Th or me de Boltzmann

Soit un ensemble de N particules identiques, en équilibre thermique, satisfaisant au théorème de Boltzmann.
L'énergie de chaque particule ne peut prendre que certaines valeurs Ei , i ∈ ℕ, et pour chaque valeur E i il existe
m i états permis différents d'égale probabilité.
Soit α=
1
où k est la constante de Boltzmann et T la température thermodynamique du système.
kT
∞
On définit la fonction de partition de ce système par Z=∑ m i e
−α E i
.
i=0
1) Montrer que l'énergie interne du système est U=−N
d ln Z
.
dα
2) En déduire que la capacité thermique à volume constant est égale à
K v=N k α2
d 2 ln Z
.
d α2
3) Dans cette partie, on considère le cas où l'énergie de chaque particule ne peut prendre que deux valeurs
E0 et E1 avec ∆ E=E1−E0 0.
a Exprimer le rapport
n1
des populations de ces deux niveaux d'énergie, en fonction de m 0 , m1 , k, T et ∆ E.
n0
n1
en fonction de T.
n0
Quelle est la condition nécessaire pour que n 1=n 0 ? Quelle est la température T 0 correspondante?
b Représenter
c Application numérique : k=1,38 10-23 J K -1 ; T = 300 K ; charge du proton e=1,6 10 -19 C
m0=1 ; m1=2.
Calculer T 0 quand ∆ E=1 eV et quand ∆ E=0,01 eV . Conclusion.
1
d Soit x= α ∆ E. Exprimer K v en fonction de N, k, m1 , m 0 et x.
2
Montrer qu'il existe une valeur x m pour laquelle K v est maximale (anomalie de Schottky).
e Calculer numériquement x m dans le cas où m0=m 1=1.
En déduire K v x m  en fonction de N et k et représenter K v T dans ce cas.
4) Les N particules forment un cristal. Chaque particule peut vibrer autour d'une position moyenne avec la
fréquence f et constitue donc un oscillateur spatial équivalent à 3 oscillateurs linéaires de même fréquence f.
 
1
h f où h est la constante de Plänck, et pour
2
chaque niveau d'énergie il n'existe qu'un seul état permis: ∀ i ∈ ℕ, mi=1.
L'énergie de chaque oscillateur linéaire est quantifiée, Ei = i
1
Exprimer K v en fonction de N, k et x avec x= α h f .
2
Représenter K v T.