A PROPOS DE L`ENSEMBLE DES POINTS FIXES

ANALELE S¸TIINT¸ IFICE ALE UNIVERSIT ˘ AT¸ II ”AL.I.CUZA” IAS¸I
Tomul XLIV, s.I.a, Matematic˘a, 1998, Supliment.
A PROPOS DE L’ENSEMBLE
DES POINTS FIXES DES MULTIAPPLICATIONS*
PAR
C. GODET–THOBIE
Introduction. Dans une premi`ere partie, nous ´etablissons un th´eo-
r`eme de point fixe pour des multiapplications d´efinies sur un espace topo-
logique. Dans une deuxi`eme partie, nous donnons quelques propri´et´es de
l’ensemble des points fixes. Dans la partie III nous ´etudions une notion
de convergence dite forte et nous montrons que cette convergence conserve
l’existence de points fixes. Ce travail a ´et´e r´ealis´e en partie en collaboration
avec I. KUPKA de l’Universit´e Comenius de Bratislava lors de son s´ejour `a
Brest en 1994.
D´efinitions et notations. S’il n’y a pas d’autre pr´ecision, Xd´esigne
un espace topologique, Cun recouvrement de Xpar des ouverts de X,f
une application d´efinie sur Xet Γ une multiapplication d´efinie sur Xqui,
`a tout xde X, associe Γ(x) une partie ferm´ee non vide de X. Γ sera dite
”multiapplication de Xdans X”.
I. Th´eor`emes de points fixes.
Th´eor`eme 1. Soit Xun espace topologique et Γune multiapplication
de Xdans Xde graphe ferm´e. Γa un point fixe si et seulement si, pour
tout recouvrement ouvert Cde X, il existe Ω∈ C tel que Γ(Ω) ∩Ω6=∅.
D´emonstration. Si aest un point fixe de Γ, a∈Γ(a) et si Ω est un
ouvert du recouvrement Cde Xqui contient a, Γ(Ω) ∩Ω6=∅.
Supposons maintenant que Γ n’a pas de point fixe. Si ∆ est la diago-
nale de Xet G(Γ) le graphe de Γ, G(Γ) ∩∆ = ∅. Puisque Γ est de graphe
*Conf´erence donn´ee au Colloque “Analyse Math´ematique et Applica-
tions” de l’Universit´e Al. I. Cuza de Ia¸si le 24 octobre 1997

542 C. GODET–THOBIE 2
ferm´e, X×X\G(Γ) est un ouvert contenant ∆. Donc, pour tout xde X,
il existe un ouvert de X, soit Ox, tel que (x, x)∈Ox×Ox⊂X×X\G(Γ).
(Ox)x∈Xest donc un recouvrement ouvert de Xtel que, ∀x∈X,
Ox∩Γ(Ox) = ∅. Donc, il existe un recouvrement ouvert Ctel que ∀Ω∈ C,
Γ(Ω) ∩Ω = ∅.
On peut donner de ce th´eor`eme la variante suivante:
Th´eor`eme 2. Soit Xun espace topologique et Γune multiapplication
de Xdans Xde graphe ferm´e. Γa un point fixe si et seulement si, pour
tout recouvrement ouvert Cde X, il existe un recouvrement C0plus fin pour
lequel il existe Ω0∈ C0tel que Γ(Ω0)∩Ω06=∅.
D´emonstration. Si (1) est la propri´et´e: “pour tout recouvrement
ouvert Cde X, il existe Ω ∈ C tel que Γ(Ω) ∩Ω6=∅” et (2) : “pour tout
recouvrement ouvert Cde X, il existe un recouvrement C0plus fin pour
lequel il existe Ω0∈ C0tel que Γ(Ω0)∩Ω06=∅,” il est clair que (1) =⇒(2).
Montrons que (2) =⇒(1). Si C0est plus fin que Cet si Ω0∈ C0est tel
que Γ(Ω0)∩Ω06=∅, il existe Ω ∈ C tel que Ω0⊂Ω. Γ(Ω) ∩Ω est donc 6=∅
car Γ(Ω0)∩Ω0⊂Γ(Ω) ∩Ω.
On peut d´eduire du Th´eor`eme 1 le th´eor`eme suivant:
Th´eor`eme 3. Soit (X, d)un espace m´etrique ´equidistribu´e et Γune
multiapplication de Xdans Xde graphe ferm´e.
Γa un point fixe si et seulement si inf
x∈Xd(x, Γ(x)) = 0.
D´emonstration. Il est clair que si Γ a un point fixe, inf
x∈Xd(x,Γ(x))=0.
Soit Γ de graphe ferm´e et telle que inf
x∈Xd(x, Γ(x)) = 0 et Cun recouvrement
ouvert de X. Puisque Xest ´equidistribu´e, il existe r > 0 tel que, pour tout
xde X, la boule ouverte de centre xet de rayon rest contenue dans au
moins un ouvert Ω de C. Soit xv´erifiant d(x, Γ(x)) < r et y ∈Γ(x) tel que
d(x, y)< r. Alors, il existe Ω ∈ C tel que {x, y} ⊂ Ω et donc Ω ∩Γ(Ω) 6=∅.
Rappelons la d´efinition des espaces uniformes ´equidistribu´es.
D´efinition. L’espace uniforme (X, U) est dit “´equidistribu´e” ⇐⇒
Tout recouvrement ouvert Cde Xest “uniforme” selon la terminologie de
KELLEY [5, p.199], c’est-`a-dire ∃U∈ U :∀x∈X, ∃Ω∈ C :U(x)⊂Ω.
Pour un espace m´etrique, cette propri´et´e devient: L’espace m´etrique
(X, d) est dit “´equidistribu´e” ⇐⇒ Pour tout recouvrement ouvert Cde X,
∃ > 0 : ∀x∈X, ∃Ω∈ C :B(x, )⊂Ω
Tout espace m´etrique compact est un espace uniforme ´equidistribu´e
(c’est la propri´et´e de recouvrement de Lebesgue). Tout espace uniforme tel
que l’espace topologique associ´e soit paracompact est ´equidistribu´e.

