Examen de thermodynamique

Examen de thermodynamique - S1
IUT - GTE - Marseille - 10 janvier 2011
Dur´ee : 1h50, barˆeme donn´e `a titre indicatif
1 M´elange de gaz (2points)
On consid`ere le syst`eme de la figure 1. On casse la paroi s´eparant les gaz. Calculer la pression et
la temp´erature finales dans l’enceinte `a l’´equilibre. On supposera les gaz et le m´elange comme ´etant
parfaits.
Figure 1 – M´elange de deux gaz.
2 Cycle thermodynamique (4 points)
1. Calculer le travail qu’il faut fournir pour compresser r´eversiblement 1 mole de gaz parfait de
mani`ere isotherme de l’´etat A(P1,V1,T1) `a l’´etat B(P2,V2,T1) avec T1= 300 K, V1= 20
litres et V2= 10 litres.
2. On fait d´ecrire r´eversiblement le cycle ABCDA `a la mole de gaz pr´ec´edente. Ce cycle est compos´e
de deux transformations isochores et de deux transformations isothermes (voir figure 2). Calculer
le travail total en fonction des param`etres. Commenter le signe de W. Le travail est-il r´ecepteur
ou moteur ? Que rep´esente Wsur le diagramme de Clapeyron ?
3. D´eterminer les ´echanges de chaleur Qpour chaque transformation d´ecrivant le cycle ABCDA
puis l’´echange de chaleur total.
4. En d´eduire les variations d’´energie interne pour chaque transformation d´ecrivant le cycle ABCDA
puis la variation d’´energie interne totale.
3´ Ecoulement de gaz dans une tuy`ere (5points)
Les gaz brˆul´es sortant de la chambre de combustion d’une fus´ee sont suppos´es parfaits de masse
molaire M(Fig.3).
1. Pour une mole de gaz parfait, on envisage une transformation quasistatique au cours de laquelle
P,Vet Tvarient de dP ,dV et dT .
–´ Ecrire dU et dH en fonction de Cvet Cpet en d´eduire la relation de Mayer Cp−Cv=R.
Exprimer Cpet Cven fonction de γet R.
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Figure 2 – Cycle thermodynamique.
– Pour une transformation adiabatique quasistatique faisant passer le gaz de (P1,T1) `a (P2,
T2), exprimer T2en fonction de P1,T1,P2et γ.
2. Les gaz brˆul´es sont ´evacu´es par une tuy`ere dont la coupe est donn´ee ci-dessous. Le r´egime est
permanent (ind´ependant du temps) et les grandeurs ne d´ependent donc que de x. L’indice 1
concerne l’entr´ee de la tuy`ere x= 0 et l’indice 2 la sortie de la tuy`ere. Lorsqu’il traverse la
tuy`ere, le gaz n’´echange ni travail ni chaleur avec le milieu ext´erieur.
– On s’int´eresse au passage d’une mole de gaz de x= 0 `a x. En raisonnant sur une quantit´e de
gaz initialement comprise entre les sections (A) et (B) de la tuy`ere, trouver une relation entre
H(x), H1,w(x), w1et Mo`u west la vitesse des gaz et Hleur enthalpie.
– D´eterminer la relation donnant w2en fonction de w1,γ,M,R,T1,P1et P2.
– Le gaz dans la tuy`ere est en fait de la vapeur d’eau (γ= 1.3). Calculer alors w2et T2. On
donne pour cela M(H) = 1 g/mol,M(O) = 16 g/mol,w1= 0, T1= 3500 K et P2/P1= 0.01.
Figure 3 – Tuy`ere.
4 Cylindre ferm´e (5points)
Un cylindre ferm´e horizontal est divis´e en deux compartiments Aet Bde mˆeme volume V0par
un piston coulissant librement sans frottement. Aet Bcontiennent chacun une mole de gaz parfait
monoatomique `a (P0,T0). Le compartiment Aest port´e tr`es lentement `a la temp´erature T1`a l’aide
d’une r´esistance chauffante, le compartiment Breste `a T0par contact thermique avec un thermostat
(voir figure 4).
