A PROPOS DE L`ENSEMBLE DES POINTS FIXES

ANALELE ŞTIINŢIFICE ALE UNIVERSITĂŢII ”AL.I.CUZA” IAŞI
Tomul XLIV, s.I.a, Matematică, 1998, Supliment.
A PROPOS DE L’ENSEMBLE
DES POINTS FIXES DES MULTIAPPLICATIONS*
PAR
C. GODET–THOBIE
Introduction. Dans une première partie, nous établissons un théorème de point fixe pour des multiapplications définies sur un espace topologique. Dans une deuxième partie, nous donnons quelques propriétés de
l’ensemble des points fixes. Dans la partie III nous étudions une notion
de convergence dite forte et nous montrons que cette convergence conserve
l’existence de points fixes. Ce travail a été réalisé en partie en collaboration
avec I. KUPKA de l’Université Comenius de Bratislava lors de son séjour à
Brest en 1994.
Définitions et notations. S’il n’y a pas d’autre précision, X désigne
un espace topologique, C un recouvrement de X par des ouverts de X, f
une application définie sur X et Γ une multiapplication définie sur X qui,
à tout x de X, associe Γ(x) une partie fermée non vide de X. Γ sera dite
”multiapplication de X dans X”.
I. Théorèmes de points fixes.
Théorème 1. Soit X un espace topologique et Γ une multiapplication
de X dans X de graphe fermé. Γ a un point fixe si et seulement si, pour
tout recouvrement ouvert C de X, il existe Ω ∈ C tel que Γ(Ω) ∩ Ω 6= ∅.
Démonstration. Si a est un point fixe de Γ, a ∈ Γ(a) et si Ω est un
ouvert du recouvrement C de X qui contient a, Γ(Ω) ∩ Ω 6= ∅.
Supposons maintenant que Γ n’a pas de point fixe. Si ∆ est la diagonale de X et G(Γ) le graphe de Γ, G(Γ) ∩ ∆ = ∅. Puisque Γ est de graphe
* Conférence donnée au Colloque “Analyse Mathématique et Applications” de l’Université Al. I. Cuza de Iaşi le 24 octobre 1997
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C. GODET–THOBIE
2
fermé, X × X \ G(Γ) est un ouvert contenant ∆. Donc, pour tout x de X,
il existe un ouvert de X, soit Ox , tel que (x, x) ∈ Ox × Ox ⊂ X × X \ G(Γ).
(Ox )x∈X est donc un recouvrement ouvert de X tel que, ∀x ∈ X,
Ox ∩ Γ(Ox ) = ∅. Donc, il existe un recouvrement ouvert C tel que ∀Ω ∈ C,
Γ(Ω) ∩ Ω = ∅.
On peut donner de ce théorème la variante suivante:
Théorème 2. Soit X un espace topologique et Γ une multiapplication
de X dans X de graphe fermé. Γ a un point fixe si et seulement si, pour
tout recouvrement ouvert C de X, il existe un recouvrement C 0 plus fin pour
lequel il existe Ω0 ∈ C 0 tel que Γ(Ω0 ) ∩ Ω0 6= ∅.
Démonstration. Si (1) est la propriété: “pour tout recouvrement
ouvert C de X, il existe Ω ∈ C tel que Γ(Ω) ∩ Ω 6= ∅” et (2) : “pour tout
recouvrement ouvert C de X, il existe un recouvrement C 0 plus fin pour
lequel il existe Ω0 ∈ C 0 tel que Γ(Ω0 ) ∩ Ω0 6= ∅,” il est clair que (1) =⇒ (2).
Montrons que (2) =⇒ (1). Si C 0 est plus fin que C et si Ω0 ∈ C 0 est tel
que Γ(Ω0 ) ∩ Ω0 6= ∅, il existe Ω ∈ C tel que Ω0 ⊂ Ω. Γ(Ω) ∩ Ω est donc 6= ∅
car Γ(Ω0 ) ∩ Ω0 ⊂ Γ(Ω) ∩ Ω.
On peut déduire du Théorème 1 le théorème suivant:
Théorème 3. Soit (X, d) un espace métrique équidistribué et Γ une
multiapplication de X dans X de graphe fermé.
