EPREUVE COMMUNE de MATHEMATIQUES

EPREUVE COMMUNE de MATHEMATIQUES
1°) Préliminaire : calcul d'une intégrale
On considère dans cette question les deux fonctions G et H définies sur IR par :
∫
G ( x )=
1
exp(
0
− x 2 (1 + u
1 + u 2
2
))
x
H ( x ) = ( ∫ exp( − u 2 ) du ) 2 .
;
du
0
a) Montrer que G et H sont de classe C1 sur IR (en précisant les résultats utilisés) et préciser les dérivées G' et
H'. En déduire que la fonction G+H est constante sur IR, égale à π/4.
b) Montrer l'inégalité suivante pour tout nombre réel x :
0 ≤ G ( x ) = exp( − x ) ∫
2
exp( − x 2 u 2 ) du π
≤ exp( − x 2 ) .
2
1+ u
4
1
0
En déduire la limite de G(x), puis de H(x), quand x tend vers +∞ et déterminer l'intégrale I :
I=
∫
+∞
−u
exp(
0
2
) du
.
*****
Dans la suite de ce problème, on désigne par f une fonction à valeurs complexes continue et intégrable sur IR et
on étudie la fonction F = Tf (dite transformée de Fourier de f) définie par :
F ( x )= ∫
+∞
−∞
e − 2 i π xt f ( t ) dt .
2°) Premières propriétés de la transformée de Fourier F de f
a) Montrer que F est définie sur IR.
b) Montrer que F est bornée sur IR.
c) Montrer que F est continue sur IR (en précisant le théorème utilisé).
d) On convient alors de noter :
•
L1(IR) l'espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes continues intégrables sur IR. Et on pose
|| h || 1 = ∫
+∞
−∞
•
| h ( t ) | dt pour toute fonction h de L1(IR).
Cb(IR) l'espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes continues et bornées sur IR. Et on pose
| H ( x ) | pour toute fonction H de Cb(IR).
|| H || ∞ = sup
− ∞ < x < +∞
Montrer que la transformation de Fourier T est une application linéaire de l'espace L1(IR) dans l'espace Cb(IR),
puis montrer que T est 1-lipschitzienne, autrement dit que l'on a pour tout couple (g1, g2) de fonctions de
L1(IR) de transformées de Fourier notées Tg1, Tg2 :
Tg 1 − Tg 2
∞
≤ g1 − g 2 1 .
3°) Un premier exemple : la transformée de Fourier de la fonction f : t → 1/(1+t2)
On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, que f(t) = 1/(1+t2). Ainsi :
F ( x )=
∫
+ ∞
− ∞
e − 2 iπ
1 + t
xt
.
dt
2
a) Etablir la relation suivante pour tout nombre réel x :
(1)
π x
F ( x )= i
∫
+ ∞
− ∞
t
e
− 2 i π tx
(1 + t
2
)
dt
2
.
En déduire que | F ( x ) |≤
1
pour tout nombre réel x et déterminer la limite de F en ±∞.
π|x|
b) Etablir que l'intégrale figurant au membre de droite de l'égalité (1) est de classe C1 sur IR et préciser sa
dérivée (on citera le théorème utilisé et on vérifiera ses hypothèses). En déduire que F est de classe C1 sur IR*
et montrer à l'aide de la relation (1) que :
(2)
F (x) − x
F ′( x ) = 2 ∫
+∞
−∞
e − 2 i π tx dt
(1 + t 2 ) 2
(où x ≠ 0).
c) Etablir à l'aide de la relation (2) que F est de classe C2 sur IR*, puis former une équation différentielle linéaire
du second ordre vérifiée par F sur ]–∞, 0[ et sur ]0, +∞[.
d) Calculer F(0) et, en tenant compte des limites de F en ±∞, en déduire l'expression de F(x) (on pourra
distinguer les deux cas x ≥ 0 et x ≤ 0).
4°) Dérivée de la transformée de Fourier et transformée de Fourier de la dérivée
a) On suppose dans cette sous-question que la fonction t → tf(t) est intégrable sur IR.
Montrer que F est de classe C1 sur IR et préciser sa dérivée (on citera le théorème utilisé).
Comment généraliser ce résultat aux dérivées successives de F ?
f ′ est intégrable sur IR.
Montrer que la fonction f tend vers 0 en ±∞ et déterminer la transformée de Fourier de f ′ .
b) On suppose dans cette sous-question que f est de classe C1 et que
Comment généraliser ce résultat aux dérivées successives de f ?
5°) Un deuxième exemple : la transformée de Fourier de la fonction f : t → exp(–πt2)
On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, que f(t) = exp(–πt2). Ainsi :
F ( x )=
∫
+∞
− ∞
e
− 2 i π xt
−π t
exp(
2
) dt
.
On se propose d'utiliser les résultats précédents pour obtenir la transformée de Fourier F(x).
a) En utilisant les résultats de la question précédente et la relation f'(t) = –2πtf(t), déterminer une équation
différentielle linéaire du premier ordre vérifiée par F.
b) Calculer F(0) à l'aide du résultat de la question 1°, puis en déduire l'expression de F(x).
6°) Limites en ±∞ de la transformée de Fourier F de f
On établit dans cette question que F(x) tend vers 0 quand x tend vers ±∞.
a) On considère une subdivision d'un segment [–A, A] notée –A = a0 < a1 < … < ap–1 < ap = A et une fonction en
escalier φ définie sur [–A, A] par φ(t) = φk si ak–1 < t < ak (1 ≤ k ≤ p). Calculer alors l'intégrale suivante, puis
déterminer sa limite quand x tend vers ±∞ :
∫
+
− A
A
e
− 2 i π xt
φ ( t ) dt
.
b) Etablir qu'il existe un nombre réel positif A tel qu'on ait pour tout nombre réel x :
| F (x) −
∫
+ A
−A
e − 2 i π xt f ( t ) dt |≤ ε .
c) Justifier l'existence d'une fonction φ en escalier sur [–A, A] telle qu'on ait pour –A ≤ x ≤ A :
| f ( x ) − φ ( x ) |≤
ε
2A
.
d) Déduire des résultats précédents que F(x) tend vers 0 quand x tend vers ±∞.