1. Exprimer les volumes VAet VBet la pression finale d’´equilibre Pfen fonction de T1,T0et V0
correspondant `a la position d’´equilibre du piston.
2. Quelle est la variation d’´energie interne du gaz `a l’int´erieur de Aet B? En d´eduire la variation
d’´energie interne du syst`eme (A+B).
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3. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz en B? Quel est le travail ´echang´e par
Bavec A? En d´eduire la quantit´e de chaleur Q1re¸cue par le thermostat.
4. En consid´erant le syst`eme A, trouver la quantit´e de chaleur Q2fournie par la r´esistance chauf-
fante.
5. Faire les applications num´eriques pour VA,VB,Pf,Q1et Q2sachant que T0= 293 K, T1= 340
K et V0= 0.01 m3.
Figure 4 – Cylindre ferm´e avec une r´esistance et un thermostat.
5 Calorim´etrie (4 points)
On consid`ere un calorim`etre de valeur en eau 150 gcontenant une masse m1= 100 g d’eau `a θ1= 10◦C.
On ajoute une masse m2= 100 g de glace `a θ2=−10◦C. On donne cglace = 0.5cal/g/K,ceau = 4185
J/kg/K, et Lf= 334 J/g.
1. D´ecrire l’´etat final du syst`eme en supposant le calorim`etre parfaitement adiabatique.
2. Le calorim`etre n’est en fait pas parfaitement calorifug´e. Son coefficient de pertes kest de 50
calories par minute et par degr´es. S’il reste de la glace, au bout de combien de temps toute la
glace sera-t-elle fondue si la temp´rature ambiante est θamb = 20◦C?
3. Une fois toute la glace fondue, le calorim`etre va se r´echauffer. ´ Ecrire puis r´esoudre l’´equation
diff´erentielle qui r´egit le r´echauffement du calorim`etre. Tracer l’allure de la courbe donnant la
temp´erature en fonction du temps : θ=f(t).
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Formulaire de thermodynamique
nombre d’Avogadro : NA= 6.0225 ×1023 mol−1
constante des gaz parfaits : R= 8.314 J/(mol.K)
Loi des gaz parfaits : P V =nRT
Fraction molaire du gaz i:yi=ni
n
Fraction massique du gaz i:xi=mi
m
Pression partielle du gaz i:Pi=yiP
Dilatation lin´eaire : ∆L=λL∆Tavec λen K−1.
Dilatation surfacique : ∆S=σS∆Tavec σen K−1.
Dilatation volumique : ∆V=κV ∆Tavec κen K−1.
´
Equation diff´erentielle de la statique des fluides : dP =−ρgdz.
1 calorie ´equivaut `a 4.185 Joules et 1 wattheure `a 3600 Joules.
Coefficient γ=Cp
Cv
Gaz monoatomique : Cv=3
2R,Cp=5 2R
Gaz diatomique : Cv=5
2R,Cp=7 2R
Gaz triatomique : Cv=7
2R,Cp=9 2R
relation de Mayer : Cp−Cv=R.
Formule de Clapeyron : L=T(υ2−υ1)dP
dT , o`u υ1et υ2sont les volumes sp´ecifiques des phases 1 et 2.
Lors d’un changement d’´etat `a Tconstante, la quantit´e de chaleur fournie est Q=mL avec Lla
chaleur latente du changement d’´etat.
U12 =nCv(T2−T1) et H12 =nCp(T2−T1).
Premier principe pour un syst`eme ferm´e : dU +dEc+dEp=W+Q
Enthalpie : H=U+P V
Travail dW =−P dV , travail technique dW ′=V dP , travail de transvasement dWt=d(P V ).
Premier principe pour un syst`eme ouvert : dH +dEc+dEp=W′+Q
P V υ=Cte pour une transformation polytropique
Loi de Laplace : P V γ=Cte pour une transformation adiabatique
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