Γ a un point fixe si et seulement si inf d(x, Γ(x)) = 0.
x∈X
Démonstration. Il est clair que si Γ a un point fixe, inf d(x,Γ(x)) = 0.
x∈X
Soit Γ de graphe fermé et telle que inf d(x, Γ(x)) = 0 et C un recouvrement
x∈X
ouvert de X. Puisque X est équidistribué, il existe r > 0 tel que, pour tout
x de X, la boule ouverte de centre x et de rayon r est contenue dans au
moins un ouvert Ω de C. Soit x vérifiant d(x, Γ(x)) < r et y ∈ Γ(x) tel que
d(x, y) < r. Alors, il existe Ω ∈ C tel que {x, y} ⊂ Ω et donc Ω ∩ Γ(Ω) 6= ∅.
Rappelons la définition des espaces uniformes équidistribués.
Définition. L’espace uniforme (X, U) est dit “équidistribué” ⇐⇒
Tout recouvrement ouvert C de X est “uniforme” selon la terminologie de
KELLEY [5, p.199], c’est-à-dire ∃U ∈ U : ∀x ∈ X, ∃Ω ∈ C : U (x) ⊂ Ω.
Pour un espace métrique, cette propriété devient: L’espace métrique
(X, d) est dit “équidistribué” ⇐⇒ Pour tout recouvrement ouvert C de X,
∃ > 0 : ∀x ∈ X, ∃Ω ∈ C : B(x, ) ⊂ Ω
Tout espace métrique compact est un espace uniforme équidistribué
(c’est la propriété de recouvrement de Lebesgue). Tout espace uniforme tel
que l’espace topologique associé soit paracompact est équidistribué.
3
ENSEMBLE DES POINTS FIXES DES MULTIAPPLICATIONS
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Remarque 1. Si K est un convexe fermé borné non vide d’un espace
de Banach et Γ une multiapplication non expansive de K dans K, si, pour
tout x de K, Γ(x) est fermée, alors Γ est de graphe fermé et
inf d(x, Γ(x)) = 0.
x∈K
Démonstration. Soit x0 ∈ K et K0 = K − x0 . Alors, 0 ∈ K0 . On
définit, pour tout k ∈ [0, 1[, Γk par: Γk (x − x0 ) = k[Γ(x) − x0 ]. Si Γ est
non expansive, Γk est contractive. Par le théorème de [2], Γk a au moins
un point fixe xk tel que xk − x0 ∈ k[Γ(x) − x0 ]. Donc il existe yk ∈ Γ(xk ) tel
que xk − x0 = k(yk − x0 ) et d(xk , Γ(xk )) ≤k xk − yk k≤ (1 − k) k yk − x0 k,
d’où inf d(x, Γ(x)) ≤ inf d(xk , Γ(xk )) ≤ inf (1 − k) k yk − x0 k.
x∈K
0≤k<1
0≤k<1
k yk − x0 k est borné car K l’est d’où inf d(x, Γ(x)) = 0.
x∈K
Remarque 2. Si l’espace métrique X n’est pas équidistribué, le
théorème précédent n’est plus vrai:
1
Si X = [1, +∞[, l’application f définie par f (x) = x + est de graphe
x
fermé, vérifie inf d(x, f (x)) = 0 mais n’a pas de point fixe.
x∈X
Remarque 3. Les Théorèmes 1 et 2 permettent de ramener la démonstration de l’existence de point fixe pour une multiapplication Γ à l’existence
de point fixe pour des multiapplications associées définies sur des espaces de
dimensions finies ou à des recherches de sélection continue de la multiapplication.
Cependant, la recherche de points fixes des multiapplications de X
dans X ne se ramène pas à la recherche de points fixes d’applications (qui
pourraient être soit des sélections de la multiapplication soit des applications
associées de 2X dans 2X ).
1. Une multiapplication peut avoir des points fixes sans avoir de
sélection continue. Si Γ de IR dans IR est définie par:
Γ(x) = −1 si x < 0
Γ(0) = [−1, 1]
Γ(x) = +1 si x > 0
Γ est s.c.s., a trois points fixes mais pas de sélection continue.
A Γ multiapplication de X dans X, on peut associer l’application Γ̂
de 2X dans 2X de la façon suivante:
Γ̂(A) = ∪{Γ(a), a ∈ A}.
