes orthogonaux x et y, si un vecteur a forme un angle de +30° avec
l’axe horizontal x et que sa norme vaut 10, déterminez ses composantes.
11. Un poids de 500N est placé sur un plan incliné à 20°. Dans le système d’axes orthogonaux
x et y, tel que l’axe x est dans le plan incliné, déterminez les composantes du vecteur
poids P.
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12. Deux vecteurs a et b font entre eux un angle α = 120°. Que vaut la norme de b si a = 18 et
le produit scalaire de a et b vaut -9 ?
13. Montrer que : sin(3x) = 3sin(x) – 4sin³(x).
14. Montrer que : sin(3x) + sin(5x) = 8sin(x) * cos²(x) * cos(2x).
r
15. Quelle est la longueur euclidienne m du vecteur v défini comme suit :
r r r
v = a ∧b
r
a = (1;2;3)
r
b = (2;2;1)
16. Montrer que : sin(5x) + sin(3x) = 16sin(x) * cos4(x) - 8sin(x) * cos²(x).
17. Soient deux vecteurs A(3,1,1) et B(0,-2,1). Calculez la norme et les composantes du
vecteur résultant du produit vectoriel de ces deux vecteurs A et B, et montrez que ce
vecteur résultat est perpendiculaire aux deux autres.
18. Démontrez l'identité trigonométrique suivante: sin4(x) + cos4(x) = 0,5(1 + cos²(2x))
(Truc: (a² - b²)² = … )
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Travaux dirigés de Mathématiques
Séance 3 - Dérivées
1. Dériver par rapport à x les fonctions suivantes :
a) 9 x ² + 1
c)
x
e)
3x
1 − 2x
g)
3
i)
3x 4 − 2 x² + 8
b)
1
x
d)
3
x²
f) ( x + 1)²(2 x + 3)
(1 − x ²)²
h)
j)
1
2x + 1
2 3
−
x x²
2. Dériver les fonctions suivantes :
a) 2t 4 / 3 − 3t 2 / 3
b) e 4 x +5
c) a ln x
d) sin ² x
e) x sin x + cos x
f) ln(ax + b)
g)
(e x − 1)
(e x + 1)
3. Calculer toutes les dérivées partielles des fonctions suivantes :
(r ² + h ²)
b) f ( x, y, t , z ) = x ² + y ² + xtz ³
a) R (r , h) =
2h
RE ²
1   n 
c) P ( R, r ) =
d) λ (t , n) = ln 0 
( R + r )²
t   n 
nRT
V
e) V ( R, h) = πR ² h
f)
P (T , V ) =
  t x

g) y ( x, t ) = a sin 2π  −  − Φ 
 T λ 

h)
f ( p, p ' ) telle que
4. Si W =2x²y + x³ - 3y²x, montrer que x
1 1 1
= +
f
p p'
∂W
∂W
+y
= 3W
∂x
∂y
5. La distribution de la température à travers une coupe de tissu est donnée par la relation
T ( x, t ) = C ( x 5 + 20 x 3t + 60 xt 2 ) où C est une constante.
∂  ∂T  ∂  ∂T 
Vérifier que

