COURS VII Processus dynamiques et temps caractéristiques (suite)

COURS VII
Processus dynamiques et temps
caract´eristiques (suite)
VII.1 Friction dynamique
On a vu que les rencontres avec d’autres particules engendrent des variations de vitesse. Par
sym´etrie, les variations moyennes !δv⊥"= 0, mais on a vu que la valeur typique δv⊥≡
!δv2
⊥"1/2ne sont pas nulles. Qu’en est-il pour !δv""? Les d´eviations des trajectoires des
particules de champ par une particule test font que les particules de champ auront tendance
`a se concentrer derri`ere la particule test (voir Fig. VII-1). Ce surplus de particules derri`ere
la particule test va entraˆıner une friction dynamique, d’abord ´etablie par Chandrasekhar
(1943). En d’autres termes on aura δv"=−Cte v.
Figure VII-1: Trajectoires de particules d´evi´ees par une particule test massive dans le rep`ere
de cette particule test.
La figure VII-2 montre que la d´eviation d une particule de champ δv⊥=vsin α, tandis
que δv"=−v(1 −cos α). Pour des petites d´eviations, on trouve donc
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78COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACT´ ERISTIQUES (SUITE)
δv//
δ⊥ v
α
v
Figure VII-2: Trajectoire d’une particule d´evi´ee par une particule test massive dans le rep`ere
de cette particule test, illustant les changements de vitesse perpendiculaire et parall`ele.
δv"
v%−1 2!δv⊥ v"2
.(VII-1)
Pour une masse test m0et des particules de champ de masse m, en adoptant une constante
´egale `a 2 dans l’´equation (VI-8) et en passant de la vitesse relative `a la vitesse de la particule
de masse m0, on trouve
δv"=−2G2m(m0+m)
p2v3.(VII-2)
Un calcul pr´ecis (voir Binney & Tremaine 1987, chap. 7.1) donne :
δv"=−2m/(m0+m)
1+p2v4/[G2(m0+m)2]v, (VII-3)
et on retrouve l’´equation (VII-3) dans la limite des grandes vitesses.
On d´efinit le temps de friction dynamique comme
τfric =#−1
v
dv"
dt $−1
.(VII-4)
Alors, sur une orbite circulaire, on a
%∆v"&orbite ='δv"dN
=−8π2frρ(r)v
m0+m'pmax
0
p dp
1+p2v4/[G2(m0+m)2]
=−4π2frρ(r)G2(m0+m)
v3ln (1+Λ2),(VII-5)
o`u Λ=pmaxv2/[G(m0+m)] et de nouveau fest la fraction de masse occup´ee par les particules
de champ. Ainsi, on peut ´ecrire
τfric
τcirc
=−v
%∆v"&orbite
.(VII-6)

VII.1. FRICTION DYNAMIQUE 79
Avec pmax %ret dans la limite de m0&m, l’´equation (VII-6) devient
τfric
τcirc ∝M(r)/m0 ln[M(r)/m0]=ρ/ρ 6πf
M(r)/m0
ln[M(r)/m0].(VII-7)
A noter que le temps de friction dynamique est similaire au temps de relaxation `a 2 corps,
sauf que c’est la masse de la particule test qui rentre en jeu dans la friction dynamique
(eq. [VII-7]) et non la masse de la particule de champ comme c’est le cas pour la relaxation
`a 2 corps (eq. [VI-12]). Donc, l’´equation (VII-7) indique que sur des orbites circulaires, la
friction dynamique est efficace sur un nombre d’orbites `a peu pr`es ´egal au rapport entre la
masse de la primaire incluse dans l’orbite et la masse de la particule test. Plus la masse de
la particule test est grande, plus la friction dynamique est rapide.
Cette friction dynamique engendre donc une perte d’´energie et par cons´equent un d´eclin
orbital qui va ramener des objets au centre de leur potentiel.
Ainsi, la friction dynamique agit sur les amas globulaires qui, orbitant autour des galaxies,
finissent par tomber au centre (Tremaine, Ostriker & Spitzer 1975). Elle est aussi tr`es
efficace sur les orbites des galaxies dans les groupes (mais voir Dom´ınguez-Tenreiro & G´omez-
Flechoso 1998), ainsi que les groupes de galaxies tombant sur des amas de galaxies, mais elle
n’est pas efficace lorsque des galaxies individuelles tombent sur des amas de galaxies.
Pour une orbite g´en´erale, le temps de friction dynamique s’´ecrit
τfric ∝v3
mρ=Cte v3 G2ρm0ln Λ,(VII-8)
et avec l’´equation (VI-2), on retrouve facilement l’´equation (VII-7) pour les orbites circu-
laires.
Quand l’orbite de la particule test est allong´ee, la friction dynamique ne peut se calculer
en faisant une moyenne sur l’orbite du taux de friction dynamique instantan´ee, car le temps
de variation apparente de la densit´e locale est plus court que le temps de friction dynamique
“local” (eq. [VII-8]). Le taux de friction dynamique pour des orbites elliptiques a ´et´e ´etudi´e
par van den Bosch et al. (1999) et Colpi, Mayer & Governato (1999) et on retrouve des
formules analogues avec un facteur g´erant l’ellipticit´e de l’orbite.
Si toutefois, on applique le taux classique de friction dynamique le long d’une orbite
allong´ee, on d´eduit que celle-ci est la plus forte au p´ericentre de l’orbite, et la r´eduction
subs´equente d’´energie orbitale, va conduire `a une d´ecroissance de l’apocentre de l’orbite.
On parle alors de circularisation de l’orbite, et il est raisonnable de penser que le temps de
circularisation est du mˆeme ordre que le temps de friction dynamique.
Il faut noter que si l’objet secondaire subit des effets de mar´ees (voir Sect. VII.2, plus bas),
qui limitent sa masse au cours de la d´ecroissance de l’apocentre de son orbite, on s’attend
alors `a ce que le taux de d´eclin orbital par friction dynamique soit ralentie. Des exp´eriences
num´eriques (Prugniel & Combes 1992, voir aussi Colpi, Mayer & Governato 1999) montrent,