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4
2. Si Γ est une multiapplication de X dans X, Γ peut avoir des points
fixes sans que Γ̂ en ait. Soit X = IN muni de la distance usuelle de IR.
Considérons la suite (xn )n∈N définie par xn = n et la multiapplication Γ
définie par
Γ(xn ) = {0, 1, . . . , n + 1}
On vérifie aisément que Γ est non expansive et que Γ̂ n’a pas de point fixe.
3. Γ̂ n’est pas toujours non expansive lorsque Γ l’est. Des exemples
peuvent être trouvés dans [2].
Ces théorèmes ont pour corollaire les théorèmes connus ci-dessous:
Corollaire 1. (Th. de KAKUTANI [4]) Soit X un espace de Banach,
K un convexe compact de X. Toute multiapplication définie sur K à valeurs
convexes fermées de K et s.c.s. a au moins un point fixe.
La démonstration ressort immédiatement de la Remarque 1 et du
Théorème 3. Notons que, si on supprime dans l’énoncé ci-dessus l’hypothèse
que les valeurs de la multiapplication sont convexes, le résultat n’est plus
vrai, comme le montre un exemple de [9].
Corollaire 2. (BROWDER [1, Th.1]) Soit E un e.v.t. séparé et K un
convexe compact non vide de E. Soit Γ une multiapplication de K dans K à
valeurs convexes fermées non vides de E telle que,
(∗)
Γ−1 (y) est ouvert dans K, pour tout y ∈ K;
alors, Γ a un point fixe.
Démonstration. (Γ−1 (y))y∈K formentSun recouvrement ouvert de
K. Donc, il existe y1 , y2 , . . . , yn tels que K ⊂
Γ−1 (yi ).
i≤n
Soit C = co{y1 , y2 , . . . , yn } et, pour tout x ∈ K, ΓC (x) = Γ(x) ∩ C.
Pour tout x ∈ K, il existe i tel que x ∈ Γ−1 (yi ) c’est-à-dire yi ∈ Γ(x) donc
ΓC est une multiapplication à valeurs non vides, convexes compactes de
C qui est de dimension finie et convexe compact. ΓC est s.c.i., en raison
de l’hypothèse (∗) donc admet une sélection continue f . Par le théorème
de Brouwer relatif aux applications continues à valeurs dans un convexe
compact de dimension finie, f a au moins un point fixe. Donc, pour tout
recouvrement ouvert C de K, il existe Ω ∈ C tel que f (Ω) ∩ Ω 6= ∅. Et, pour
tout recouvrement ouvert C de X, il existe Ω ∈ C tel que Γ(Ω) ∩ Ω 6= ∅ et Γ
a un point fixe.
II. Différences entre les applications et les multiapplications
pour les ensembles de points fixes. Nous commençons ce paragraphe
par quelques propriétés des ensembles de points fixes.
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ENSEMBLE DES POINTS FIXES DES MULTIAPPLICATIONS
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Les propriétés des ensembles des points fixes des multiapplications
diffèrent sensiblement de celles des ensembles des points fixes des applications. Désignons par F (f ) l’ensemble des points fixes d’une application f et
par F (Γ) l’ensemble des points fixes d’une multiapplication.
• On sait que [6], si f est strictement non expansive, l’ensemble F (f ),
s’il est non vide, est réduit à un point. Ceci n’est plus vrai pour les
multiapplications [6]. Si (X, d) est un espace métrique ayant plus de 2
points, si D désigne la distance de Hausdorff associé à d, pour Γ définie
par: Γ(x) = X, ∀x ∈ X, on a, ∀x, ∀y 6= x, D(Γ(x), Γ(y)) = 0 < d(x, y)
Γ est strictement non expansive et tout point de X est point fixe de
Γ.
• Si X est un espace de Banach muni d’une norme strictement convexe
et f une application non expansive de X dans X, l’ensemble des points
fixes de f , F (f ), est convexe. Ceci n’est plus vrai pour une multiapplication [6]. Soit X = IR2 muni de la norme euclidienne et Γ définie par
Γ((x1 , x2 )) est l’enveloppe convexe de {(0, 0), (x1 , 0), (0, x2 )}.
