Notations Dans tout le probl`eme, n désigne un nombre entier

Notations
Dans tout le problème, n désigne un nombre entier, supérieur ou égal à 2 sauf mention explicite du contraire,
et [[1, n]] l’ensemble des nombres entiers compris entre 1 et n.
Lorsque le R-espace vectoriel Rn est muni de son produit scalaire usuel, qui en fait un espace euclidien de
dimension n et pour lequel la base canonique Bn = (e1 , . . . , en ) est orthonormale, on le notera plutôt En .
Dans la R-algèbre L(Rn ) des endomorphismes de Rn , l’élément-unité sera noté in (identité dans Rn ) et
la composition sera écrite multiplicativement. Si f et g sont deux éléments de L(Rn ), f 2 désignera donc
l’application composée f ◦ f et f g l’application composée f ◦ g. On dira que f et g commutent si f g = gf .
On notera Mn la R-algèbre des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, 0n son élément nul et In
son élément-unité. Les coefficients d’une matrice M de Mn seront notés M [1, 1], M [1, 2], . . ., M [n, n], où
M [i, j] désigne, pour tout couple (i, j) d’éléments de [[1, n]], le coefficient situé dans la i-ème ligne et la j-ème
colonne de M . On dira que deux éléments M et N de Mn commutent si M N = N M .
On appellera polynôme caractéristique de la matrice M le polynôme unitaire χM de C[X] défini par :
∀z ∈ C, χM (z) = det (zIn − M ).
On appellera valeurs propres complexes de M les racines de χM dans C, et valeurs propres réelles de M ses
racines dans R, s’il en a.
L’objet du problème est l’étude du spectre et la réduction des endomophismes antisymétriques de l’espace
euclidien En , illustrée par l’exemple de l’endomorphisme an de Rn dont la matrice dans la base canonique
est


0 −1 0
. ...
.
.
0
+1 0 −1 . . . .
.
.
0



 0 +1 0 −1


 ..
.
..
..
..
.. 

 .
.
.
.
,
An = 





 ..
..
..
..
..

 .
.
.
.
.


0
0
+1 0 −1
0
0
. . . 0 +1 0
définie par :

 −1 si j = i + 1
+1 si i = j + 1
∀(i, j) ∈ [[1, n]]2 , An [i, j] =

0
sinon
Des quatre parties du problème, seules les parties 2 et 3 sont étroitement liées. La première partie est
consacrée à l’endomorphisme a3 , la deuxième à des propriétés générales et à une décomposition des endomorphismes antisymétriques d’un espace euclidien, la troisième à la détermination de la dimension du
commutant d’un endomorphisme antisymétrique. Dans la dernière partie, on revient à l’exemple des endomorphismes an pour décrire la distribution asymptotique de leurs valeurs propres.
Partie 1 : cas où n = 3


0 −1 0
L’objet de cette partie est l’étude des propriétés de la matrice A3 = +1 0 −1 et de l’endomorphisme
0 +1 0
a3 de R3 qui lui est canoniquement associé.
1)
a) Calculer la matrice A23 .
b) Démontrer que l’endomorphisme a23 est diagonalisable.
2)
a) Calculer le polynôme caractéristique de A3 .
b) L’endomorphisme a3 est-il trigonalisable ?
3)
a) Déterminer une base du noyau Ker a3 et de l’image Im a3 le l’endomorphisme a3 .
b) Démontrer que, si un plan H de R3 d’équation αx + βy + γz = 0 est stable par a3 , alors (α, β, γ)
est nécessairement un vecteur propre de la transposée tA3 de la matrice A3 .
c) En déduire que Im a3 est le seul sous-espace vectoriel de R3 de dimension 2, stable par a3 .
2
d) Im a3 est-il le seul sous-espace vectoriel de dimension 2 de R3 stable par a23 ?
4) Démontrer qu’il existe une base orthonormale
de E3 dans 
laquelle la matrice de a3 est :

