Notations Dans tout le probl`eme, n désigne un nombre entier

Notations
Dans tout le probl`eme, nd´esigne un nombre entier, sup´erieur ou ´egal `a 2 sauf mention explicite du contraire,
et [[1, n]] l’ensemble des nombres entiers compris entre 1 et n.
Lorsque le R-espace vectoriel Rnest muni de son produit scalaire usuel, qui en fait un espace euclidien de
dimension net pour lequel la base canonique Bn= (e1, . . . , en) est orthonormale, on le notera plutˆot En.
Dans la R-alg`ebre L(Rn) des endomorphismes de Rn, l’´el´ement-unit´e sera not´e in(identit´e dans Rn) et
la composition sera ´ecrite multiplicativement. Si fet gsont deux ´el´ements de L(Rn), f2d´esignera donc
l’application compos´ee f◦fet fg l’application compos´ee f◦g. On dira que fet gcommutent si fg =gf.
On notera Mnla R-alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients r´eels, 0nson ´el´ement nul et In
son ´el´ement-unit´e. Les coefficients d’une matrice Mde Mnseront not´es M[1,1], M[1,2], . . ., M[n, n], o`u
M[i, j] d´esigne, pour tout couple (i, j) d’´el´ements de [[1, n]], le coefficient situ´e dans la i-`eme ligne et la j-`eme
colonne de M. On dira que deux ´el´ements Met Nde Mncommutent si MN =NM.
On appellera polynˆome caract´eristique de la matrice Mle polynˆome unitaire χMde C[X] d´efini par :
∀z∈C, χM(z) = det (zIn−M).
On appellera valeurs propres complexes de Mles racines de χMdans C, et valeurs propres r´eelles de Mses
racines dans R, s’il en a.
L’objet du probl`eme est l’´etude du spectre et la r´eduction des endomophismes antisym´etriques de l’espace
euclidien En, illustr´ee par l’exemple de l’endomorphisme ande Rndont la matrice dans la base canonique
est
An=
0−1 0 . . . . . . 0
+1 0 −1. . . . . . 0
0 +1 0 −1
.
.
...........
.
.
.
.
..
.
..........
0 0 +1 0 −1
0 0 . . . 0 +1 0
,
d´efinie par :
∀(i, j)∈[[1, n]]2, An[i, j] = 
−1 si j=i+ 1
+1 si i=j+ 1
0 sinon
Des quatre parties du probl`eme, seules les parties 2 et 3 sont ´etroitement li´ees. La premi`ere partie est
consacr´ee `a l’endomorphisme a3, la deuxi`eme `a des propri´et´es g´en´erales et `a une d´ecomposition des en-
domorphismes antisym´etriques d’un espace euclidien, la troisi`eme `a la d´etermination de la dimension du
commutant d’un endomorphisme antisym´etrique. Dans la derni`ere partie, on revient `a l’exemple des endo-
morphismes anpour d´ecrire la distribution asymptotique de leurs valeurs propres.
Partie 1 : cas o`u n= 3
L’objet de cette partie est l’´etude des propri´et´es de la matrice A3=
0−1 0
+1 0 −1
0 +1 0 
et de l’endomorphisme
a3de R3qui lui est canoniquement associ´e.
1) a) Calculer la matrice A2
3.
b) D´emontrer que l’endomorphisme a2
3est diagonalisable.
2) a) Calculer le polynˆome caract´eristique de A3.
b) L’endomorphisme a3est-il trigonalisable ?
3) a) D´eterminer une base du noyau Ker a3et de l’image Im a3le l’endomorphisme a3.
b) D´emontrer que, si un plan Hde R3d’´equation αx +βy +γz = 0 est stable par a3, alors (α, β, γ)
est n´ecessairement un vecteur propre de la transpos´ee t A3de la matrice A3.
c) En d´eduire que Im a3est le seul sous-espace vectoriel de R3de dimension 2, stable par a3.
2

d) Im a3est-il le seul sous-espace vectoriel de dimension 2 de R3stable par a2
3?
4) D´emontrer qu’il existe une base orthonormale de E3dans laquelle la matrice de a3est :
A0
3=
0 0 0
0 0 −√2
0 +√2 0 
.
