Th or me de Boltzmann

Soit un ensemble de N particules identiques, en équilibre thermique, satisfaisant au théorème de Boltzmann.
L'énergie de chaque particule ne peut prendre que certaines valeurs Ei, i ∈ ℕ, et pour chaque valeur Ei il existe
mi états permis différents d'égale probabilité.
Soit α=1
k T où k est la constante de Boltzmann et T la température thermodynamique du système.
On définit la fonction de partition de ce système par Z=∑
i=0
∞
mie−αEi.
1) Montrer que l'énergie interne du système est U=−Ndln Z
dα.
2) En déduire que la capacité thermique à volume constant est égale à Kv=N k α2d2ln Z
dα2.
3) Dans cette partie, on considère le cas où l'énergie de chaque particule ne peut prendre que deux valeurs
E0et E1 avec ∆E=E1−E0 0.
a Exprimer le rapport n1
n0
des populations de ces deux niveaux d'énergie, en fonction de m0, m1, k, T et ∆E.
b Représenter n1
n0
en fonction de T.
Quelle est la condition nécessaire pour que n1=n0? Quelle est la température T0 correspondante?
cApplication numérique : k=1,38 10-23 J K-1 ; T = 300 K ; charge du proton e=1,6 10-19 C
m0=1 ; m1=2.
Calculer T0quand ∆E=1 eV et quand ∆E=0,01 eV . Conclusion.
d Soit x=1
2α∆E. Exprimer Kv en fonction de N, k, m1, m0 et x.
Montrer qu'il existe une valeur xm pour laquelle Kv est maximale (anomalie de Schottky).
e Calculer numériquement xm dans le cas où m0=m1=1.
En déduire Kvxm en fonction de N et k et représenter KvT dans ce cas.
4) Les N particules forment un cristal. Chaque particule peut vibrer autour d'une position moyenne avec la
fréquence f et constitue donc un oscillateur spatial équivalent à 3 oscillateurs linéaires de même fréquence f.
L'énergie de chaque oscillateur linéaire est quantifiée, Ei= i1
2
h f où h est la constante de Plänck, et pour
chaque niveau d'énergie il n'existe qu'un seul état permis: ∀i∈ ℕ, mi=1.
Exprimer Kv en fonction de N, k et x avec x=1
2αh f .
Représenter KvT.