0
0
0
√
2.
0
−
A03 = 0
√
0 + 2
0
5)
a) Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice (A3 )k .
b) En déduire exp (A03 ).
c) Montrer que exp (a3 ) est une rotation de l’espace euclidien E3 , dont on précisera l’axe et l’angle,
après avoir choisi une orientation de l’espace euclidien E3 et une orientation de l’axe de la rotation.
Partie 2 : décomposition d’un endomorphisme antisymétrique
Dans cette partie, E désigne un espace euclidien de dimension n, dont le produit scalaire (forme bilinéaire
symétrique définie positive) est noté :
h , i: E×E → R
(x, y) 7→ hx, yi
1) Montrer que, pour tout endomorphisme f de E, les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ∀(x, y) ∈ E 2 , hf (x), yi = − hx, f (y)i
(ii) ∀x ∈ E,
hf (x), xi = 0.
Un endomorphisme f de E qui vérifie ces deux propriétés est dit antisymétrique. On notera A(E)
l’ensemble des endomorphismes antisymétriques de l’espace euclidien E, dont on admettra que c’est
un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel L(E) des endomorphismes de E.
2) Montrer que, si un sous-espace vectoriel F de E est stable par un endomorphisme antisymétrique de
E, son orthogonal F ⊥ l’est aussi.
3) Soit a ∈ A(E).
a) Montrer que Ker(a) et Im(a) sont supplémentaires et orthogonaux.
b) Montrer que l’endomorphisme de Im(a) induit par a est bijectif.
c) En déduire que a peut être écrit sous la forme b ◦ p, où p est un projecteur orthogonal et b un
automorphisme antisymétrique de Im(p) (pour le produit scalaire induit par celui de E). Cette
décomposition est-elle unique ?
4)
a) Soit B une base orthonormale de E et A la matrice dans la base B d’un endomorphisme a de E.
Démontrer que a appartient à A(E) si et seulement si la matrice A est antisymétrique.
b) Montrer, en utilisant son déterminant, qu’une matrice antisymétrique inversible ne peut être que
d’ordre pair.
c) Démontrer que, pour tout endomorphisme antisymétrique a de E, il existe une base orthonormale
de E dans laquelle la matrice de a est,par blocs, de la forme
01,1 01,2
A=
,
02,1 B
où B est une matrice antisymétrique inversible de format 2k × 2k (avec k nombre entier natun
rel inférieur ou égal à ), et où 01,1 , 01,2 , 02,1 sont les matrices nulles de formats respectifs
2
(n − 2k) × (n − 2k), (n − 2k) × 2k et 2k × (n − 2k).
5) Montrer que, pour tout endomorphisme antisymétrique a d’un espace euclidien de dimension 3, il
existe une base orthonormale de cet espace dans laquelle la matrice de a est le produit par un scalaire
α de la matrice A3 de la première partie.
Partie 3 : commutant d’un endomorphisme antisymétrique
1) Pour tout nombre entier strictement positif p,on note B2p la matrice de M2p qui s’écrit par blocs :
0p −Ip
B2p =
.
Ip 0p
3
a) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice M =
M1,1 M1,2
M2,1 M2,2
de M2p ,
décomposée en quatre blocs carrés de Mp commute avec B2p .
b) En utilisant l’application linéaire M 7→ (M1,1 − M2,2 , M1,2 + M2,1 ), démontrer que la dimension
de l’espace vectoriel des matrices qui commutent avec B2p est égal à 2p2 .
c) Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des matrices antisymétriques qui commutent avec
B2p ?
2) Soit a un endomoprhisme antisymétrique de En .
a) Montrer que les deux endomorphismes a et a2 ont le même noyau et la même image.
b) Montrer que les valeurs propres de a2 sont négatives ou nulles.
c) Montrer que, si x est un vecteur propre de a2 associé à une valeur propre strictement négative
λ, le sous-espace vectoriel F de E engendré par les vecteurs
x et a(x) est
√
√ stable par a et il existe
une base orthonormale (u, v) de F telle que a(u) = −λ.v et a(v) = − −λ.u.
3) On considère dans cette question un endomorphisme antisymétrique a de En , de rang r.
On note λ1 , . . ., λH les valeurs propres non nulles de a2 (elles sont strictement négatives, d’après ce
qui a été établi en 2˚b) et m1 , . . ., mH leurs ordres de multiplicité respectifs, en tant que racines du
polynôme caractéristique de a2 .
H
P
mh .
a) Établir l’égalité r =
h=1
√
b) Pour tout nombre entier h compris entre 1 et H, on pose αh = −λh et on note Fh le sous-espace
propre de a2 associé à la valeur propre λh .
On cherche dans cette question
à établir l’existence d’une famille
x1 , . . ., xph d’éléments du sous1
1
espace propre Fh tels que x1 , . . . , xph ,
a(x1 ), . . . ,
a(xph ) soit une base orthonormale de
αh
αh
Fh .
1
i) Justifier l’existence d’un élément x1 de Fh tel que la famille x1 ,
a(x1 ) soit orthonormale.
αh
ii) On note k le plus grand nombre entier strictement positif
pour lequel il existe k éléments
x1 ,
1
1
a(x1 ), . . . ,
a(xk ) soit
. . ., xk du sous-espace propre Fh tels que la famille x1 , . . . , xk ,
αh
αh
orthonormale.
Démontrer que, si x1 , . . ., xk sont des éléments de Fh ainsi choisis, il ne peut pas exister dans
le sous-espace Fh un vecteur x non nul qui soit orthogonal au sous-espace vectoriel G de Fh
1
1
engendré par les vecteurs x1 , . . ., xk ,
a(x1 ), . . .,
a(xk ).
αh
αh
iii) Conclure.
4) En déduire qu’il existe une base orthonormale de En dans laquelle la matrice A de a est diagonale par
blocs, avec pour blocs diagonaux
h Bmh :
 la matrice 0n−r et les matrices α
0n−r


