COURS VII Processus dynamiques et temps caractéristiques (suite)

COURS VII
Processus dynamiques et temps
caractéristiques (suite)
VII.1
Friction dynamique
On a vu que les rencontres avec d’autres particules engendrent des variations de vitesse. Par
symétrie, les variations moyennes !δv⊥ " = 0, mais on a vu que la valeur typique δv⊥ ≡
2 1/2
!δv⊥
"
ne sont pas nulles. Qu’en est-il pour !δv" " ? Les déviations des trajectoires des
particules de champ par une particule test font que les particules de champ auront tendance
à se concentrer derrière la particule test (voir Fig. VII-1). Ce surplus de particules derrière
la particule test va entraı̂ner une friction dynamique, d’abord établie par Chandrasekhar
(1943). En d’autres termes on aura δv" = −Cte v.
Figure VII-1: Trajectoires de particules déviées par une particule test massive dans le repère
de cette particule test.
La figure VII-2 montre que la déviation d une particule de champ δv⊥ = v sin α, tandis
que δv" = −v(1 − cos α). Pour des petites déviations, on trouve donc
77
78COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACTÉRISTIQUES (SUITE)
v
α
δv //
δ v⊥
Figure VII-2: Trajectoire d’une particule déviée par une particule test massive dans le repère
de cette particule test, illustant les changements de vitesse perpendiculaire et parallèle.
δv"
1
%−
v
2
!
δv⊥
v
"2
.
(VII-1)
Pour une masse test m0 et des particules de champ de masse m, en adoptant une constante
égale à 2 dans l’équation (VI-8) et en passant de la vitesse relative à la vitesse de la particule
de masse m0 , on trouve
G2 m(m0 + m)
δv" = −2
.
(VII-2)
p2 v 3
Un calcul précis (voir Binney & Tremaine 1987, chap. 7.1) donne :
δv" = −
2m/(m0 + m)
v,
1 + p2 v 4 /[G2 (m0 + m)2 ]
(VII-3)
et on retrouve l’équation (VII-3) dans la limite des grandes vitesses.
On définit le temps de friction dynamique comme
τfric
#
1 dv"
= −
v dt
$−1
.
(VII-4)
Alors, sur une orbite circulaire, on a
%
∆v"
&
orbite
=
'
δv" dN
8π 2 f rρ(r)v ' pmax
p dp
= −
2
4
m0 + m 0
1 + p v /[G2 (m0 + m)2 ]
)
4π 2 f rρ(r)G2 (m0 + m) (
2
ln
1
+
Λ
,
= −
v3
(VII-5)
où Λ = pmax v 2 /[G(m0 +m)] et de nouveau f est la fraction de masse occupée par les particules
de champ. Ainsi, on peut écrire
τfric
v
&
= −%
τcirc
∆v"
.
orbite
(VII-6)
VII.1. FRICTION DYNAMIQUE
79
Avec pmax % r et dans la limite de m0 & m, l’équation (VII-6) devient
τfric
ρ/ρ M (r)/m0
M (r)/m0
∝
.
=
τcirc
ln[M (r)/m0 ]
6πf ln[M (r)/m0 ]
(VII-7)
A noter que le temps de friction dynamique est similaire au temps de relaxation à 2 corps,
sauf que c’est la masse de la particule test qui rentre en jeu dans la friction dynamique
(eq. [VII-7]) et non la masse de la particule de champ comme c’est le cas pour la relaxation
à 2 corps (eq. [VI-12]). Donc, l’équation (VII-7) indique que sur des orbites circulaires, la
friction dynamique est efficace sur un nombre d’orbites à peu près égal au rapport entre la
masse de la primaire incluse dans l’orbite et la masse de la particule test. Plus la masse de
la particule test est grande, plus la friction dynamique est rapide.
Cette friction dynamique engendre donc une perte d’énergie et par conséquent un déclin
orbital qui va ramener des objets au centre de leur potentiel.
Ainsi, la friction dynamique agit sur les amas globulaires qui, orbitant autour des galaxies,
finissent par tomber au centre (Tremaine, Ostriker & Spitzer 1975). Elle est aussi très
efficace sur les orbites des galaxies dans les groupes (mais voir Domı́nguez-Tenreiro & GómezFlechoso 1998), ainsi que les groupes de galaxies tombant sur des amas de galaxies, mais elle
n’est pas efficace lorsque des galaxies individuelles tombent sur des amas de galaxies.
Pour une orbite générale, le temps de friction dynamique s’écrit
τfric
v3
v3
∝
= Cte 2
,
mρ
G ρ m0 ln Λ
(VII-8)
et avec l’équation (VI-2), on retrouve facilement l’équation (VII-7) pour les orbites circulaires.
Quand l’orbite de la particule test est allongée, la friction dynamique ne peut se calculer
en faisant une moyenne sur l’orbite du taux de friction dynamique instantanée, car le temps
de variation apparente de la densité locale est plus court que le temps de friction dynamique
“local” (eq. [VII-8]). Le taux de friction dynamique pour des orbites elliptiques a été étudié
par van den Bosch et al. (1999) et Colpi, Mayer & Governato (1999) et on retrouve des
formules analogues avec un facteur gérant l’ellipticité de l’orbite.
Si toutefois, on applique le taux classique de friction dynamique le long d’une orbite
allongée, on déduit que celle-ci est la plus forte au péricentre de l’orbite, et la réduction
subséquente d’énergie orbitale, va conduire à une décroissance de l’apocentre de l’orbite.
On parle alors de circularisation de l’orbite, et il est raisonnable de penser que le temps de
circularisation est du même ordre que le temps de friction dynamique.
Il faut noter que si l’objet secondaire subit des effets de marées (voir Sect. VII.2, plus bas),
qui limitent sa masse au cours de la décroissance de l’apocentre de son orbite, on s’attend
alors à ce que le taux de déclin orbital par friction dynamique soit ralentie. Des expériences
numériques (Prugniel & Combes 1992, voir aussi Colpi, Mayer & Governato 1999) montrent,
80COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACTÉRISTIQUES (SUITE)
au contraire, que le déclin orbital se fait de façon environ 5 fois plus rapide que prévue par
les formulations classiques comme celle donnée ci-dessus. Cela est dû à des résonances entre
la réponse de la primaire au passage du secondaire lorsque celui-ci accomplit un tour.
Toutefois, Domı́nguez-Tenreiro & Gómez-Flechoso (1998) suggèrent, au contraire, que
la formulation classique surestime le taux de friction dynamique pour des objets dont la
dispersion de vitesses interne est du même ordre que leur dispersion de vitesses dans le plus
grand système qui les contient.
Finalement, le surplus de masse autour de la primaire
vient d’être calculée par Mohayaee,
√
Colin & Silk (2008) et varie à peu près comme 1/ r.
VII.2
Marées
Etant donné une particule d’un système dynamique, la force de marée (“tide” en anglais)
agissant sur elle est la différence entre la force causée par un autre système dynamique et la
force que cet autre système dynamique cause sur le système de la particule.
VII.2.1
Marées instantanées
S
r
R
Figure VII-3: Perturbation de marées. Le système test est à gauche et le système perturbant
est à droite.
Considérons une particule à une distance r d’un système test, situé à une distance R
d’un système perturbant. La force de marée subie par la particule est
Fmaree = F(R − r) − F(R) ,
(VII-9)
VII.2. MARÉES
81
où F est la force gravitationnelle exercée par le système perturbant. L’équation (VII-9) peut
s’écrire (pour les accélérations de marée) :
amaree =
GMp (R)
GMp (S)
(R
−
r)
−
R,
S3
R3
(VII-10)
où Mp (R) est le profil de masse du perturbant, et R et S sont des valeurs absolues.
