Examen de thermodynamique

Examen de thermodynamique - S1
IUT - GTE - Marseille - 10 janvier 2011
Durée : 1h50, barême donné à titre indicatif
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Mélange de gaz (2 points)
On considère le système de la figure 1. On casse la paroi séparant les gaz. Calculer la pression et
la température finales dans l’enceinte à l’équilibre. On supposera les gaz et le mélange comme étant
parfaits.
Figure 1 – Mélange de deux gaz.
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Cycle thermodynamique (4 points)
1. Calculer le travail qu’il faut fournir pour compresser réversiblement 1 mole de gaz parfait de
manière isotherme de l’état A (P1 , V1 , T1 ) à l’état B (P2 , V2 , T1 ) avec T1 = 300 K, V1 = 20
litres et V2 = 10 litres.
2. On fait décrire réversiblement le cycle ABCDA à la mole de gaz précédente. Ce cycle est composé
de deux transformations isochores et de deux transformations isothermes (voir figure 2). Calculer
le travail total en fonction des paramètres. Commenter le signe de W . Le travail est-il récepteur
ou moteur ? Que repésente W sur le diagramme de Clapeyron ?
3. Déterminer les échanges de chaleur Q pour chaque transformation décrivant le cycle ABCDA
puis l’échange de chaleur total.
4. En déduire les variations d’énergie interne pour chaque transformation décrivant le cycle ABCDA
puis la variation d’énergie interne totale.
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Écoulement de gaz dans une tuyère (5 points)
Les gaz brûlés sortant de la chambre de combustion d’une fusée sont supposés parfaits de masse
molaire M (Fig.3).
1. Pour une mole de gaz parfait, on envisage une transformation quasistatique au cours de laquelle
P , V et T varient de dP , dV et dT .
– Écrire dU et dH en fonction de Cv et Cp et en déduire la relation de Mayer Cp − Cv = R.
Exprimer Cp et Cv en fonction de γ et R.
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Figure 2 – Cycle thermodynamique.
– Pour une transformation adiabatique quasistatique faisant passer le gaz de (P1 , T1 ) à (P2 ,
T2 ), exprimer T2 en fonction de P1 , T1 , P2 et γ.
2. Les gaz brûlés sont évacués par une tuyère dont la coupe est donnée ci-dessous. Le régime est
permanent (indépendant du temps) et les grandeurs ne dépendent donc que de x. L’indice 1
concerne l’entrée de la tuyère x = 0 et l’indice 2 la sortie de la tuyère. Lorsqu’il traverse la
tuyère, le gaz n’échange ni travail ni chaleur avec le milieu extérieur.
– On s’intéresse au passage d’une mole de gaz de x = 0 à x. En raisonnant sur une quantité de
gaz initialement comprise entre les sections (A) et (B) de la tuyère, trouver une relation entre
H(x), H1 , w(x), w1 et M où w est la vitesse des gaz et H leur enthalpie.
– Déterminer la relation donnant w2 en fonction de w1 , γ, M , R, T1 , P1 et P2 .
– Le gaz dans la tuyère est en fait de la vapeur d’eau (γ = 1.3). Calculer alors w2 et T2 . On
donne pour cela M (H) = 1 g/mol, M (O) = 16 g/mol, w1 = 0, T1 = 3500 K et P2 /P1 = 0.01.
Figure 3 – Tuyère.
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Cylindre fermé (5 points)
Un cylindre fermé horizontal est divisé en deux compartiments A et B de même volume V0 par
un piston coulissant librement sans frottement. A et B contiennent chacun une mole de gaz parfait
monoatomique à (P0 , T0 ). Le compartiment A est porté très lentement à la température T1 à l’aide
d’une résistance chauffante, le compartiment B reste à T0 par contact thermique avec un thermostat
(voir figure 4).
1. Exprimer les volumes VA et VB et la pression finale d’équilibre Pf en fonction de T1 , T0 et V0
correspondant à la position d’équilibre du piston.
2. Quelle est la variation d’énergie interne du gaz à l’intérieur de A et B ? En déduire la variation
d’énergie interne du système (A + B).
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3. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz en B ? Quel est le travail échangé par
B avec A ? En déduire la quantité de chaleur Q1 reçue par le thermostat.
4. En considérant le système A, trouver la quantité de chaleur Q2 fournie par la résistance chauffante.
5. Faire les applications numériques pour VA , VB , Pf , Q1 et Q2 sachant que T0 = 293 K, T1 = 340
K et V0 = 0.01 m3 .
Figure 4 – Cylindre fermé avec une résistance et un thermostat.
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Calorimétrie (4 points)
On considère un calorimètre de valeur en eau 150 g contenant une masse m1 = 100 g d’eau à θ1 = 10◦ C.
On ajoute une masse m2 = 100 g de glace à θ2 = −10◦ C. On donne cglace = 0.5 cal/g/K, ceau = 4185
J/kg/K, et Lf = 334 J/g.
1. Décrire l’état final du système en supposant le calorimètre parfaitement adiabatique.
2. Le calorimètre n’est en fait pas parfaitement calorifugé. Son coefficient de pertes k est de 50
calories par minute et par degrés. S’il reste de la glace, au bout de combien de temps toute la
glace sera-t-elle fondue si la tempŕature ambiante est θamb = 20◦ C ?
3. Une fois toute la glace fondue, le calorimètre va se réchauffer. Écrire puis résoudre l’équation
différentielle qui régit le réchauffement du calorimètre. Tracer l’allure de la courbe donnant la
température en fonction du temps : θ = f (t).
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Formulaire de thermodynamique
nombre d’Avogadro : NA = 6.0225 × 1023 mol−1
constante des gaz parfaits : R = 8.314 J/(mol.K)
Loi des gaz parfaits : P V = nRT
Fraction molaire du gaz i : yi = nni
i
Fraction massique du gaz i : xi = m
m
Pression partielle du gaz i : Pi = yi P
Dilatation linéaire : ∆L = λL∆T avec λ en K −1 .
Dilatation surfacique : ∆S = σS∆T avec σ en K −1 .
Dilatation volumique : ∆V = κV ∆T avec κ en K −1 .
Équation différentielle de la statique des fluides : dP = −ρgdz.
1 calorie équivaut à 4.185 Joules et 1 wattheure à 3600 Joules.
C
Coefficient γ = Cvp
Gaz monoatomique : Cv = 32 R, Cp = 52 R
Gaz diatomique : Cv = 52 R, Cp = 72 R
Gaz triatomique : Cv = 72 R, Cp = 29 R
relation de Mayer : Cp − Cv = R.
Formule de Clapeyron : L = T (υ2 − υ1 ) dP
dT , où υ1 et υ2 sont les volumes spécifiques des phases 1 et 2.
Lors d’un changement d’état à T constante, la quantité de chaleur fournie est Q = mL avec L la
chaleur latente du changement d’état.
U12 = nCv (T2 − T1 ) et H12 = nCp (T2 − T1 ).
Premier principe pour un système fermé : dU + dEc + dEp = W + Q
Enthalpie : H = U + P V
Travail dW = −P dV , travail technique dW ′ = V dP , travail de transvasement dWt = d(P V ).
Premier principe pour un système ouvert : dH + dEc + dEp = W ′ + Q
P V υ = Cte pour une transformation polytropique
Loi de Laplace : P V γ = Cte pour une transformation adiabatique
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