α1 Bm1




.
.
.
(0) 
A=

.


.
..


(0)
αH BmH
5)
a) Démontrer que la dimension du commutant de a, c’est-à-dire de l’espace vectoriel des endomorH
1 P
phismes de En qui commutent avec a est (n − r)2 +
(mh )2 .
2 h=1
√
√
−3 + 5
−3 − 5
2
a) Vérifier que la matrice (A4 ) admet pour valeurs propres
et
·
2
2
b) Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des matrices de M4 qui commutent avec A4 ?
4
Partie 4 : distribution asymptotique du spectre complexe de An
1)
a) Soit M une matrice de Mn . Montrer que, si λ est une valeur propre complexe de M , il existe un
nombre entier k compris entre 1 et n pour lequel :
n
P
|M [k, j]|.
|λ − M [k, k]| 6
j=1
j6=k
b) En déduire que les valeurs propres complexes de An sont de la forme iβ, avec β réel compris entre
−2 et +2.
2) Pour tout nombre entier n (> 2), on note Pn le polynôme caractéristique de la matrice An .
a) Démontrer que, pour tout nombre complexe z, la suite (Pn (z))n>2 est solution d’une équation de
récurrence linéaire à coefficients constants (qui dépendent de z).
b) Calculer Pn (z) lorsque z 2 = −4.
c) Montrer que, pour tout nombre réel x strictement compris entre −2 et +2, il existe deux nombres
complexes µx et νx tels que :
!n
!n
√
√
ix + 4 − x2
ix − 4 − x2
∀n > 2, Pn (ix) = µx
+ νx
.
2
2
Calculer les constantes µx et νx , en déterminant préalablement les valeurs qu’il faudrait assigner
à P0 (ix) et P1 (ix) pour que la suite (Pn (ix))n>0 soit solution, pour z = ix, de l’équation trouvée
en a).
n+1
kπ
;1 6 k 6
, où byc désigne
3) Pour tout nombre entier naturel n, on note Sn = 2 cos
n+1
2
la partie entière du nombre réel y.
a) Démontrer que, pour tout nombre entier n > 2, l’ensemble des valeurs propres complexes de An
est la réunion des deux ensembles iSn et −iSn .
b) À l’aide des résultats de la partie 3, calculer, pour tout n, la dimension du commutant de an .
c) Soit J un segment inclus dans [0, +2], non vide et non réduit à un point.
i) Montrer que le nombre d’éléments de Sn qui appartiennent à J tend vers l’infini quand n
tend vers l’infini.
Card(Sn ∩ J)
ii) Étudier la convergence de la suite
.
n
n>1
5