Dans la limite de perturbation lointaine, la force de marée par unité de masse (l’accélération de marée) peut s’exprimer simplement après un développement limité au premier ordre
de r/R. Ainsi, le vecteur séparation
S=R−r
a pour module
(
S = R2 + r 2 − 2 R · r
*
)1/2
= R 1 − 2 (eR · er )
.
% R 1 − (eR · er )
+
+
,
+
r
r
+
R
R
r
R
,/
,2 -1/2
,
(VII-11)
au 1er ordre, où eR et er sont les vecteurs unitaires correspondant aux vecteurs R et r.
L’équation (VII-11) mène alors à
3
S %R
3
.
1 − 3 (eR · er )
+
r
R
,/
,
(VII-12)
au 1er ordre, et
Mp (S) % Mp (R) + (S − R)
dMp
= Mp (R) − 4π (eR · er ) ρp (R) R2 r
dR
*
+ ,ρp (R) r
(, VII-13)
= Mp (R) 1 − 3 (eR · er )
ρp (R) R
où ρp et ρp sont les densités de masse locale et moyenne du perturbant. Les expansions des
équations (VII-12) et (VII-13) conduisent à
*
!
ρp (R)
Mp (R)
Mp (S)
=
1 + 3 (eR · er ) 1 −
3
3
S
R
ρp (R)
"+
r
R
,-
.
(VII-14)
Avec l’expansion de l’équation (VII-14), l’accélération de marée (eq. [VII-10]) devient
amaree
*
-
GMp (S) GMp (R)
GMp (S)
=
−
R−
r
3
3
S
R
S3
*
!
"
ρp
GMp (R) r
3 (eR · er ) 1 −
e R − er ,
=
R3
ρp
(VII-15)
où la seconde égalité est une approximation du 1er ordre dans la limite r & R. Ainsi,
l’équation (VII-15) montre que l’accélération de marée varie comme
am ∝
Mp (R)
r .
R3
(VII-16)
82COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACTÉRISTIQUES (SUITE)
Considérons un perturbateur sphérique avec un profil de densité moyenne ρp (R) ∝ R−α .
Comme, en fonction de la densité moyenne, la densité locale s’écrit généralement
!
1 d (4π ρR3 /3)
1 dM
1 R dρ
=
= ρ(R) 1 +
ρ(R) =
2
2
4π R dR
4π R
dR
3 ρ dR
"
,
(VII-17)
alors, l’équation (VII-17) conduit à ρp /ρp = 1 − α/3 (même pour α = 3, qui représente le
cas de la masse ponctuelle), et l’équation (VII-15) devient
amaree =
4π
G ρp (R) r [α (eR · er ) eR − er ] .
3
(VII-18)
Dans le cas d’un perturbant ponctuel (α = 3), l’équation (VII-15) démontre clairement
que la force de marée à grande distance est proportionnelle à r/R3 , donc décroı̂t rapidement avec la distance et affecte surtout les particules aux bords du système perturbé. La
solution générale de l’équation (VII-18) est illustrée dans la Figure VII-4. La déformation
est quadrupolaire dans le cas d’un perturbant ponctuel (α = 3). Mais comme l’ont d’abord
remarqué Dekel, Devor & Hetzroni (2003), la déformation est purement compressive dans la
limite α = 0 (perturbant homogène). En effet, la marée projetée sur l’axe reliant le système
test au perturbant, d’après l’équation (VII-18) s’écrit
am =
4π
(α − 1) G ρp (R) r
3
(VII-19)
et change de signe pour α = 1, pour passer d’expansif à compressif lorsque on passe de α > 1
à α < 1.
VII.2.2
Orbites circulaires
Jusqu’à là, nous avons supposé que le système test n’a pas de rotation interne synchronisé
avec sa révolution circulaire autour du centre de masse commun avec le perturbant. On dit
que le système est irrotationnel . Dans le cas contraire, il faut ajouter à la marée am , la
différence des accélérations centrifuges :
0
1
∆ Ω2 R = Ω2 (R) r =
2
4π
vcirc
(R)
r=
G ρp (R) r er ,
2
R
3
(VII-20)
où on note que la vitesse angulaire Ω est celle du système, donc définie au rayon R. Avec
les équations (VII-18) et (VII-20), la marée s’écrit plus simplement comme
amaree =
4π
α G ρp (R) r (eR · er ) eR .
3
(VII-21)
L’équation (VII-21) donne alors un effet toujours expansif à la marée pour α > 0 (voir
Figure VII-5). Cependant, les systèmes auto-gravitants en astrophysique sont rarement
vérrouillés en phase.
Sur des orbites circulaires, l’accélération de marée sera constante si le système test est
verrouillé en phase avec le perturbant, c’est-à-dire si le système test pointe toujours les mêmes
VII.2. MARÉES
83
Figure VII-4: Effets de marée causés par un perturbant sphérique avec ρp ∝ r−α , où le
système test est irrotationnel (d’après Dekel et al. 2003). Le gros point à gauche représente
le perturbant (qui n’est ponctuel que pour le cas α = 3).
particules vers le perturbant (comme c’est le cas de la Lune perturbée par la Terre). Alors,
le système test aura un rayon limite, appelé rayon de marée à l’extérieur duquel la force de
marée sera supérieure à la force gravitationnelle liant la particule à son système. En écrivant
l’égalité des forces par unité de masse au rayon de marée r = rm , on a :
amaree =
GM (rm )
rm ,
3
rm
(VII-22)
où M (r) est le profil de masse du système test.
Sur l’axe séparant le système test du perturbant, l’équation (VII-22) devient avec les
équations (VII-18 et (VII-21) :
ρ(rm ) = (α − η) ρp (R) ,
(VII-23)
où η = 1 pour le cas d’un système test irrotationnel et η = 0 pour le cas où il est vérouillé
en phase avec le perturbant. L’équation (VII-23) indique qu’au rayon de marée, la densité
moyenne d’un système est de l’ordre de celui du perturbant. Dans le cas où le système test
a un profil de densité de masse homologue à celui du perturbant on trouve alors
−1/3
rm = (α − η)
*
M (rm )
Mp (R)
-1/3
1
R= √
α−η
!
Vcirc
Vcirc,p
Les équations (VII-24) impliquent
rm ∝ R .
"
1
R≈ √
α−η
!
σv
σv,p
"
R.
(VII-24)
84COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACTÉRISTIQUES (SUITE)
Figure VII-5: Effets de marée causés par un perturbant sphérique avec ρp ∝ r−α , où
le système test est vérouillé en phase avec le perturbant (gros point à gauche qui n’est
généralement pas ponctuel, sauf pour α = 3).
VII.2.3
Orbites allongées
L’effet de marée cumulé sur une orbite va dépendre fortement de l’élongation de la trajectoire.
Lorsque l’orbite est légèrement allongée, ou quasi-circulaire, King (1962) a proposé
2
d’étendre la théorie circulaire, où le terme centrifuge ne mesure plus Vcirc
R mais V 2 R.
Alors, partant de l’équation (VII-21), l’accélération de marée s’écrit
amaree
2
4π
G ρp (R) r α (eR · er ) eR +
=
3
*+
V
Vcirc
,2
-
− 1 er
3
.