5) a) Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice (A3)k.
b) En d´eduire exp (A0
3).
c) Montrer que exp (a3) est une rotation de l’espace euclidien E3, dont on pr´ecisera l’axe et l’angle,
apr`es avoir choisi une orientation de l’espace euclidien E3et une orientation de l’axe de la rotation.
Partie 2 : d´ecomposition d’un endomorphisme antisym´etrique
Dans cette partie, Ed´esigne un espace euclidien de dimension n, dont le produit scalaire (forme bilin´eaire
sym´etrique d´efinie positive) est not´e :
h,i:E×E→R
(x, y)7→ hx, yi
1) Montrer que, pour tout endomorphisme fde E, les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
(i) ∀(x, y)∈E2,hf(x), yi=−hx, f(y)i
(ii) ∀x∈E, hf(x), xi= 0.
Un endomorphisme fde Equi v´erifie ces deux propri´et´es est dit antisym´etrique. On notera A(E)
l’ensemble des endomorphismes antisym´etriques de l’espace euclidien E, dont on admettra que c’est
un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel L(E) des endomorphismes de E.
2) Montrer que, si un sous-espace vectoriel Fde Eest stable par un endomorphisme antisym´etrique de
E, son orthogonal F⊥l’est aussi.
3) Soit a∈A(E).
a) Montrer que Ker(a) et Im(a) sont suppl´ementaires et orthogonaux.
b) Montrer que l’endomorphisme de Im(a) induit par aest bijectif.
c) En d´eduire que apeut ˆetre ´ecrit sous la forme b◦p, o`u pest un projecteur orthogonal et bun
automorphisme antisym´etrique de Im(p) (pour le produit scalaire induit par celui de E). Cette
d´ecomposition est-elle unique ?
4) a) Soit Bune base orthonormale de Eet Ala matrice dans la base Bd’un endomorphisme ade E.
D´emontrer que aappartient `a A(E) si et seulement si la matrice Aest antisym´etrique.
b) Montrer, en utilisant son d´eterminant, qu’une matrice antisym´etrique inversible ne peut ˆetre que
d’ordre pair.
c) D´emontrer que, pour tout endomorphisme antisym´etrique ade E, il existe une base orthonormale
de Edans laquelle la matrice de aest, par blocs, de la forme
A=01,101,2
02,1B,
o`u Best une matrice antisym´etrique inversible de format 2k×2k(avec knombre entier natu-
rel inf´erieur ou ´egal `a n
2), et o`u 01,1, 01,2, 02,1sont les matrices nulles de formats respectifs
(n−2k)×(n−2k), (n−2k)×2ket 2k×(n−2k).
5) Montrer que, pour tout endomorphisme antisym´etrique ad’un espace euclidien de dimension 3, il
existe une base orthonormale de cet espace dans laquelle la matrice de aest le produit par un scalaire
αde la matrice A3de la premi`ere partie.
Partie 3 : commutant d’un endomorphisme antisym´etrique
1) Pour tout nombre entier strictement positif p, on note B2pla matrice de M2pqui s’´ecrit par blocs :
B2p=0p−Ip
Ip0p.
3

a) Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’une matrice M=M1,1M1,2
M2,1M2,2de M2p,
d´ecompos´ee en quatre blocs carr´es de Mpcommute avec B2p.
b) En utilisant l’application lin´eaire M7→ (M1,1−M2,2, M1,2+M2,1), d´emontrer que la dimension
de l’espace vectoriel des matrices qui commutent avec B2pest ´egal `a 2p2.
c) Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des matrices antisym´etriques qui commutent avec
B2p?
2) Soit aun endomoprhisme antisym´etrique de En.
a) Montrer que les deux endomorphismes aet a2ont le mˆeme noyau et la mˆeme image.
b) Montrer que les valeurs propres de a2sont n´egatives ou nulles.
c) Montrer que, si xest un vecteur propre de a2associ´e `a une valeur propre strictement n´egative
λ, le sous-espace vectoriel Fde Eengendr´e par les vecteurs xet a(x) est stable par aet il existe
une base orthonormale (u, v) de Ftelle que a(u) = √−λ.v et a(v) = −√−λ.u.
3) On consid`ere dans cette question un endomorphisme antisym´etrique ade En, de rang r.
