théorie des distributions - Université Paris-Sud

Licence de Physique Fondamentale et Appliquée
3`eme année Parcours Physique et Applications Parcours Mécanique
UNIVERSITÉ PARIS-SUD
ORSAY
THÉORIE DES DISTRIBUTIONS
G. Abramovici
janvier 2015

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Table des matières
Glossaire 5
I Transformation de Fourier 7
A Notions préalables 9
1 Topologie dans R............................... 9
2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
B Intégration de Lebesgue 25
1 Mesure de Lebesgue dans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Métrique sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Intégrale à paramètres ou variables multiples . . . . . . . . . . . . . . . 33
5Valeur Principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
C Transformation de Fourier 39
1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Opérations sur les transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
D Résumé sur la transformation de Fourier 55
II Théorie des distributions 57
A Distributions ordinaires 59
1 Introduction : la fonction de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Espace de fonctions DpRpq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Espace des distributions D1pRnq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Distributions régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Distributions singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Multiplication par une distribution C8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Distributions discontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8 Dérivée d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9 Autres transformations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3

10 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11 Convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
B Transformation de Fourier 89
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2 Espace de fonctions SpRpq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3 Espace des distributions tempérées S1pRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 Définition de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Cas des distributions régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6 Exemples de transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Théorème d’inversion de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8 Transformation de Fourier et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Index des équations 99
Index 100
Références 101
4

Glossaire
ðñ si et seulement si
exp1”exp2l’expression exp1est définie par (ou bien définit) exp2
„équivalent
»à peu près égal
AĂBl’ensemble Aest inclus dans l’ensemble B
AĄBl’ensemble Acontient l’ensemble B
AXBintersection des ensembles Aet B
AYBunion des ensembles Aet B
AzBl’ensemble Amoins l’ensemble AXB
ra, bsintervalle fermé (aăbdeux réels)
ra, brintervalle fermé à gauche et ouvert à droite
sa, bsintervalle ouvert à gauche et fermé à droite
sa, brintervalle ouvert
tausingleton ne contenant que a
ta1, .., anuensemble de néléments
Hensemble vide
Nensemble des entiers naturels
Zensemble des entiers relatifs
Qensemble des nombres rationnels
Rensemble des nombres réels
Censemble des nombres complexes
N˚Nzt0u
Z˚Zzt0u
Q˚Qzt0u
R˚Rzt0u
R`ensemble des réels positifs
R˚
`R`zt0u
Afermeture de l’ensemble A
maxpAqplus grand élément de l’ensemble A
minpAqplus petit élément de l’ensemble A
suppAqlimite supérieure de A
infpAqlimite inférieure de A
pp presque partout
cf. confere
etc. et cætera
resp. respectivement
i.e. id est
C.Q.F.D. ce qu’il fallait démontrer
ssi si et seulement si
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