= 

∂x  ∂t  ∂t  ∂x 
6. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point donné :
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6
a) y = 2 x −
b) y =
x²
2
x=3
4
( x − 1)
x=2
c) y = 3 + 3 x − x ³
d) y =
x = -1
x
( x + 1)
x=1
7. Quel est le point de la courbe y = 7x – 3x² pour lequel la tangente fait un angle de 45°
avec l’axe des x ?
8. Déterminer les points de la courbe 3y = x³ - 3x où la tangente est parallèle à la droite
y = 3x.
9. Combien vaut l’ordonnée Q du point d’intersection de la tangente à la parabole y = x²
+ 2x + 2 en x = 2 et de l’axe vertical x = 0 ?
10. Quelle est l’équation de la tangente au polynôme f(x) = (x³ - 2x² + 6x + 2) en x = -1 ?
11. En supposant que la résistance d’une poutre à section rectangulaire varie en raison
directe de la largeur (x) et du carré de la hauteur (y), quelles sont les dimensions de la
poutre de résistance maximale qu’on peut tirer d’un morceau de bois dont le diamètre
est d ?
12. On veut réaliser une boîte sans couvercle de fond carré (côté = a – 2x) du plus grand
volume possible avec un morceau carré d’aluminium de côté a, en enlevant des carrés
égaux aux coins et en relevant ensuite le métal verticalement pour former les côtés.
Quelle doit être la longueur x du côté des carrés enlevés ?
13. Le prix de revient d’un article est p euros et le nombre que l’on peut en vendre varie
de façon inversement proportionnelle à la nième puissance du prix de vente. Déterminer
le prix de vente pour que le bénéfice soit maximal.
14. Une personne se trouve au point D dans un canot situé à 5km du point le plus proche
(A) de la côte (supposée rectiligne) ; elle souhaite atteindre le point B (situé à 6km du
point A) en un temps minimum. Sachant qu’elle peut ramer de telle sorte que le canot
progresse à la vitesse v1 = 3km/h et qu’elle peut marcher à la vitesse v2 = 6km/h,
déterminer la distance x entre le point C auquel elle doit accoster et le point A (t =
espace parcouru / vitesse).
D
5km
A
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x
C
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6-x
B
7
15. Combien vaut la dérivée de :
a) f(x) = ln(tg²(x))
b) f(x) = sin(cos(x))
c) f(x) = tg ³(x) + 3*tg²(x) + 3*tg(x) + 1
d) f(x) = tg(e2*x+y)
16. Quelle est la valeur maximale de f(x) = 2 x³ - 15 x² + 24 x + 1 entre x = 0 et x = 5 ?
17. Combien vaut la dérivée par rapport à x de f(x,y) = [sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x)]² ?
18. Combien vaut la dérivée de f(x) = (2x+2)³ - 3(2x+2)² + 3(2x+2) – 1 par rapport à z =
2x+2 ?
19. Montrer que la dérivée de f(x) = cosec(2*x) vaut f’(x) = 0.5*[sec²(x) – cosec²(x)].
La fonction cosec(x), appelée cosécante de x, est l’inverse du sin de x : cosec(x) =
1/sin(x) et la fonction sec(x), appelée sécante de x, est l’inverse du cos de x : sec(x) =
1/cos(x).
20. Trouver la valeur de y correspondant à un maximum local du polynôme
P(y) = 0.25*y4 – 0.5*y² + 2 :
Réponses proposées : y = 0
y=1
y = -1
Plusieurs solutions sont possibles
Aucune valeur n'est possible
Aucune des réponses proposées
21. Combien vaut le minimum de la fonction f(x) = e(2-3x)*sin(2-3x) entre 0 et 1 ?
Réponses proposées : x = (π + 8) / 12.
f(0) car la fonction est strictement croissante dans cet intervalle
f(1) car la fonction est strictement décroissante dans cet
intervalle
f(x) = -0.3224
f(x) = 0.3224
Aucune des solutions proposées
22. Combien vaut le développement en série de f(x) = x*tg(x) autour de x = 0 (arrêter au
premier terme non nul) ?
23. Combien vaut le développement en série de f(x) = cos(ex) autour de x = 0 (arrêter
après 3 termes non nuls) ?
24. Combien vaut le premier terme non nul du développement en série de f(x) =
x²*sin(2x) autour de x = 0 ?
25. Développer la fonction e − x ² en série de Mac Laurin (3 termes non nuls).