On note λ1, . . ., λHles valeurs propres non nulles de a2(elles sont strictement n´egatives, d’apr`es ce
qui a ´et´e ´etabli en 2˚b) et m1, . . ., mHleurs ordres de multiplicit´e respectifs, en tant que racines du
polynˆome caract´eristique de a2.
a) ´ Etablir l’´egalit´e r=
H
P
h=1
mh.
b) Pour tout nombre entier hcompris entre 1 et H, on pose αh=√−λhet on note Fhle sous-espace
propre de a2associ´e `a la valeur propre λh.
On cherche dans cette question `a ´etablir l’existence d’une famille x1, . . ., xphd’´el´ements du sous-
espace propre Fhtels que x1, . . . , xph,1
αh
a(x1), . . . , 1
αh
a(xph)soit une base orthonormale de
Fh.
i) Justifier l’existence d’un ´el´ement x1de Fhtel que la famille x1,1
αh
a(x1)soit orthonormale.
ii) On note kle plus grand nombre entier strictement positif pour lequel il existe k´el´ements x1,
. . ., xkdu sous-espace propre Fhtels que la famille x1, . . . , xk,1
αh
a(x1), . . . , 1
αh
a(xk)soit
orthonormale.
D´emontrer que, si x1, . . ., xksont des ´el´ements de Fhainsi choisis, il ne peut pas exister dans
le sous-espace Fhun vecteur xnon nul qui soit orthogonal au sous-espace vectoriel Gde Fh
engendr´e par les vecteurs x1, . . ., xk,1
αh
a(x1), . . ., 1
αh
a(xk).
iii) Conclure.
4) En d´eduire qu’il existe une base orthonormale de Endans laquelle la matrice Ade aest diagonale par
blocs, avec pour blocs diagonaux la matrice 0n−ret les matrices αhBmh:
A=
0n−r
α1Bm1
...(0)
(0) ...
αHBmH
.
a) D´emontrer que la dimension du commutant de a, c’est-`a-dire de l’espace vectoriel des endomor-
phismes de Enqui commutent avec aest (n−r)2+1
2
H
P
h=1
(mh)2.
5) a) V´erifier que la matrice (A4)2admet pour valeurs propres −3 + √5
2et −3−√5 2·
b) Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des matrices de M4qui commutent avec A4?
4

Partie 4 : distribution asymptotique du spectre complexe de An
1) a) Soit Mune matrice de Mn. Montrer que, si λest une valeur propre complexe de M, il existe un
nombre entier kcompris entre 1 et npour lequel :
|λ−M[k, k]|6
n
P
j=1
j6=k
|M[k, j]|.
b) En d´eduire que les valeurs propres complexes de Ansont de la forme iβ, avec βr´eel compris entre
−2 et +2.
2) Pour tout nombre entier n(>2), on note Pnle polynˆome caract´eristique de la matrice An.
a) D´emontrer que, pour tout nombre complexe z, la suite (Pn(z))n>2est solution d’une ´equation de
r´ecurrence lin´eaire `a coefficients constants (qui d´ependent de z).
b) Calculer Pn(z) lorsque z2=−4.
c) Montrer que, pour tout nombre r´eel xstrictement compris entre −2 et +2, il existe deux nombres
complexes µxet νxtels que :
∀n>2, Pn(ix) = µx ix +√4−x2
2!n
+νx ix −√4−x2
2!n
.
Calculer les constantes µxet νx, en d´eterminant pr´ealablement les valeurs qu’il faudrait assigner
`a P0(ix) et P1(ix) pour que la suite (Pn(ix))n>0soit solution, pour z=ix, de l’´equation trouv´ee
en a).
3) Pour tout nombre entier naturel n, on note Sn=2 cos kπ
n+ 1; 1 6k6n+ 1 2, o`u bycd´esigne
la partie enti`ere du nombre r´eel y.
a) D´emontrer que, pour tout nombre entier n>2, l’ensemble des valeurs propres complexes de An
est la r´eunion des deux ensembles iSnet −iSn.
b) ` A l’aide des r´esultats de la partie 3, calculer, pour tout n, la dimension du commutant de an.
c) Soit Jun segment inclus dans [0,+2], non vide et non r´eduit `a un point.
i) Montrer que le nombre d’´el´ements de Snqui appartiennent `a Jtend vers l’infini quand n
tend vers l’infini.
ii) ´ Etudier la convergence de la suite Card(Sn∩J)
nn>1
.
5