(VII-25)
et le rayon de marée sur l’axe s’écrit
rm ≈ 4
1
α + (V /Vcirc )2 − 1
!
σv
σv,p
"
R.
(VII-26)
Mais, lorsque l’orbite relative entre système test et perturbant est très excentrique, la
force de marée instantanée est faible lors de l’approche, puis très fort au péricentre, puis à
nouveau faible. Ainsi, l’effet de marée est similaire à un choc de marées (Ostriker, Spitzer
& Chevalier 1972), comme c’est illustré dans la Figure VII-6.
Contrairement au cas de la friction dynamique, dont le temps ne peut être appliqué que
pour un objet qui voit une densité qui ne varie pas fortement sur un temps plus court, l’effet
VII.2. MARÉES
85
Figure VII-6: Effet de marée pour une orbite allongée
cumulé de marée peut être intégré le long de l’orbite, en intégrant sur le temps la force de
marée instantanée. Chaque particule du système test reçoit une impulsion :
∆v =
'
am dt .
(VII-27)
En première approximation, cette impulsion est égal au produit entre l’accélération de marée
au péricentre et la durée du passage au péricentre :
∆v = Cte
GMp (Rp ) r
Rp3
+
Rp
V
,
,
(VII-28)
où Rp est le péricentre et la constante est d’ordre unité. Le calcul analytique précis de
l’impulsion est difficile, sauf dans le cas où la rencontre avec le perturbant se fait à très grande
vitesse, de sorte qu’au premier ordre, le perturbant se déplace de façon rectiligne à vitesse
constante et les déplacements des particules du système test lors du passage du perturbant
sont négligeables. Dans cette approximation impulsive, la constante de l’équation (VII-28)
est en effet d’ordre un pour un perturbant ponctuel (Spitzer 1958) ou pour un perturbant
de Hernquist (Gnedin, Hernquist & Ostriker 1999).
Le rayon de marée est alors défini comme le rayon où une coquille sphérique à une énergie
nulle — c’est-à-dire qu’elle a reçue autant d’énergie (par unité de masse) par marée que son
86COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACTÉRISTIQUES (SUITE)
énergie spécifique (par unité de masse) de liaison (White 1983) :
E + ∆E = 0 .
(VII-29)
Sur la coquille de rayon r, on a
∆E = !v · ∆v" +
&
1 %
(∆v)2 ,
2
(VII-30)
où les moyennes sont sur la coquille. Le premier terme de l’équation (VII-30) a une intégrale
nulle ou presque de sorte que le second terme domine, et l’énergie reçue par marée est
toujours positive. D’autre part, on a E(r) ≈ −GM (r)/r. L’équation (VII-29) devient alors
GM (rm )
1
≈ (∆v)2
rm
2
(VII-31)
ce qui, avec l’équation (VII-28), donne un rayon de marée satisfaisant un critère de densité
modifié par la vitesse du perturbant :
*
Vcirc (Rp )
ρ(rm ) % ρp (Rp )
Vp
-2
,
(VII-32)
où Vp est la vitesse relative au péricentre. L’équation (VII-32) s’applique donc à la fois aux
orbites circulaires et aux orbites excentriques. Donc le rayon de marée peut s’écrire de façon
générale (voir Mamon 2000) :
*
Vp
rm %
p
Vcirc (Rp )
- *
-
*
Vp
Vcirc (rm )
Rp ≈
p
p
Vcirc (Rp )
Vcirc (Rp )
-+
σv,int
σv
,
Rp ,
(VII-33)
où Vcirc (rm ) est la vitesse circulaire du système test au rayon de marée, et σv,int sa dispersion
p
de vitesse interne, tandis que Vcirc
(Rp ) est la vitesse circulaire du perturbant au rayon Rp .
La Figure VII-7 illustre les rayons de marée calculés dans les approximations quasicirculaires (King 1962) et impulsives (orbites allongées). L’abscisse vaut 1 pour les orbites
circulaires. Une généralisation peut être faite en choisissant l’approximation donnant la
marée la plus faible (le rayon de marées le plus grand), et la Figure VII-7 montre que
pour des profils piqués au centre comme NFW, c’est l’approximation impulsive qui domine
pour Vp > 1.2 Vcirc . Les simulations cosmologiques à N -corps indiquent des rapports d’axe
Ra /Rp ≈ 5 (Ghigna et al. 1998), ce qui donne Vp /Vcirc (Rp ) % 2.4, et alors rm /Rperi ≈
(1.3 ± 0.3) σv /σv,pert .
Au fait, quand Rp → 0, la marée n’est pas infinie. On peut calculer son effet directement
sans faire l’expansion de Taylor. Considérons l’impulsion de vitesse d’un point situé aux
coordonnées (x, y, 0) de son système, lors du passage d’un peturbant en choc frontal avec
le système, c’est-à-dire avec des coordonnées (V t, 0, 0). Sur la direction de la trajectoire du
perturbant (l’axe des x), l’impulsion nette sera nulle car il y a une symétrie avant et après le
passage du perturbant (même pour les passages à paramètre d’impact non nul). Aussi par
symétrie il n’y a pas d’impulsion sur l’axe des z (car l’axe des z coı̈ncide avec l’axe reliant la
particle au centre du potentiel perturbant). L’impulsion subie par la particule sera donc sur
VII.2. MARÉES
87
Figure VII-7: Rayon de marée (en unités du rayon péricentrique, mulitiplié par le rapport
des vitesses circulaires), en fonction de la vitesse au péricentre (en unités de la vitesse circulaire), Mamon (2000). Les courbes pointillées et hachurées correspondent au modèle quasicirculaire de King (1962) pour des profils avec cœur (pointillées) et piqués au centre (NFW :
hachurés). La droite pleine correspond au modèle d’orbites allongées dans l’approximation
impulsive.
l’axe des y (c’est-à-dire l’axe entre la particule et le perturbant quand celui-ci est au point
le plus proche de la particule)
∆v = ∆vy =
'
∞
−∞
(a · ey ) dt = −
'
∞
−∞
(∇Φ · ey ) dt = −2
dR
y ' ∞ dΦ
. (VII-34)
2
V y dR (R − y 2 )1/2
Par exemple, pour un perturbant de Plummer de rayon de cœur a, on trouve (Binney &
Tremaine 1987, chap. 7.2e) ∆v = −2 GM y/[V (y 2 +a2 )] à comparer avec l’équation (VII-28).
Quand une particule fait partie d’un sous-système d’un plus grand ensemble, il existe
deux types de marées :
1. La marée causée par les autres sous-systèmes, qu’on peut appeler marée collisionnelle.
On pense aux rencontres de galaxies dans les groupes.
2. La marée causée par le système global, qu’on peut appeler marée du potentiel . Les
marées du potentiel s’appliquent particulièrement aux amas globulaires dans les galaxies ainsi que les galaxies dans les amas riches (Merritt 1984).
Des simulations cosmologiques (Ghigna et al. 1998) ont vérifié l’équation (VII-33) dans le
cas de galaxies à l’intérieur d’amas (marées du potentiel).
88COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACTÉRISTIQUES (SUITE)
VII.3
Fusions
Les rencontres de systèmes dynamiques ne sont pas élastiques : l’énergie orbitale est transférée en énergie interne, c’est-à-dire dans les mouvements des particules constituant chaque
système. Cette perte d’énergie orbitale provient en partie de la friction dynamique, car le
perturbant est composée de particules. Mais même si le perturbant n’est pas constitué de
particules, l’énergie orbitale sera dissipée en énergie interne de la primaire, par les effets de
marées décrits plus hauts (on appelle ce phénomène le freinage par marée).
