TD N° 12: PROBABILITES ET ALGEBRE LINEAIRE Exercice 1. (Problème EDHEC 2003) Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d’affirmer que : 2 • s’il gagne deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité . 3 1 • s’il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité . 2 1 • s’il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité . 2 1 • s’il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité . 3 Pour tout entier naturel n non nul, on note A n l’événement : « le joueur gagne la n ème partie ». De plus, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose : En = A n –1 ∩ A n ; Fn = An−1 ∩ A n ; G n = A n –1 ∩ An ; H n = An−1 ∩ An . 1) On admet que ( En , Fn , G n , H n ) est un système complet d’événements. a.Montrer, en utilisant la formule des probabilités totales, que : 2 1 ∀n∈IN *, P(En +1) = P(En) + P(Fn). 3 2 b. Exprimer de la même façon (aucune explication n’est exigée) les probabilités P (Fn +1), P (G n +1) et P(H n +1) en fonction de P(En), P(Fn), P(G n) et P(H n). P (E n ) P ( Fn ) c. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose Un = . P ( Gn ) P ( H n ) 0 0 2 / 3 1/ 2 0 0 1 / 2 1 / 3 Vérifier que Un +1 = M U n , où M = . 1/ 3 1/ 2 0 0 0 1 / 2 2 / 3 0 1 1 3 3 −1 −3 3 1 −2 −1 −1 2 2 −3 −3 2 2) a. Soit P = et Q = . 2 −1 1 2 2 1 −1 −2 −1 1 −3 3 1 1 1 1 Calculer P Q. En déduire que P est inversible et donner son inverse. b. On note C1, C2, C3, C4 les colonnes de P. Calculer M C1, M C2 , M C3 et M C4 , puis en déduire 1 1 1 que – , , et 1 sont les valeurs propres de M. 3 6 2 c.Justifier que M = P D P –1, où D est une matrice diagonale que l’on déterminera. Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties. 3) a. Montrer par récurrence que : ∀n∈IN, M n = P D n P –1. b. Montrer, également par récurrence, que : ∀n ≥ 2, Un = M n –2 U2. c. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, donner la première colonne de M n, puis en déduire P(En), P(Fn), P(Gn) et P(Hn). d. Montrer que l’on a : 3 2 2 3 ; lim P(Fn) = ; lim P(Gn) = ; lim P(Hn) = . lim P(En) = n→+∞ n→+∞ 10 10 n→+∞ 10 n→+∞ 10 4) Pour tout entier naturel k non nul, on note Xk la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur gagne la k ème partie et qui vaut 0 sinon ( X1 et X2 sont donc deux variables certaines). a. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, exprimer Ak. en fonction de Ek et Fk. b. En déduire, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la loi de Xk. 5) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note S n la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur lors des n premières parties. a. Calculer P(S n = 2) en distinguant les cas n = 2, n = 3 et n ≥ 4. b. Déterminer P(S n = n). c. Pour tout entier n supérieur ou égal à 3, écrire Sn en fonction des variables X k , puis déterminer E(S n) en fonction de n. Exercice 3 (tiré d’ECRICOME 96) Partie I :On désigne par E l'espace vectoriel R 3, par B = (e 1, e 2, e 3) une base de E et par f l'endomorphisme de E qui, à tout vecteur u de coordonnées (x, y, z) dans la base B associe le vecteur u’ 4 x ' = y de coordonnées (x’, y’, z’) dans la base B tel que 4 y' = 4x + 2 y + 4z 4 z ' = y Ecrire la matrice M de l'endomorphisme f dans la base B. Calculer les valeurs propres de f. f est-il diagonalisable? M est-elle inversible ? Déterminer les sous-espaces propres de f. Partie II : On dispose de deux urnes A et B: initialement l'urne A contient N boules noires tandis que l'urne B contient N boules blanches, avec N ≥ 2. On y effectue une suite d'épreuves, chaque épreuve étant réalisée de la façon suivante : On tire au hasard une boule dans chacune des deux urnes, la boule tirée de l'urne A est mise dans B, celle tirée de B est mise dans A. On appelle Y n la variable aléatoire égale au nombre de boules noires présentes dans l'urne A à l'issue de la kème épreuve et l'on pose Z k = Y k – 1 - Y k pour k entier naturel non nul, avec la convention Y 0 = N. Pour k et j entiers naturels, on pose : p (k, j) = P (Y k = j) où P désigne la probabilité. Ainsi : P (Y k = j) = 0 si j > N, P (Y 0 = N) = 1,P (Y 0 = k) = 0 si k ≠ N, P (Y k = - 1) = 0 1. Etude du cas particulier N = 2 p(k ,0) On note U k = p(k ,1) , V = p ( k , 2) 1 − 1 1 1 4 et W = 2 6 6 1 − 1 1.1. Déterminer U 1.Calculer les probabilités conditionnelles : P Yk = j (Y k + 1 = i) pour i ∈{0, 1, 2} et j ∈{0, 1, 2}, puis montrer que, pour tout entier naturel k, U k + 1 = M U k. 1 1.2. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul : U k = − k −1 2 W+V 1.3.En déduire l'expression de p (k, 0), p (k, 1) et p (k, 2) en fonction de k pour k de N* 1.4. Montrer que l'espérance E (Y k) de la variable Y k est constante. 1.5.Calculer la variance V (Y k) de Y k en fonction de k et sa limite quand k tend vers + ∞. 2. Retour au cas général Dans cette partie, on revient au cas général avec N ≥ 3 et on se propose d'étudier la convergence de la suite(E (Y k)) k ∈ N* 2.1. Quelles sont les valeurs prises par la variable Z k ? Calculer P (Z k = 1) puis P (Z k = - 1) pour j ∈ N, j ≤N et k ∈ N*. Yk −1 = j Yk −1 = j 2.2. En appliquant la formule des probabilités totales, prouver que, pour tout entier naturel k non nul : E (Z k) = 2 E (Y k – 1) – 1 N 2.3. Montrer que la suite (E (Z k)) k ∈ N* est géométrique. 2.4. En déduire l’expression de E (Z k) et de E (Y k) en fonction de k et N. 2.5 Montrer que les deux suites (E (Z k)) k ∈ N* et (E (Y k)) k ∈ N* sont convergentes et donner leur limite quand k tend vers + ∞