80COURS VII. PROCESSUS DYNAMIQUES ET TEMPS CARACT´ ERISTIQUES (SUITE)
au contraire, que le d´eclin orbital se fait de fa¸con environ 5 fois plus rapide que pr´evue par
les formulations classiques comme celle donn´ee ci-dessus. Cela est dˆu `a des r´esonances entre
la r´eponse de la primaire au passage du secondaire lorsque celui-ci accomplit un tour.
Toutefois, Dom´ınguez-Tenreiro & G´omez-Flechoso (1998) sugg`erent, au contraire, que
la formulation classique surestime le taux de friction dynamique pour des objets dont la
dispersion de vitesses interne est du mˆeme ordre que leur dispersion de vitesses dans le plus
grand syst`eme qui les contient.
Finalement, le surplus de masse autour de la primaire vient d’ˆetre calcul´ee par Mohayaee,
Colin & Silk (2008) et varie `a peu pr`es comme 1/√r.
VII.2 Mar´ees
Etant donn´e une particule d’un syst`eme dynamique, la force de mar´ee (“tide” en anglais)
agissant sur elle est la diff´erence entre la force caus´ee par un autre syst`eme dynamique et la
force que cet autre syst`eme dynamique cause sur le syst`eme de la particule.
VII.2.1 Mar´ees instantan´ees
rS
R
Figure VII-3: Perturbation de mar´ees. Le syst`eme test est `a gauche et le syst`eme perturbant
est `a droite.
Consid´erons une particule `a une distance rd’un syst`eme test, situ´e `a une distance R
d’un syst`eme perturbant. La force de mar´ee subie par la particule est
Fmaree =F(R−r)−F(R),(VII-9)

VII.2. MAR ´ EES 81
o`u Fest la force gravitationnelle exerc´ee par le syst`eme perturbant. L’´equation (VII-9) peut
s’´ecrire (pour les acc´el´erations de mar´ee) :
amaree =GMp(S)
S3(R−r)−GMp(R) R3R,(VII-10)
o`u Mp(R) est le profil de masse du perturbant, et Ret Ssont des valeurs absolues.
Dans la limite de perturbation lointaine, la force de mar´ee par unit´e de masse (l’acc´el´era-
tion de mar´ee) peut s’exprimer simplement apr`es un d´eveloppement limit´e au premier ordre
de r/R. Ainsi, le vecteur s´eparation
S=R−r
a pour module
S=(R2+r2−2R·r)1/2=R*1−2(eR·er)+r
R,++r R,2-1/2
%R.1−(eR·er)+r
R,/ ,(VII-11)
au 1er ordre, o`u eRet ersont les vecteurs unitaires correspondant aux vecteurs Ret r.
L’´equation (VII-11) m`ene alors `a
S3%R3.1−3(eR·er)+r
R,/ ,(VII-12)
au 1er ordre, et
Mp(S)%Mp(R)+(S−R)dMp
dR =Mp(R)−4π(eR·er)ρp(R)R2r
=Mp(R)*1−3(eR·er)ρp(R)
ρp(R)+r R,-,(VII-13)
o`u ρpet ρpsont les densit´es de masse locale et moyenne du perturbant. Les expansions des
´equations (VII-12) et (VII-13) conduisent `a
Mp(S)
S3=Mp(R) R3*1 + 3 (eR·er)!1−ρp(R) ρp(R)"+r R,-.(VII-14)
Avec l’expansion de l’´equation (VII-14), l’acc´el´eration de mar´ee (eq. [VII-10]) devient
amaree =*GMp(S)
S3−GMp(R) R3-R−GMp(S) S3r
=GMp(R)r
R3*3(eR·er)!1−ρp ρp"eR−er-,(VII-15)
o`u la seconde ´egalit´e est une approximation du 1er ordre dans la limite r&R. Ainsi,
l’´equation (VII-15) montre que l’acc´el´eration de mar´ee varie comme
am∝Mp(R)
R3r.(VII-16)