Donc, une orbite non-liée peut se transformer, après une rencontre, en orbite liée, et de
même deux objets sur une orbite liée peuvent se fusionner en une seule structure. On appelle
cela la fusion ou la coalescence ou encore le merging. Pour qu’il y ait fusion, il faut que la
rencontre soit lente. On peut définir, au moyen de simulations numériques, le paramètre
d’impact critique pour la fusion, qui sera fonction de la vitesse de rencontre. En termes de
variables physiques (rayon moyen de moitié de masse et dispersion de vitesses quadratique
moyenne), la relation entre le paramètre d’impact critique et la vitesse au péricentre est
presque linéaire (Roos & Norman 1979, Aarseth & Fall 1980).
Il existe des galaxies dans l’Univers proche qui semblent être à divers stades de leur
fusion.
Figure VII-8: Galaxies dans une séquence de fusions (Hibbard & van Gorkom 1996). La
lumière optique est en vert, le gaz froid en bleu et le gaz tiède en rose.
A noter les paires de queues de marée formant des filaments en direction radiale.
Non seulement la morphologie de galaxies en fusion est complexe, mais les champs de
VII.4. CATASTROPHE GRAVOTHERMALE
89
vitesse le sont aussi, comme attesté dans la Figure VII-9 (sauf pour la galaxie en haut au
milieu, qui semble en pure rotation). Les simulations numériques à N -corps sont nécessaires
Figure VII-9: Champs de vitesse des galaxies en cours de fusions (Hibbard & van Gorkom
1996)
pour la modélisation précise des galaxies en fusion. Elles rendent compte des queues de
marée.
D’autre part, les simulations numériques montrent que les galaxies qui résultent de
fusions ont des profils projetés de densité de masse comparables aux profils de brillance de
surface des galaxies elliptiques. Mais il n’est pas encore clair si la majorité des galaxies
elliptiques sont formées de cette maniere.
Il existe deux sites sur le Web qui permettent de lancer une simulation de collision de
galaxies en ajustant les paramètres des galaxies et de leur orbite : GalCrash de Chris Mihos
et JSPAM de Anthony Holincheck. Pour des raisons de rapidité, ces sites emploient tous les
deux des codes à 3 corps restreint (chap. VIII.2.2).
VII.4
Catastrophe gravothermale
Dans un système auto-gravitant, le théorème du viriel 2 Ecin + Epot = 0, donne une énergie
interne
1 G M2
3
.
(VII-35)
U = Ecin + Epot = −Ecin = − M σv2 = −
2
2 rG
90COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACTÉRISTIQUES (SUITE)
Ce système peut être comparé à un gaz parfait dont l’énergie interne s’écrit
U=
3
N kT ,
2
(VII-36)
où N est le nombre de particules, k est la constante de Boltzmann et T la température.
Donc, pour un système auto-gravitant, on peut définir une température
T =
mσv2
,
k
(VII-37)
où m = M/N est la masse d’une particule du système auto-gravitant. L’énergie interne
s’écrit alors
3
(VII-38)
U = − N kT
2
La capacité calorifique du système,
C=
3
dU
= − Nk
dT
2
(VII-39)
est négative, contrairement à un vrai gaz pour lequel C = dU/dT = (3/2)N k. Lorsqu’on
injecte de l’énergie dans un système auto-gravitant, c’est-à-dire que ce système reçoit une
énergie positive, alors d’après les équations (VII-35), sa dispersion de vitesses va diminuer
et son rayon va augmenter , et d’après les équations (VII-37) ou (VII-39), sa température va
diminuer, selon
δU
.
(VII-40)
δT =
C
Cela peut paraı̂tre contre-intuitif que la température d’un système auto-gravitant diminue
lorsque qi’il reçoit de l’énergie, et cela vient justement de la capacité calorifique négative.
Séparons maintenant le système auto-gravitant en un coeur et une enveloppe. Le cœur
a une capacité calorifique négative (Cc < 0), tandis que l’enveloppe a une capacité calorifique positive (Ce > 0), car il n’est pas vraiment auto-gravitant (car il ne fait que réagir
à l’évolution du cœur). Supposons que le cœur reçoit une faible perturbation positive de
dispersion de vitesses, c’est-à-dire de température. Alors, son énergie interne va diminuer
(et devenir plus négatif). Mais comme l’énergie interne totale du système est conservée,
l’énergie interne de l’enveloppe va augmenter et donc sa dispersion de vitesses (température)
aussi (puisque Ce > 0). En d’autres termes, comme la chaleur est transportée des zones
chaudes aux zones plus froides, il va y avoir momentanément un transport d’énergie sous
forme de chaleur du cœur vers l’enveloppe.
Maintenant, si Ce < |Cc |, alors la température va augmenter plus vite dans l’enveloppe
que dans le cœur, et le flux de chaleur sera stoppé. A l’inverse, si Ce > |Cc |, alors la
température va augmenter plus vite dans le cœur que dans l’enveloppe et le flux de chaleur
va aller en s’accélérant. D’après le théorème du viriel (eq. [VII-35]), le cœur va alors se
contracter et devenir plus dense. On appelle cela l’effondrement du coeur (“core collapse”
en anglais). En même temps, les vitesses des particules dans l’enveloppe devenant plus
grandes, les orbites vont s’étirer et l’enveloppe va se dilater.
Cette évolution séparée entre cœur et enveloppe et la croissance instable de la densité et
de la dispersion de vitesses du cœur et de sa densité est appelée catastrophe gravothermale et
VII.5. EXERCICES
91
a été décrite par Hénon (1961), Antonov (1962) et Lynden-Bell & Wood (1968). On s’attend
à ce que les amas globulaires subissent cette catastrophe gravothermale, car dans le cœur,
là où la densité est la plus forte, le temps de relaxation est la plus courte et des particules
vont diffuser vers des plus hautes énergies (moins négatives) et se retrouver dans l’enveloppe
(celles qui auront le plus acquis d’énergie s’échapperont du système). Alors, l’énergie interne
par particule du coeur va être plus négative (liée) et le cœur va se contracter, et accroı̂tre
sa dispersion de vitesses. D’autre part, le nombre N de particules du cœur va diminuer, et
donc la capacité calorifique Cc va diminuer en valeur absolue (eq. [VII-39]). Après environ 3
temps de relaxation (défini au rayon de moitié de masse), on aura |Cc | < Ce et la catastrophe
gravothermale va alors s’opérer.
Qu’est ce qui arrête l’effondrement du cœur ? Les paires serrées (ou binaires dures) de
particules dans le cœur vont interagir avec des tierces particules. Or, dans les interactions
avec des tierces particules, les binaires dures deviennent plus dures et les binaires molles
deviennent plus molles, selon la loi de Heggie (1975).
En effet, lors d’une rencontre avec une tierce particule dont l’énergie positive est plus
grande que l’énergie négative de la binaire, alors la tierce particule exerce un effet de marée
sur la binaire, qui reçoit de l’énergie positive (second terme de l’équation [VII-30] plus bas)
et devient par conséquent moins liée. Ainsi, les paires molles deviennent plus molles. Vu
que l’énergie de l’ensemble des 3 particules est positive, il peut même arriver qu’une paire
molle explose au passage de la particule tierce.