Γ est non expansive, est à valeurs convexes compactes et F (Γ) =
= {0} × IR ∪ IR × {0} n’est pas convexe.
• On a cependant le résultat suivant [2]:
Si E est un e.v.t.l.c. et K un convexe compact de E, si Γ est une
multiapplication définie sur K et à valeurs convexes compactes de K,
s.c.s., alors F (Γ) est non vide et compact.
Concernant le lien entre la multiapplication Γ et son ensemble de points
fixes F (Γ), on a le théorème suivant:
Théorème 4. Soit X un espace métrique compact. Si X est l’ensemble des multiapplications de X dans X à valeurs compactes et s.c.s. muni
de la distance ∆
∆(Γ1 , Γ2 ) = sup D[Γ1 (x), Γ2 (x)],
x∈X
la multiapplication F de X dans X qui, à Γ, associe F (Γ) est s.c.s.
Démonstration. Soit U (, F (Γ0 )) = {x ∈ X : d(x, F (Γ0 )) < } et
δ = inf[d(x, Γ0 (x)), x 6∈ U (, F (Γ0 ))]. Montrons d’abord que δ>0. Si δ = 0, il
existe une suite (xn )n∈N de X \ U (, F (Γ0 )) telle que lim d(xn , Γ0 (xn )) = 0.
n→∞
Puisque X est compact, (xn )n∈N contient une sous-suite (xnp )p∈N convergente vers a. ∀n, xn 6∈ U (, F (Γ0 )) donc d(x, F (Γ0 )) ≥ et par suite
d(a, F (Γ0 )) ≥ .
(∗)
a n0 est pas un point fixe de Γ.
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C. GODET–THOBIE
6
Soit η>0 quelconque ∃P1 : ∀p≥P1 on ait d(xnp , a)< η3 . La suite (xn )n∈N est
telle que lim d(xn , Γ0 (xn )) = 0: ∃P2 : ∀p≥P2 on ait d(xnp , Γ0 (xnp )) < η3 Γ0
n→∞
est s.c.s. en a: ∃ v(a) voisinage de a tel que ∀x ∈ v(a), Γ0 (x) ⊂ U ( η3 , Γ0 (a))
et, par suite, ∃P3 : ∀p≥P3 xnp ∈ v(a) d’où, Γ0 (xnp ) ⊂ U ( η3 , Γ0 (a)). Soit P =
= sup(P1 , P2 , P3 ). ∀p≥P, ∀znp ∈ Γ0 (xnp ) ∃ynp ∈ Γ0 (a) : d(znp , ynp )< η3 · On a
donc, ∀p≥P , d(a, Γ0 (a))≤d(a, ynp )≤d(a, znp )+d(znp , ynp ) soit d(a, Γ0 (a))≤
≤ d(a, znp ) + η3 , ∀znp ∈ Γ0 (xnp ) et par suite, d(a, Γ0 (a))≤d(a, Γ0 (xnp )) + η3 ·
De l’inégalité d(a, Γ0 (xnp )) ≤ d(a, xnp ) + d(xnp , Γ0 (xnp )), il vient:
d(a, Γ0 (a)) ≤ η, ceci ∀η; a serait alors un point fixe, ce qui est incompatible
avec (∗) donc δ > 0.
Soit maintenant ∆(Γ, Γ0 )<δ. Si x est un point fixe de Γ, d(x, Γ0 (x))≤
≤ ∆(Γ, Γ0 )<δ donc, d(x, Γ0 (x)) < δ et par suite, x ∈ U (, F (Γ0 )) c’est-à-dire
F (Γ) ⊂ U (, F (Γ0 )) et F est s.c.s. en Γ0 .
III. Existence de points fixes et convergences. Le problème
considéré est le suivant:
Soit Γn : X → X, Γ : X → X tels que Γn −→ Γ dans un sens à
préciser et F (Γn ) 6= ∅ pour tout n. Est-ce que F (Γ) 6= ∅?
De même, si fn : X → X, f : X → X tels que fn −→ f dans un sens
à préciser et F (fn ) 6= ∅ pour tout n. Est-ce que F (f ) 6= ∅? Il est facile de
voir que la convergence uniforme ne suffit pas.
