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La Couche limite
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus 24
LA COUCHE LIMITE
Exercice 1 :
Une plaque plane de 3 cm de longueur, et de 30 cm de long est remorquée parallèlement à
elle-même dans le sens de sa longueur dans l’eau à la vitesse de 6 m/s.
Déterminer la force de frottement s’exerçant sur l’une des faces de la plaque, et la force
s’exerçant sur les trois premiers mètres de la plaque ?
On donne ./10 26 sm
−
=
ν
Solution :
Nous avons :
ν
LU
L.
=ℜ =6
1030.6
−= 1,8.108
Le coefficient de frottement moyen est :
Pour 7
10>ℜ on admet que pour une plaque plane lisse parallèle à U de longueur L :
Cx = 0,455. 58,2
10 )(log −
ℜL
⇒Cx = 3 10.965,1
8,231
455,0 −
=
Et nous avons l’air d’une face de la plaque : S = 3.30 = 90 m2.
La force s’exerçant sur une face :
F = Cx.2
.. 2
U
S
ρ = 1,965.10-3.90.1000.36/2 = 3183 N.
Si le nombre critique de transition correspond à 5
10.5=ℜ
La position de la ligne de transition est située à la distance x du bord d’attaque :
5
10.5 =
ν
xU.= 6
10
.6 x ⇒ x = 0,083 m.
En négligeant l’influence du frottement dans la couche limite laminaire (x = 0,083 m)
Cx sur les 3 m de la plaque : Cx = 0,455. 58,2
10 )(log −
ℜL
Avec
ν
LU
L.
=ℜ =6
1030.6
−= 1,8.108
⇒ Cx = 2,74.10-3.
La force de frottement sur S’ :
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S’ = 3.3 = 9 m2
Fx = Cx.2
.. 2
U
S
ρ = 2,74.10-3.9.1000.36/2 = 444 N.
Exercice 2 :
Dans l’écoulement laminaire d’un fluide sur une plaque mince et plate, on admet que la
distribution des vitesses dans la couche limite répond à l’équation :
).
2
(
δ
π
y
Sin
U
u=
Avec :
U : vitesse du fluide libre (écoulement)
u : vitesse à la distance y de la paroi
δ
: épaisseur de la couche limite.
1- calculer latéralement : xlocalFfxlxxx etCCH
τ
δ
θ
δ
,,,,,, ?
2- on donne :
U = 15 m/s
L = 4.10-2 m.
ν
= 10-6 m2 /s
ρ
= 1,2 kg/m3.
)..(
2
1
2CosxSinxxxdxSin −=
∫
Solution :
1-
a- 0=
=y
dy
du
µτ =
π
π
µ
δ
π
δ
π
µ
2
..).
2
(.
2
.. 0U
y
CosU y=
=
∫−=
δ
δ
0
*).1( dy
U
u= dy y
Sin .).
2
(1
0
∫⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
δ
δ
π
=
δ
δ
π
π
δ
δ
0
).
2
(.
2y
Cos+
⇒=
*
δπ
δ
δ
π
π
δ
δ
2
)0
2
.(
2−=−+ CosCos = 0,363.
δ
b-
θ
= ∫−
δ
0
).1( dy
U
u
U
u= ∫−
δ
δ
π
δ
π
0
)]..
2
(1[)..
2
(dy
y
Sin
y
Sin = ∫
δ
δ
π
0
)..
2
(dy
y
Sin -∫
δ
δ
π
0
2)..
2
(dy
y
Sin
On a aussi : )..(
2
1
2CosxSinxxxdxSin −=
∫
⇒)..(
2
1
2CosuSinuuuduSin −=
∫
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⇒
θ
= -
δ
δ
π
δ
π
δ
π
π
δπ
π
δ
0
).
2
..
2
.
2
.(
2
1
.
2
0
2
.
2⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−y
Cos
y
Sin
y
CosCos =
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−−−− )00()0
2
(.
2
π
π
δ
π
δ
= δ
π
δ
δ
π
δ
.137,0)
2
12
.(
2
2=−=−
⇒
θ
=
δ
.137,0
c- local
τ
= =
dx
d
U
θ
ρ .. 2=
dx
d
U
δ
ρ .137,0.. 2
µ
.U.
δ
π
.2
⇒local
τ
= 137,0
..2
π
ν
δ
δ
Udx
d= ⇒ Udx d
νδ
.931,22
)( 2=
⇒ Ux.