Au contraire, lors d’une rencontre avec une tierce particule dont l’énergie positive est plus
faible que l’énergie négative de la binaire, alors deux cas peuvent se produire. Soit, la tierce
particule est capturée par la binaire pour former un triplet lié, puisque l’énergie totale est
négative. Comme les triplets sont instables, une des 3 particules va finir par être éjectée, à
une vitesse de l’ordre de la dispersion de vitesses du triplet, qui est plus grande que la vitesse
d’arrivée de la tierce particule. Ainsi, l’énergie de la binaire restante sera plus négative que
celle de la binaire initiale, c’est-à-dire que la binaire finale est plus dure. Alternativement,
si la tierce particule évite la capture, elle sera tout de même accélérée par l’interaction avec
les deux particules plus rapides de la binaire, et donc par conservation d’énergie, la binaire
deviendra plus liée. Dans les deux cas on vérifie donc que les paires dures deviennent plus
dures.
Dans les cœurs des amas globulaires subissant une catastrophe gravothermale, l’énergie
cinétique (positive) acquise par les tierces particules par interaction avec des binaires dures
(avec ou sans échange) va causer un nouvel équilibre viriel du cœur ou celui est moins chaud et
moins concentré, ce qui ralentit son effondrement. A noter qu’un phénomène similaire s’opère
dans les étoiles où l’effondrement du cœur s’accompagne d’une expansion de l’enveloppe.
VII.5
Exercices
1. (examen 2001) Deux Trous Noirs supermassifs de même masse se déplacent dans un
système sphérique auto-gravitant, l’un en orbite circulaire de rayon r, l’autre sur une
92COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACTÉRISTIQUES (SUITE)
orbite allongée de péricentre r. Comparer qualitativement l’évolution des deux orbites
en précisant votre logique (on négligera l’interaction entre les deux Trous Noirs).
2. On considère une distribution de masse sur un plan infiniment étendu et infiniment
fin, de densité surfacique de masse Σ et on prendra l’axe des z perpendiculaire à ce
plan.
(a) Montrez que l’accélération d’une 5particule située à la position (0, 0, Z) est a =
−2π G Σ ez . On pourra employer 0∞ cosh−2 u du = 1.
(b) En quelle puissance de Z varie la marée subie par une particule à la position
(x, y, z) dans un système de particules centré sur la position (0, 0, Z) ?
3. Considèrez maintenant la distribution exponentielle de masse ρ(x, y, z) = exp(−|z|/H).
Montrer que la marée subie par une particule à la position (x, y, z) dans un système
de particules centré sur la position (0, 0, Z) varie comme exp(−|Z|/H). On pourra
employer l’équation de Poisson.
COURS VIII
Simulations numériques
Un grand nombre de phénomènes dynamiques en astrophysique sont trop complexes pour
être modélisées analytiquement, et nécessitent donc le recours à des simulations numériques.
Les différentes méthodes de simulations sont composées des étapes suivantes :
1. Choix des conditions initiales (xα , vα , mα )
2. Choix de l’algorithme de calcul des accélérations
3. Choix de la technique numérique pour avancer les particules et des pas de temps
internes
4. Choix des pas de temps de sortie
On pourra lire la revue de Trenti & Hut (2008) sur les simulations en général en astrophysique, ainsi que celle de Dolag et al. (2008) sur les simulations cosmologiques.
VIII.1
Conditions initiales
Le simulateur doit générer un ensemble de masses, positions et vitesses.
VIII.1.1
Masses
Généralement, on prend les masses toutes égales. Si certaines particules ont des masses plus
grandes, alors ils subiront une friction dynamique numérique, ce qui fausserait les résultats
de la simulation.
93
94
COURS VIII. SIMULATIONS NUMÉRIQUES
VIII.1.2
Positions
Les positions sont prises aléatoires correspondant à un profil de densité. Dans le cas où les
vitesses initiales sont nulles, il faut éviter de prendre les positions sur une grille fixe, pour
éviter des effets numériques pervers.
Il existe plein de générateurs de nombres aléatoires, réparties uniformément sur l’intervalle
[0 − 1]. Dans le cas d’un profil de densité à symétrie sphérique, on écrit
µ(r) =
M (r)
,
Mmax
(VIII-1)
où Mmax est la masse à l’infini pour un profil qui converge en masse, ou bien la masse au rayon
de coupure que l’on impose à un système qui diverge en masse. Alors, µ est uniformémenet
réparti entre 0 et 1. Donc si le générateur aléatoire sort N nombres qα , les distances au
centre sont obtenus par
rα = µ−1 (qα ) ,
(VIII-2)
où µ−1 est la fonction reciproque de µ. La génération des distances au centre rα est donc
facile lorsque la fonction µ(r) admet une fonction réciproque.
Dans le cas contraire, on a deux solutions.
1. On génère une première variable q1 aléatoire uniforme entre 0 et 1; on en déduit un
rayon pour une fonction analytique de densité dont la masse en fonction du rayon peut
être inversée, et qui majore partout le profil de densité souhaité; on garde ce rayon si
une seconde variable aléatoire q2 est plus petite que N (r)/Nmaj (r) = ρ(r)/ρmaj (r) (car
N (r) = 4πr2 ρ(r)). On appelle cela la méthode d’acceptation/réjection (Press et al.
1992, chap. 7.3).
2. On génère une grille (de pas constant) d’une variable x de 0 à π/2; on détermine la
fraction de masse q incluse dans le rayon r = tan−1 x; on ajuste des splines cubiques à
x fonction de la fraction de masse q; on tire une variable aléatoire q et on tire x par
interpolation par splines cubiques, et donc r = tan−1 x.
Il faut ensuite générer les angles θα et φα . Les φα sont uniformément répartis entre 0 et
2 π, de sorte que
φα = 2 π qα ,
(VIII-3)
où les qα sont une nouvelle réalisation de N nombres aléatoires (uniformes sur [0, 1]). De
même, si on définit la latitude en prenant θ = 0 sur l’équateur, on trouve facilement que
P (θ) ∝ cos θ, de sorte que
5 π/2
θ
P (> θ) = 5 π/2
−π/2
Par conséquent, on a
cos θ
cos θ
=
1 − sin θ
.
2
θα = sin−1 (1 − 2 qα ) ,
(VIII-4)
VIII.1. CONDITIONS INITIALES
95
où les qα sont une troisième réalisation de N nombres aléatoires (uniformes sur [0, 1]). Si on
définit α comme étant l’angle par rapport au pôle, alors on tire
θα = cos−1 (1 − 2 qα ) .
(VIII-5)
Ce genre d’exercice peut être facilement généralisé pour la génération de positions aléatoires sur une ellipsoı̈de.
VIII.1.3
Vitesses
Le plus difficile est de générer les vitesses initiales. Dans certains cas, on voudra partir
d’un système froid, c’est-à-dire avec des vitesses nulles, mais si on fait cela pour un système
homogène fini, le système va s’effondrer de façon co-évale, c’est-à-dire toutes les couches vont
se retrouver au centre en même temps, et on aura à faire à une relaxation numérique qui fera
que le système ne rebondira pas de façon quasi-symétrique, mais au contraire aura tendance
à exploser sans bien conserver l’énergie.