Exemple: Soit X = [1, +∞[ et les applications f et fn définies par:
f (x)
fn (x)
1
= x+
 x
1

x+


x
1
1
=
1 + + x(1 − )


n
n

x
si x ∈ [1, n[
si x ∈ [n, n + 1[
si x ∈ [n + 1, +∞[.
Il est évident que les fn sont continues, convergent uniformément vers f
continue, que les fn ont des points fixes et que f n’en a pas.
Une convergence plus forte que la convergence uniforme est nécessaire
pour assurer la conservation de l’existence de points fixes. On a cependant
cette conservation pour la convergence uniforme en prenant des hypothèses
supplémentaires sur l’espace X. On peut donner le théorème suivant:
Théorème 5. Si X est un espace métrique équidistribué et si Γn et
Γ sont des multiapplications de X dans X à valeurs fermées et de graphe
fermé; si Γn admet des points fixes,pour tout n ≥ p, et si ∆(Γn , Γ) → 0
quand n → ∞, alors Γ a un point fixe.
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ENSEMBLE DES POINTS FIXES DES MULTIAPPLICATIONS
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Démonstration. Pour tout recouvrement ouvert C de X, il existe
ρ > 0 tel que ∀ x ∈ X, ∃ Ω ∈ C tel que B(x, ρ) ⊂ Ω.
Soit N tel que pour tout n ≥ N, ∆(Γn , Γ) < ρ.
Soit xN un point fixe de ΓN et Ω ∈ C tel que B(xN , ρ) ⊂ Ω.
Etant donné xN , il existe x ∈ Γ(xN ) tel que:
d(xN , x) ≤ D(ΓN (xN ), Γ(xN )) + η < ρ
d’où x ∈ B(xN , ρ) ⊂ Ω et, puisque xN ∈ Ω et x ∈ Γ(xN ), x ∈ Γ(Ω) d’où
Ω ∩ Γ(Ω) 6= ∅ et, par le Théorème 1, Γ a un point fixe.
Ce théorème a pour corollaire immédiat le
Corollaire 3. Si X est un espace métrique compact et si Γn et Γ
sont des multiapplications de X dans X à valeurs compactes et s.c.s., si Γn
admet des points fixes, pour tout n ≥ p, et si ∆(Γn , Γ) → 0 quand n → ∞,
alors Γ a un point fixe.
Nous donnons maintenant la définition de la convergence dite forte des
applications.
Soient X et Y des espaces topologiques, (fα )α∈A et f des applications
de X dans Y . Soit C un recouvrement ouvert de Y .
Définition. fα converge vers f C-uniformément ⇐⇒ ∃α0 ∈ A :
∀α ≥ α0 , ∀x ∈ X, ∃Ω ∈C : {f (x), fα (x)} ⊂ Ω
fα converge fortement vers f ⇐⇒ ∀C recouvrement ouvert de X, fα
converge vers f C-uniformément.
Il est clair que, si (X, T ) est un espace topologique et (Y, U) un espace
uniforme, la convergence forte de fα vers f implique la convergence uniforme
de fα vers f . La réciproque est vraie si (X, T ) est compact.
Théorème 6. Soit (X, T ) un espace compact, (Y, U) un espace uniforme. Soit f : X → Y continue. Si fα : X → Y converge vers f uniformément, alors fα converge vers f fortement.
Démonstration. Soit C un recouvrement ouvert quelconque de Y
et x ∈ X. Soit Ox ∈ C : f (x) ∈ Ox Ox est un ouvert de Y donc il existe
Wx ∈ U: Wx ◦ Wx [f (x)] ⊂ Ox . Rappelons que
Wx ◦ Wx [f (x)] = {y ∈ Y : ∃ z ∈ Z : (f (x), z) ∈ Wx et (z, y) ∈ Wx }
= {y ∈ Y : z ∈ Wx [f (x)] et y ∈ Wx [z]}.
Puisque fα converge vers f uniformément, étant donné Wx ∈ U, ∃ αx :
∀α ≥ αx , ∀z ∈ X, fα (x) ∈ Wx [f (z)]. Si Vx est l’intérieur de f −1 (Wx [f (x)]),
on a, pour tout z de Vx , f (z) ∈ Wx [f (x)] d’où f (z) ∈ Wx ◦ Wx [f (x)] ⊂ Ox .