.931,22
2
ν
δ = , multipliant le deuxième terme de cette équation par x/x, nous obtenons :
⇒2
2
2.
931,22
.
.
.931,22 x
xUx
x
ℜ
==
ν
δ
⇒ 789,4.
x
x
ℜ
=
δ
⇒
θ
= =
ℜ789,4..137,0
x
x
x
x
ℜ
.656,0
Et *
δ devient : =
*
δ
x
x
ℜ
.738,1
d- H = 649,2
*=
θ
δ
e- Cf =
x
dx
d
ℜ
=656,0 .2
θ
f- CF =
L
Lℜ
=312,1.2
θ
Et local
τ
devient :
local
τ
= xU
U
Ux/...328,0
2... .2
.. ℜ== ν
δ
π
ν
ρ
δ
π
µ
2- application numérique :
5
10.6=ℜL ; mm
L247,0=
δ
; mm
L0897,0
*=
δ
mm
L0338,0=
θ
; CF = 1,694.10-3 ; Cf = 8,468.10-4.
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Exercice 3 :
Un filtre à nid d’abeilles, placé en avant du collecteur d’une soufflerie, est constitué de
mailles carrées dont le coté est de 3 m, la profondeur des lamelles dans le sens de la vitesse
est de 4 cm. On suppose que chaque lamelle se comporte comme une plaque plane à la vitesse
U = 15 m/s.
Les caractéristiques de l’air sont :
ρ
= 1,2 kg/m3 et
ν
= 15.10-2 St.
a- montrer que la couche limite n’est pas en régime totalement turbulent ( eL
ℜ< 5.105) ?
b- calculer l’épaisseur
δ
de la couche limite ?
c- en déduire les valeurs de l
δ
,
θ
, Cf, CF, local
τ
?
d- calculer la somme des forces de frottement sur les quatre faces d’une maille ?
e- quelle est la chute de pression, à la traversée du filtre, pour une maille ?
f- en déduire le coefficient de perte de charge singulière
ξ
pour ce filtre ?
Solution :
a- 54
6
210.510.4
10.15 10.4.15. >===ℜ −
−
ν
LU
eL
b- mm
L
eL
928,0
10.2 10.4.646,4.646,4 2
2==
ℜ
=
−
δ
c- mm348,0.375,0
1==
δ
δ
mm129,0.139,0 ==
δ
θ
Cf = 3
210.23,3
10.2 646,0646,0 −
==
ℜeL
CF = f
eL
C.210.46,6
292,1 3==
ℜ
−
local
τ
= 436,0
10.928,0.2 2,1.15.10.15.3
.2 .3 3
6== − −
δ
µ
UPa
d- si la surface de frottement à la paroi est S :
Fv = 34232 10.046,110.12.15.2,1.10.46,6
2
1
....
2
1
.−−− === SUCS Fp ρτ N
⇒ 4. Fv = 4.1,046.10-3 = 4,186.10-3 N
e- si A est la section de passage : A = 32.10-4.
∆P = 65,4
10.3 10.186,4
.4
42
3== − −
A
FVPa
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f- hp = g
P
g
U
ρ
ξ
∆
=
2
.2
⇒ 034,0
15.2,1 65,4.2 .
.2 22 ==
∆
=UP
ρ
ξ
Exercice 4 :
Dans un écoulement laminaire d’un fluide sur une plaque mince et plate, on admet que le
profil des vitesses dans la couche limite répond à l’équation :
3
.
2
1
.
2
3⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
δδ
yy
U
u
Avec :
U : vitesse d’écoulement libre.
u : vitesse à la distance y de la paroi.
δ
: épaisseur de la couche limite.
a- pour un calcul latéral appliqué à une unité de largeur, montrer que l’épaisseur de la couche
limite à la sortie de la plaque est donnée par :
δ
=
2/1
.646,4 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ℜeI
L
Sachant que :
P
τ
= local
τ
=
0
.
=y
dy
du
µ
et où L : est la largeur de la plaque.
b- en déduire les épaisseurs de quantité de mouvement
θ
, de déplacement * δ , les coefficients
de frottement local Cf et moyen CF ainsi que le facteur de forme H ?
Solution :
a- on a local
τ
=
0
.
=y
dy
du
µ
avec : 3 .
2
1
.
2
3⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
δδ
yy
U
u
⇒local
τ
=
δ
µ
δδδ
UyU
u
U
u..
2
3
...
2
3
)(.
2
33
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
D’autre part : local
τ
= dx
d
U
θ
ρ .. 2
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