Généralement, on veut partir d’un système en équilibre dynamique. Pour cela, la méthode
classique, pour un système sphérique, consiste à résoudre l’équation de Jeans isotrope, pour
obtenir la dispersion de vitesses en fonction de la distance au centre. Ensuite, on suppose une
distribution gaussienne (i.e. Maxwellienne) des vitesses. Beaucoup, par prudence, préfèrent
faire évoluer un morceau de système en isolement durant plusieurs temps de traversée, afin
d’assurer un équilibre réaliste. Par exemple, si on veut simuler une collision de 2 galaxies
sphériques, on gènère une galaxie, on la laisse évoluer sur beaucoup de temps de traversée, et
on extrait deux systèmes en prenant un sous-ensemble aléatoire de particules, à deux temps
différents.
Récemment, Kazantzidis, Magorrian & Moore (2004) ont montré que l’extraction propre de conditions initiales, directement depuis les fonctions de distribution, conduit à des
distributions qui ne sont pas exactement Maxwelliennes, mais sont plus beaucoup stables
qu’avec des vitesses Maxwelliennes tirées de dispersions de vitesses, provenant de l’équation
de Jeans.
Pour un système isotrope, pour lequel on a vu que la fonction de distribution s’écrit
généralement (et pas simplement globalement) f = f (v 2 /2 + Φ(r)). La méthode de tirage
des positions et vitesses depuis les fonctions de distribution a été décrite par Kuijken &
Dubinski (1994) et raffinée par Kazantzidis, Magorrian & Moore (2004). Elle comprend les
étapes suivantes :
1. on génère d’abord les positions r, avec les équations (VIII-2), (VIII-3) et (VIII-4);
2. on en déduit les potentiels gravitationnels Φ(r);
3. connaissant Φ(r) et la fonction de distribution f (E), on en déduit la distribution
p(v|r) ∝ v 2 f (v 2 /2 + Φ(r)) des modules des vitesses;
96
COURS VIII. SIMULATIONS NUMÉRIQUES
4. on tire au hasard la vitesse à cette position par la méthode d’acceptation/réjection,
dans laquelle :
(a) on tire une variable aléatoire
uniforme q1 dans [0, 1] et on déduit un module de
4
vitesse v = q1 vmax = q1 −2 Φ(r);
(b) on tire une seconde variable aléatoire uniforme q2 dans [0, 1],
(c) on rejette la vitesse si q2 > p(v|r)/Max(p(v|r));
5. on attribue des angles aléatoires pour les vecteurs vitesses avec les équations (VIII-3)
et (VIII-4).
Kazantzidis, Magorrian & Moore (2004) montrent comment généraliser cette méthode
aux fonctions de distribution anisotropes de la famille Osipkov-Merritt, f = f (E + J 2 /ra2 ).
VIII.2
Evaluation des accélérations
Il existe un grand nombre d’algorithmes pour calculer les accélérations des particules.
VIII.2.1
N corps direct
Un code à N corps direct prend en compte toutes les interactions entre particules, et fait donc
appel, à chaque pas de temps, au calcul des N (N − 1)/2 séparations entre particules. C’est
le code idéal pour suivre avec précision l’évolution dynamique d’un système de particules,
mais avec un temps de calcul t ∼ N 2 , est très lent pour des systèmes avec beaucoup de
particules. En 2009, les plus gros calculs avec des codes N corps directs sur des machines
non-dédiées approchent les 106 particules.
Le premier code à N corps date de 1941 ! En l’absence de moyens informatiques, Holmberg (1941) a eu l’idée ingénieuse de remplacer la gravitation par la lumière pour simuler
l’interaction de deux galaxies composées de 37 points chacune. Ses éléments de masse étaient
des ampoules qui étaient munies de cellules photo-électriques. Comme le flux lumineux varie,
comme le champ gravitationnel, c’est-à-dire en r−2 , chaque ampoule recevait sur deux axes
orthogonales un flux proportionnel à la composante de la force de gravitation qu’elle aurait subie sur cet axe. Le flux reçu par chaque ampoule était mesuré après conversion en
courant électrique. La nouvelle position de chaque particule (ampoule) était déduite des
vecteurs vitesses (moyénnées sur le pas de temps précédant) et des accélérations déduites
des flux lumineux dans les directions −x, +x, −y et +y. Holmberg a ainsi réalisé la première
simulation à N corps, mais en 2D, et pas encore en temps réel.
VIII.2. EVALUATION DES ACCÉLÉRATIONS
VIII.2.2
97
Trois corps restreint
Le code à trois corps restreint est le code du pauvre, où deux particules massives interagissent
entre elles, tandis qu’une multitude de particules test de masse négligeable (voir Fig. VIII-1)
ne sont soumises qu’aux attractions des deux particules massives. L’avantage de ce code
est qu’il est très rapide, ne necessitant que 2N − 3 calculs de distance par pas de temps.
D’autre part, si on s’interesse à l’évolution dynamique d’un sous-échantillon de particules qui
évoluent dans un potentiel et où leur auto-gravité est négligeable, le code à 3 corps restreint
est l’outil idéal. Son désavantage est que les enveloppes de particules test autour de chaque
point massif ne sont pas auto-gravitantes.
Figure VIII-1: Schéma du code à 3 corps restreint. Les particules massives interagissent
entre elles, tandis que les petites particules test n’interagissent qu’avec les deux particules
massives, mais pas entre elles.
Le code restreint à 3 corps a été employé par Toomre & Toomre (1972) et indépendemment
par Eneev, Kozlov & Sunyaev (1973) (les deux articles furent soumis à deux jours d’intervalle !)
pour montrer que les queues de marée sont formées par collisions de galaxies spirales régulières.
VIII.2.3
Codes en arbre
La majeure partie du temps de calcul dans un code à N -corps direct est investie dans le calcul
des N (N − 1)/2 séparations. On peut gagner du temps de calcul en ne comptabilisant pas
toutes les particules lointaines, par rapport à une particule donnée, mais en les regroupant
de maniere astucieuse.
Dans un code en arbre (voir Hernquist 1987 et références ci-incluses), les forces (donc
séparations) à courte portée sont calculées par somme directe. Par contre les objets éloignés
sont organisés dans des groupes cubiques, dits nœuds, d’autant plus larges qu’ils sont
éloignés. Plus précisément, les particules sont organisées dans une hiérarchie de nœuds
cubiques, les plus petits ne contenant que zero ou une particule. Pour calculer l’accélération
d’une particule donnée, on considère les nœuds les plus grands de taille plus faible qu’un
98
COURS VIII. SIMULATIONS NUMÉRIQUES
paramètre de tolérance fois la distance au nœud (et pour les gros nœuds proches non subdivisés on doit considérer la particule qu’il contient). Ainsi, avec un paramètre de tolérance
(c’est-à-dire angle critique) nul, on peut transformer le code en arbre en code N -corps direct.
On adopte habituellement un paramètre de tolérance de 0.8 (rd).
Le potentiel de chacun de ces nœuds est approximé par une expansion en harmoniques
sphériques, typiquement jusqu’au termes quadrupolaires. L’accélération d’une particule est
alors :
aα =
6
β
∇Φ(|rβ − rα |) +
2 6
&
66
γ &=0 m=−&
∇Φm,& (|rγ − rα |) ,
(VIII-6)
où les particules proches sont dénotées β et les nœuds lointains γ, tandis que Φ est donné
par l’équation (VIII-13).
L’avantage des codes en arbre est leur vitesse accrue par rapport aux code N -corps
directs. Ainsi le temps de calcul varie en t ∼ N log N . En 2009, les plus gros calculs avec
des codes en arbre sur des machines non-dédiées dépassent les 108 particules.