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8
Les (Vx )x∈X forment un recouvrement ouvert de X compact.
Soit (Vx1 ), (Vx2 ),..,(Vxn ) un recouvrement fini extrait de (Vx )x∈X .
∀α≥αxi pour i≤n, ∀z ∈ X, ∃i : z ∈ Vxi et ∃Oxi ∈ C tels que f (x) ∈ Oxi
et fα (x) ∈ Oxi donc fα converge vers f C-uniformément, pour tout recouvrement ouvert C de Y ce qui termine la démonstration.
Remarque 4. La convergence forte peut être strictement plus forte
que la convergence uniforme si X n’est pas compact.
Exemple: X = Y = IR munis de la topologie et de l’uniformité
usuelles, f (x) = x, fn (x) = x + n1 , fn → f uniformément, fn 6→ f fortement
car, fn 6→ f C-uniformément, pour le recouvrement C suivant.
C
1
= {] − ∞, 21 [, ]2n − 2, 2n − 1 − 2n
[,
1
1
]2n − 1 − n , 2n − 1 + n [, ]2n − 1 +
1
2n ,
2n +
1
2n [,
∀n ∈ N ∗ }
f (2n − 1) − fn (2n − 1) = n1 donc il n’existe pas d’ouvert O de C tel que
f (2n − 1) et fn (2n − 1) appartiennent à O.
Proposition 1. Soit X et Y deux espaces topologiques et des applications fα et f de X dans Y. On suppose que l’espace Y est T1 . Si fα converge
vers f fortement, alors fα converge vers f simplement.
Démonstration. Soit x ∈ X et V un voisinage ouvert de f (x).
Considérons le recouvrement C = {V, U = Y \ {f (x)}}, fα converge vers f
C-uniformément donc, puisque f (x) 6∈ U , ∃α0 ∈ A : ∀α ≥ α0 , fα (x) ∈ V .
Remarque 5. Si Y n’est pas T1 , ce n’est plus vrai.
Si X = IR, Y = {a, b} muni de la famille d’ouverts D = P (Y ) \ {b},
f (x) = b si x 6= 0 et f (0) = a et fn (x) = b, ∀n ∈ IN et ∀x ∈ IR. Quel
que soit le recouvrement ouvert C de Y , O = {a, b} ∈ C, fn converge vers f
C-uniformément puisque {f (n (x), f (x)} ⊂ O et fn (0) 6→ f (0).
Théorème 7. Soit X et Y deux espaces topologiques et des applications fα et f de X dans Y. On suppose que l’espace Y est régulier et que les
applications fα sont continues. Si fα converge vers f fortement, alors f est
continue.
Démonstration. Soit z ∈ X et V un voisinage ouvert de f (z).
Puisque Y est régulier, il existe des ouverts disjoints U et W tels que
f (z) ∈ U ⊂ W c ⊂ V . Soit C = {U, V, W }. C est un recouvrement ouvert de
Y . fα converge vers f fortement, donc simplement:
∃α1 : ∀α ≥ α1 , fα (z) ∈ U
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ENSEMBLE DES POINTS FIXES DES MULTIAPPLICATIONS
549
et aussi fα converge vers f C-uniformément donc
∃α2 : ∀α ≥ α2 , ∀x ∈ X, ∃O ∈ C : {f (x), fα (x)} ⊂ O
Soit α∗ ≥ αi , i = 1, 2 , ∀α ≥ α∗ fα (z) ∈ U et {f (x), fα (x)} ⊂ O.
Puisque fα∗ est continue en z, il existe un voisinage W (z) tel que, ∀x ∈ W ,
fα∗ (x) ∈ U donc fα∗ (x) 6∈ W et par suite O est U ou W , pour tout x de W .
On a donc ∀α ≥ α0 , fα (x) ∈ V c’est-à-dire f est continue en z.
Le théorème étend le résultat connu suivant:
Corollaire 4. Soit X un espace métrique compact, (fα )α∈A et f des
applications de X dans X. On suppose que (fα ) converge uniformément
vers f et que (fα ) ont des points fixes. Alors f a un point fixe.