3 ENSEMBLE DES POINTS FIXES DES MULTIAPPLICATIONS 543
Remarque 1. Si Kest un convexe ferm´e born´e non vide d’un espace
de Banach et Γ une multiapplication non expansive de Kdans K, si, pour
tout xde K, Γ(x) est ferm´ee, alors Γ est de graphe ferm´e et
inf
x∈Kd(x, Γ(x))=0.
D´emonstration. Soit x0∈Ket K0=K−x0. Alors, 0 ∈K0. On
d´efinit, pour tout k∈[0,1[, Γkpar: Γk(x−x0) = k[Γ(x)−x0]. Si Γ est
non expansive, Γkest contractive. Par le th´eor`eme de [2], Γka au moins
un point fixe xktel que xk−x0∈k[Γ(x)−x0]. Donc il existe yk∈Γ(xk) tel
que xk−x0=k(yk−x0) et d(xk,Γ(xk)) ≤k xk−ykk≤ (1 −k)kyk−x0k,
d’o`u inf
x∈Kd(x, Γ(x)) ≤inf
0≤k<1d(xk,Γ(xk)) ≤inf 0≤k<1(1 −k)kyk−x0k.
kyk−x0kest born´e car Kl’est d’o`u inf
x∈Kd(x, Γ(x)) = 0.
Remarque 2. Si l’espace m´etrique Xn’est pas ´equidistribu´e, le
th´eor`eme pr´ec´edent n’est plus vrai:
Si X= [1,+∞[, l’application f d´efinie par f(x) = x+1
xest de graphe
ferm´e, v´erifie inf
x∈Xd(x, f(x)) = 0 mais n’a pas de point fixe.
Remarque 3. Les Th´eor`emes 1 et 2 permettent de ramener la d´emon-
stration de l’existence de point fixe pour une multiapplication Γ `a l’existence
de point fixe pour des multiapplications associ´ees d´efinies sur des espaces de
dimensions finies ou `a des recherches de s´election continue de la multiappli-
cation.
Cependant, la recherche de points fixes des multiapplications de X
dans Xne se ram`ene pas `a la recherche de points fixes d’applications (qui
pourraient ˆetre soit des s´elections de la multiapplication soit des applications
associ´ees de 2Xdans 2X).
1. Une multiapplication peut avoir des points fixes sans avoir de
s´election continue. Si Γ de IR dans IR est d´efinie par:
Γ(x) = −1 si x < 0
Γ(0) = [−1,1]
Γ(x) = +1 si x > 0
Γ est s.c.s., a trois points fixes mais pas de s´election continue.
A Γ multiapplication de Xdans X, on peut associer l’application ˆ Γ
de 2Xdans 2Xde la fa¸con suivante:
ˆ
Γ(A) = ∪{Γ(a), a ∈A}.