VIII.2.4
Codes particule-maille (PM)
Par rapport aux codes particulaires (codes N -corps direct et codes en arbre), dits PP pour
particule-particule, les codes sur grille, dits codes particule-maille ou PM ont l’avantage de
s’affranchir du calcul des séparations entre particules. Dans une grille de J 3 cellules cubiques
de côté a, le potentiel gravitationnel peut s’obtenir de facon simple en supposant que la masse
dans chaque cellule se trouve en son centre. Le potentiel dans la cellule i, j, k est
Φi,j,k =
6 6 6
i! %=i
avec
j ! %=j
g(∆i, ∆j, ∆k) M (i& , j & , k & )
(VIII-7)
k! %=k
G
g(∆i, ∆j, ∆k) = − 0
11/2 .
a (∆i)2 + (∆j)2 + (∆k)2 + (,/a)2
(VIII-8)
Ainsi, g(∆i, ∆j, ∆k) M (i& , j & , k & ) est une bonne approximation pour la contribution de la
cellule (i& , j & , k & ) au potentiel gravitationnel de la cellule (i, j, k) sauf pour ses cellules voisines,
ce qui n’est généralement pas gênant lorsqu’il y a un grand nombre de cellules. Il suffit alors
d’évaluer les g(∆i, ∆j, ∆k) (eq. [VIII-8]) au début de la simulation, et de sommer sur les
M (i& , j & , k & ) (eq. [VIII-7]) à chaque pas de temps.
Comme l’équation (VIII-7) est une convolution discrète, on peut gagner du temps de
calcul en employant le théorème de convolution (la transformée de Fourier d’un produit de
convolution est le produit simple des transformées de Fourier) :
7
Φ(k)
=
1
J 3/2
8 (k) ,
g7(k) M
(VIII-9)
7
puis en faisant la transformée de Fourier inverse de Φ(k)
pour recouvrir Φi,j,k . Ainsi le
3
nombre de calculs est réduit de J à J log J (avec l’algorithme FFT pour les transformées
VIII.2. EVALUATION DES ACCÉLÉRATIONS
99
de Fourier). En d’autres termes, la méthode PM résout l’équation de Poisson dans l’espace
de Fourier .
La méthode PM décrit donc le système comme un fluide gravitant, mais sa résolution
spatiale est limitée à la taille des cellules (a). En 2009, on doit pouvoir réaliser des simulations avec 10243 cellules et particules. Pour plus de détails, voir Hockney & Eastwood
(1981) Computer Simulation using Particles. Les premières applications d’un PM 3D en astrophysique proviennent de Miller (1978), avec déjà plus de 105 particules. Pour les calculs
cosmologiques, on emploie généralement des conditions périodiques aux frontières, faisant
du cube de simulations un hyper-tore.
VIII.2.5
Codes particule-particule/particule-maille (P3 M) et variantes
Le manque de résolution spatiale du code PM a conduit à ajouter une partie PP au code PM.
Cela a donné les codes particule-particule/particule-maille ou P 3 M . Dans les codes P3 M, la
force sur une particule est la somme de deux termes :
1. le gradient du potentiel PM
2. la somme des forces individuelles provenant des particules proches (le terme PP)
Pour éviter de compter les particules lointaines dans le terme PP, celui-ci est tronqué de sorte
que la force globale correspond au gradient du potentiel adouci. La Figure VIII-2 illustre
comment les deux types de forces s’appliquent à différentes échelles.
La première application du code P3 M en astrophysique est celle de Efstathiou & Eastwood
(1981). En 2009, les plus gros codes P3 M dépassent 2563 = 17 × 106 cellules et particules.
Une variante est le code TPM pour Tree/Particle-Mesh, introduit par Xu (1995) qui
incorpore à la partie PM un code en arbre pour la partie PP. Avec TPM, on est arrivé à
entreprendre des simulations de 109 particules en l’an 2000 (Bode et al. 2000), puis 1010
particules avec la simulation Millenium (Springel et al. 2005), qui est la plus grosse simulation
à N corps jamais entreprise (et dont les sorties sont publiquement disponibles).
VIII.2.6
Codes à grilles adaptatives
Lorsqu’une des cellules P3 M ou TPM contient une forte surdensité de particules, la simulation
est fortement ralentie par la partie PP. Ainsi le P3 M devient beaucoup plus lent qu’un code
en arbre.
Une solution, appelée AP 3 M pour Adaptive P 3 M , est de créer des sous-grilles P3 M dans
100
COURS VIII. SIMULATIONS NUMÉRIQUES
Figure VIII-2: Contributions des forces aux
doctorat). En violet, la force de Newton.
l’adoucissement de Plummer ( eq. [VIII-13]).
contribution PP, égale à la différence entre les
différentes distances (Brieu 1997, thèse de
En bleu, la même force de Newton, avec
En rouge, la contribution PM. En vert, la
contributions Plummer et PM.
les cellules trop denses (Couchman 1991). L’avantage de l’AP3 M par rapport au code en
arbre est qu’il est a peu près deux fois plus rapide et consomme beaucoup moins de mémoire.
Cet avantage en mémoire est très important, car si on est limité en vitesse de calcul on
peut toujours faire tourner une simulation plus longtemps (certaines simulations publiées
ont tourné plusieurs mois). Mais la limitation en mémoire ne peut être contre-carrée que
par l’emploi d’une machine avec plus de mémoire et les grosses simulations astrophysiques
et cosmologiques se font déjà à la limite des supercalculateurs parallèles.
Bien avant l’AP3 M, Villumsen (1989) avait déjà dévéloppé un code, appelé HPM pour
Hierarchical Particle-Mesh, permettant une hiérarchie de sous-grilles dans un code PM.
Toutefois, le HPM est limité par des zones cubiques pour les sous grilles.
On peut aller plus loin et permettre les sous-grilles d’une hiérarchie donnée de composer
une forme arbitraire (voir Fig. VIII-3), ce que Kravstov, Klypin & Khokhlov (1997) ont
appelé ART pour Adaptive Refinement Tree. Voir aussi les codes similaires MLAPM de
Knebe, Green & Binney 2000, enzo de Bryan, Abel & Norman (2001) et RAMSES de
Teyssier (2002). L’ensemble de ces codes, dits à raffinement adaptative de maille ou AMR
en anglais, ont l’avantage de pouvoir combiner l’efficacité de la résolution de l’équation
de Poisson sur des grilles avec la très grande dynamique permise par les sous-grilles. Les
codes ART, enzo et RAMSES ont aussi l’avantage de pouvoir combiner l’hydrodynamique
VIII.2. EVALUATION DES ACCÉLÉRATIONS
101
Figure VIII-3: Structure de refinement du code ART (Kravtsov, Klypin & Kholpov 1997).
à la partie auto-gravitante. La figure VIII-4 illustre l’immense dynamique atteinte par les
méthodes multi-grille.
VIII.2.7
Machines dédiées à la gravitation
Comme le gros du temps de calcul dans un code direct est employé pour le calcul des termes
0
(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 + ,2
1−1/2
,
(VIII-10)
certains ont proposé de construire des machines dédiées au calculs de ces termes. En particulier les machines GRAPE pour GRAvity PipE sont courremment employées en astrophysique, surtout au Japon où elles sont développées. Elles représentent une alternative très
utile et relativement bon marché, face aux supercalculateurs parallèles.