Pour les multiapplications, on pose la définition suivante cohérente
avec celle des applications:
Définition 3. Γα converge fortement vers Γ ⇐⇒ ∀C recouvrement
ouvert de X, ∃α0 ∈ A : ∀α ≥ α0 , ∀x ∈ X, y ∈ Γα (x), ∃Ω ∈C : y ∈ Ω et
Γ(x) ∩ Ω 6= ∅.
On peut alors donner le théorème suivant qui généralise les résultats
de [7]:
Théorème 8. Soit X un espace T1 , Γ et Γα des multiapplications de
X dans X telles que Γα converge fortement vers Γ. On suppose Γ de graphe
fermé et qu’il existe α0 ∈ A : ∀α ≥ α0 , Γα a des points fixes. Alors Γ a un
point fixe.
Démonstration. Soit C un recouvrement ouvert de X. Soit α1 ∈ A :
∀α ≥ α1 , ∀x ∈ X, y ∈ Γα (x), ∃Ω ∈C : y ∈ Ω et Γ(x) ∩ Ω 6= ∅. Γα1 a un
point fixe x1 . x1 ∈ Γα1 (x1 ). Soit Ω ∈ C tel que x1 ∈ Ω et Γ(x1 ) ∩ Ω 6= ∅.
Alors Ω ∩ Γ(Ω) 6= ∅ et, par le Théorème 1, Γ a un point fixe.
On a alors le corollaire suivant qui généralise le Corollaire 4.
Corollaire 5. Soit X un espace topologique T1 , des applications f
et fα de X dans X telles que f soit de graphe fermé et fα converge vers f
fortement. Alors, si, pour tout α, fα a des points fixes, f a un point fixe.
On peut donner, pour l’ensemble des points fixes F (f ) ou F (Γ) des
applications f et des multiapplications Γ, la propriété de semi-continuité
suivante:
Théorème 9. Soit X un espace topologique T1 , des applications f et
fα de X dans X de graphes fermés telles que fα converge vers f fortement.
∀ Ω ouvert ⊃ F (f ), il existe α0 ∈ A : ∀α ≥ α0 , F (fα ) ⊂ Ω.
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C. GODET–THOBIE
10
Démonstration. Soit Ω ouvert ⊃ F (f ). Supposons que pour tout
α0 ∈ A : ∃α ≥ α0 , F (fα ) ∩ Ωc 6= ∅. U = X × X \ G(f ) ∩ Ωc × X est un
ouvert de X×X contenant la diagonale; pour tout x de X, il existe donc
un ouvert Ox tel que Ox × Ox ⊂ U . Soit C = {Ox , x ∈ X}. Puisque fα
converge vers f fortement, il existe α0 ∈ A : ∀α ≥ α0 , ∀x ∈ X, ∃ O ∈ C :
{f (x), fα (x)} ⊂ O.
Soit α1 ≥ α0 tel que xα1 point fixe de fα1 n’appartienne pas à Ω
Soit O1 ∈ C tel que {f (x1 ), x1 } ⊂ O1 . On a alors O1 × O1 ⊂ U et, donc
G(f ) ∩ Ωc × X ∩ U 6= ∅; ce qui est impossible par définition de U . Donc il
existe α0 ∈ A : ∀α ≥ α0 , F (fα ) ⊂ Ω.
La démonstration de l’énoncé suivant pour les multiapplications est
analogue:
Théorème 10. Soit X un espace topologique T1 et Γ une multiapplication de X dans X de graphe fermé. Soit (Γα )α∈A des multiapplications de
graphes fermés de X dans X qui converge fortement vers Γ. Alors, pour tout
Ω ouvert ⊃ F (Γ), il existe α0 ∈ A : ∀α ≥ α0 , F (Γα ) ⊂ Ω.
BIBLIOGRAPHIE
1. BROWDER, F. – The fixed point theory of multivalued mappings in topological vector
spaces, Math. Annalen 177 (1968), p.283-301.
2. FRASER, F. and NADLER, S. – Sequences of contractives maps and fixed points,
Pacific J. Math. 31(1969), p.659-667.
3. GODET–THOBIE, C. and KUPKA, Y. – Fixed points and strong convergence,
Preprint.
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Département de Mathématiques
UFR Sciences et Techniques
Université de Bretagne Occidentale
Brest
FRANCE