26. Dans l’intervalle de temps 0 < t < 3s, la hauteur d’une plante est données par
h(t)=(9+4t+t²)1/2. Développer la fonction h(t) en série de puissance de t (Mac Laurin,
se limiter aux 3 premiers termes non nuls). En se servant de cette approximation,
calculer la hauteur de la plante en t=3 et comparer à la hauteur réelle.
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8
27. Quel graphique correspond à la dérivée (en pointillés) de la fonction f(x) (en
continu) ?
a.
b
c.
d.
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Travaux dirigés de Mathématiques
Séance 4 – Intégrales et primitives
1. Calculer les primitives suivantes :
a) ∫ ( x + x )dx
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
dx
∫ x−a
∫ tg ( x)dx
2x³ + 3
∫ x dx
∫ x cos( x)dx
∫ ln( x)dx
∫ e cos(2 x)dx
∫ xe dx
x
2x
x
∫ x² + 1 dx
∫ ( x² + x + 1)³(2 x + 1)dx
∫ cos ²( x)dx
ez
∫ 1 + e z dz
ln(t)
m) ∫
dt
t
l)
2. Combien vaut l’intégrale I de x²*sin(x) pour x compris entre –π/2 et π/2 ?
Réponses proposées : I = -1
I=0
I=1
I=2
I = 2*sin(π/4)
Aucune des réponses proposées
3. Combien vaut l’intégrale I de (3x² + 2x + 1)*e (x³ + x² +x + 1) pour x compris entre 0 et 1 ?
4. Combien vaut l'intégrale I de cos(x)*tg(sin(x)) entre x = 0 et x = π/2 ?
5. Combien vaut l’intégrale I de f(x) = sin²(x) – cos²(x) pour x compris entre 0 et π ?
6. Combien vaut l’intégrale I de f(x) = sin(2x)cos(x) – sin(x)cos(2x), pour x compris
entre 0 et π/2 ?
7. A une constante près, combien vaut la primitive de f(x) = (4*x) /sin²(x² + 2) ?
8. A une constante près, combien vaut la primitive de f(x) = x² * ex ?
9. A une constante près, combien vaut la primitive de f(x) = ln²(x) ?
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10
10. A une constante près, combien vaut la primitive de
 ( x − 6)   ( x + 6) 
f ( x) = 2 sin 
 sin 
 ? (Truc : penser aux formules de Simpson …)
 2   2 
11. Trouvez la valeur de A pour que f(x) = A*tg(x) soit bien une densité de probabilité
pour la variable aléatoire x, qui varie entre 0 et π/4.
(Truc : si f(x) est une densité de probabilité sur [0 ;π/4], son intégrale entre 0 et π/4
vaut 1).
Réponses proposées : A = -1
A = +1
A = ln(2)/2
A = 2/ln(2)
f(x) ne saurait pas être une densité de probabilité entre 0 et π/4
Aucune des réponses proposées
12. Trouvez la valeur de α pour que la fonction f(x) = x*(5-x) puisse être utilisée comme
une densité de probabilité de la variable aléatoire x entre 0 et α (>0).
(Truc : l’intégrale d’une densité de probabilité entre ses deux valeurs extrêmes (0 et α)
vaut 1)
Réponses proposées : α ≈ 0,66
α=0
α=5
α=1
Cette fonction ne peut pas être utilisée comme une densité de
probabilité
Aucune des valeurs proposées
13. Si f(x|λ) = λe-λx est la densité de probabilité pour la variable aléatoire x (λ est un
paramètre de la distribution), et que la probabilité que x soit compris entre 0 et 1 vaut
0.3, combien vaut le paramètre λ ?
14. Quelle est la variance de la distribution f(x) = 0.5 pour x compris entre -1 et 1 ?
15. L’accélération de Coriolis est donnée par la formule ac = (2ωg cos λ)t où ω, g et λ sont
des constantes. Sachant que la vitesse et le déplacement correspondants sont donnés
respectivement par v = ∫ ac dt et x = ∫ vdt , calculer l’expression du déplacement x en
fonction du temps.
16. Un mobile part au repos en face d’un repère en t = 0. Il accélère pendant 4 secondes à
raison de 1,5 m/s². Ecrivez la loi de la vitesse au cours du temps pendant ces 4
secondes et calculez l’espace total parcouru (indication : la loi des vitesses est v(t) =
at).
a 

17. L’équation d’état des gaz réels est de la forme  p + (V − b ) = RT où a, b et R sont
V²

des constantes. Calculez le travail fourni lors d’une transformation isotherme (T =
constante) qui fait passer le volume de V1 à V2 (indication : W = ∫ pdV ).
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