Elles calculent le terme de l’équation (VIII-10) avec une précision moindre que lors d’une
opération flottante mais de façon bien plus rapide. La dernière génération, GRAPE-5, permet
des calculs de N -corps direct avec 106 particules ! Plus précisément, la GRAPE-5 permet en
14 secondes d’avancer d’un pas de temps pour une simulation à N -corps directe de 130 000
particules ou une simulation en arbre de 106 particules. Ainsi, avec GRAPE-5, on a la
possibilité de simuler la quasi-totalité des étoiles d’un amas globulaire.
Si un pas de temps sur GRAPE-5 prend 14 secondes pour 128 000 particules, cela doit
prendre 50 fois plus de temps pour une bonne station de travail, soit environ 12 minutes.
102
COURS VIII. SIMULATIONS NUMÉRIQUES
Figure VIII-4: Une image simulationée d’une zone de formation d’étoiles, zoomée jusqu’à
109 fois avec le code enzo (Bryan, Abel & Norman 2001).
En une semaine (168h) il est donc possible de simuler sur une station de travail 800 pas de
temps pour 105 particules avec un code à N corps direct ou 106 particules avec un code en
arbre.
Alors que Brieu, Summers & Ostriker (1995) ont créé une version du code P3 M pour
GRAPE-3, en employant beaucoup d’astuces pour contourner les limitations de la machine,
la GRAPE-5 s’adapte naturellement aux codes P3 M.
Une machine GRAPE-6 vient d’être développée avec une puissance crête de 100 Tflops
(Makino 2001). Une simulation de 130 000 particules employant le code de Aarseth sur
GRAPE-6 est présentée par Baumgardt et al. (2003).
Les codes P3 M et TPM ont récemment été implantées sur GRAPE par Yoshikawa &
Fukushige (2005).
Portegeis Zwart et al. (2007) ont récemment proposé d’employer des cartes graphiques
du commerce comme machine dédiée. Bien que travaillant en précision 32 bits, ces cartes
graphiques sont très performants jusqu’à près d’un million de particules.
VIII.3. AVANCEMENT DES PARTICULES
VIII.3
103
Avancement des particules
L’avancement des particules d’un temps au temps suivant revient à résoudre un système
couplé de 6N équations différentielles ordinaires du premier ordre. Plutôt que d’utiliser des
méthodes précises et couteuses en temps de calcul, telles que la Runge-Kutta ou la méthode
prédicteur-correcteur , on emploie généralement un schéma simple, dénommé leap-frog (saut
de grenouille), qui interpole les vitesses entre les pas de temps (voir Hut, Makino & McMillan
1995) :
rn+1 = rn + vn+1/2 ∆t ,
vn+3/2 = vn+1/2 + an+1 ∆t .
VIII.4
(VIII-11)
(VIII-12)
Adoucissement des forces
Lorsque deux masses ponctuelles ont une rencontre très proche, leur accélération mutuelle
devient énorme et par conséquent leur vitesse varie très rapidement. Il faut alors prendre des
pas de temps très petits pour suivre l’évolution de leur vitesses, ce qui ralentit la simulation.
D’autre part, ces rencontres très proches engendrent une relaxation à 2 corps. On a vu que
le temps de relaxation à 2 corps est τ ≈ (N/ ln N ) τdyn . Si on simule un ensemble de matière
noire avec Np particules, où Np < 1010 , alors qu’en réalité on a log10 N & 10, alors le temps
de relaxation à 2 corps dans la simulation pourra être courte alors qu’en réalité elle est très,
très longue. Ainsi, la simulation d’un système dynamique avec un assez faible nombre de
particules un nombre de particules bien plus faible va conduire en un temps d’environ Np
temps dynamiques à une relaxation numérique, qui n’est pas réaliste.
Pour éviter ces 2 problèmes de lenteur de la simulation et de relaxation numérique,
le potentiel gravitationnel standard pour une particule de masse m est remplacée par un
potentiel adouci , par exemple
Φ(r) = −
Gm
(r2 + ,2 )1/2
,
(VIII-13)
où la fonctionelle de l’équation (VIII-13) correspond au potentiel de Plummer. Le choix
de l’échelle d’adoucissement , est un compromis entre des valeurs faibles qui donnent une
simulation plus précise pour les interactions proches, mais nécessite un grand temps de
calcul, et des valeurs fortes qui suppriment les interactions à distance intermédiaire et par
conséquent la relaxation à deux corps du système. Voir la discussion dans Dehnen (2000).
VIII.5
Astuces pour gagner du temps de calcul
L’astuce principal consiste à gérer des pas de temps individuels, de sorte que la présence
d’une binaire sérrée, nécessitant des pas de temps très courts, ne force pas le calcul des
104
COURS VIII. SIMULATIONS NUMÉRIQUES
accélérations pour les particules qui n’en ont pas besoin.
Aarseth s’est distingué dans les annéees 1960–1980 pour avoir écrit les meilleurs codes à
N corps direct, avec des pas de temps individuels (voir appendice du Binney & Tremaine
1987).
VIII.6
Versions publics des codes de simulations
Bien sûr, les codes derniers cris ne sont généralement pas disponibles sur le Web. Mais on
trouvera des versions moins récentes et très utiles.
Le site NEMO à http://bima.astro.umd.edu/nemo/ propose divers codes numériques
pour effectuer des simulations à N corps avec des interfaces conviviales. On y trouvera
une multitude de liens utiles, en particulier vers différents codes, ainsi que des images et
animations de simulations.
Les codes à N corps direct de Aarseth (avec pas de temps adaptatifs) sont disponibles
sur ftp://ftp.ast.cam.ac.uk/pub/sverre/.
Les derniers codes en arbre de Barnes sont disponibles sur le site Web de Barnes à
http://www.ifa.hawaii.edu/faculty/barnes/treecode/treeguide.html. Le code en
arbre GADGET de Springel, avec possibilités d’extensions cosmologiques, parallélisation et
inclusion de l’hydrodynamique par particules adoucies (SPH pour Smoothed Particle Hydrodynamics), est disponible sur http://www.mpa-garching.mpg.de/gadget/.
Une version rapide du code PM, dit PMFAST (Merz, Pen & Trac 2004) est disponible
sur http://www.cita.utoronto.ca/webpages/code/pmfast/. Le code public AP3 M (à
grilles adaptatives), HYDRA, avec extensions cosmologiques et SPH, est disponible sur
http://phobos.astro.uwo.ca/hydra consort/software/software.html.
Le code MLAPM (Knebe, Geen & Binney 2001) à grilles adaptives est disponible sur
http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/MLAPM.
Finalement, une version publique et parallèle du code TPM , plus rapide que GADGET, est disponible sur http://astro.princeton.edu/~bode/TPM/. Mais, GADGET a
été rénovée avec un module TPM et une meilleure description du gaz. Le nouveau code,
GADGET-2 (Springel 2005) est disponible (http://www.mpa-garching.mpg.de/gadget/right.html),
et très courremment employée.
VIII.7. EXERCICES
VIII.7
105
Exercices
1. A partir de nombres aléatoires uniformément répartis entre 0 et 1, qi , comment générez
vous les coordonnées initiales (x, y, z) d’un système cylindrique de particules avec la
densité
ρ(R, z) = ρ0 exp(−r/h) exp(−z/H) ,
1) à partir de coordonnées cartésiennes; 2) à partir de coordonnées cylindriques.
2. Comment générez vous les vitesses d’un modèle sphérique dont on connait la distribution de masse, depuis l’équation de Jeans avec σt = σr /2 partout ? [une difficulté
mathématique]