544 C. GODET–THOBIE 4
2. Si Γest une multiapplication de Xdans X,Γpeut avoir des points
fixes sans que ˆ Γen ait. Soit X= IN muni de la distance usuelle de IR.
Consid´erons la suite (xn)n∈Nd´efinie par xn=net la multiapplication Γ
d´efinie par
Γ(xn) = {0,1, . . . , n + 1}
On v´erifie ais´ement que Γ est non expansive et que ˆ Γ n’a pas de point fixe.
3. ˆ Γn’est pas toujours non expansive lorsque Γl’est. Des exemples
peuvent ˆetre trouv´es dans [2].
Ces th´eor`emes ont pour corollaire les th´eor`emes connus ci-dessous:
Corollaire 1. (Th. de KAKUTANI [4]) Soit Xun espace de Banach,
Kun convexe compact de X. Toute multiapplication d´efinie sur K`a valeurs
convexes ferm´ees de Ket s.c.s. a au moins un point fixe.
La d´emonstration ressort imm´ediatement de la Remarque 1 et du
Th´eor`eme 3. Notons que, si on supprime dans l’´enonc´e ci-dessus l’hypoth`ese
que les valeurs de la multiapplication sont convexes, le r´esultat n’est plus
vrai, comme le montre un exemple de [9].
Corollaire 2. (BROWDER [1, Th.1]) Soit E un e.v.t. s´epar´e et K un
convexe compact non vide de E. Soit Γune multiapplication de K dans K `a
valeurs convexes ferm´ees non vides de E telle que,
(∗) Γ−1(y)est ouvert dans K, pour tout y∈K;
alors, Γa un point fixe.
D´emonstration. (Γ−1(y))y∈Kforment un recouvrement ouvert de
K. Donc, il existe y1, y2, . . . , yntels que K⊂S
i≤n
Γ−1(yi).
Soit C=co{y1, y2, . . . , yn}et, pour tout x∈K, ΓC(x) = Γ(x)∩C.
Pour tout x∈K, il existe itel que x∈Γ−1(yi) c’est-`a-dire yi∈Γ(x) donc
ΓCest une multiapplication `a valeurs non vides, convexes compactes de
C qui est de dimension finie et convexe compact. ΓCest s.c.i., en raison
de l’hypoth`ese (∗) donc admet une s´election continue f. Par le th´eor`eme
de Brouwer relatif aux applications continues `a valeurs dans un convexe
compact de dimension finie, fa au moins un point fixe. Donc, pour tout
recouvrement ouvert Cde K, il existe Ω ∈ C tel que f(Ω) ∩Ω6=∅. Et, pour
tout recouvrement ouvert Cde X, il existe Ω ∈ C tel que Γ(Ω) ∩Ω6=∅et Γ
a un point fixe.
II. Diff´erences entre les applications et les multiapplications
pour les ensembles de points fixes. Nous commen¸cons ce paragraphe
par quelques propri´et´es des ensembles de points fixes.

5 ENSEMBLE DES POINTS FIXES DES MULTIAPPLICATIONS 545
Les propri´et´es des ensembles des points fixes des multiapplications
diff`erent sensiblement de celles des ensembles des points fixes des applica-
tions. D´esignons par F(f) l’ensemble des points fixes d’une application fet
par F(Γ) l’ensemble des points fixes d’une multiapplication.
•On sait que [6], si fest strictement non expansive, l’ensemble F(f),
s’il est non vide, est r´eduit `a un point. Ceci n’est plus vrai pour les
multiapplications [6]. Si (X, d) est un espace m´etrique ayant plus de 2
points, si Dd´esigne la distance de Hausdorff associ´e `a d, pour Γ d´efinie
par: Γ(x) = X,∀x∈X, on a, ∀x, ∀y6=x,D(Γ(x),Γ(y)) = 0 < d(x, y)
Γ est strictement non expansive et tout point de Xest point fixe de
Γ.
•Si Xest un espace de Banach muni d’une norme strictement convexe
et fune application non expansive de Xdans X, l’ensemble des points
fixes de f,F(f),est convexe. Ceci n’est plus vrai pour une multiappli-
cation [6]. Soit X= IR2muni de la norme euclidienne et Γ d´efinie par
Γ((x1, x2)) est l’enveloppe convexe de {(0,0),(x1,0),(0, x2)}.
Γ est non expansive, est `a valeurs convexes compactes et F(Γ) =
={0} × IR ∪IR × {0}n’est pas convexe.
•On a cependant le r´esultat suivant [2]:
Si Eest un e.v.t.l.c. et Kun convexe compact de E, si Γ est une
multiapplication d´efinie sur Ket `a valeurs convexes compactes de K,
s.c.s., alors F(Γ) est non vide et compact.
Concernant le lien entre la multiapplication Γ et son ensemble de points
fixes F(Γ), on a le th´eor`eme suivant:
Th´eor`eme 4. Soit Xun espace m´etrique compact. Si Xest l’en-
semble des multiapplications de X dans X `a valeurs compactes et s.c.s. muni
de la distance ∆
∆(Γ1,Γ2) = sup
x∈X
D[Γ1(x),Γ2(x)],
la multiapplication F de Xdans X qui, `a Γ, associe F(Γ) est s.c.s.
D´emonstration. Soit U(, F (Γ0)) = {x∈X:d(x, F (Γ0)) < }et
δ= inf[d(x, Γ0(x)), x 6∈ U(, F (Γ0))].Montrons d’abord que δ>0. Si δ=0, il
existe une suite (xn)n∈Nde X\U(, F (Γ0)) telle que lim
n→∞d(xn,Γ0(xn))=0.
Puisque Xest compact, (xn)n∈Ncontient une sous-suite (xnp)p∈Ncon-
vergente vers a.∀n, xn6∈ U(, F (Γ0)) donc d(x, F (Γ0)) ≥et par suite
d(a, F (Γ0)) ≥.
(∗)an0est pas un point fixe de Γ.