Probabilités et Algèbre Linéaire - Exercices et Problèmes

TD N° 12: PROBABILITES ET ALGEBRE LINEAIRE
Exercice 1. (Problème EDHEC 2003)
Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d’affirmer que :
• s’il gagne deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité
2
3
.
• s’il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 1
2
.
• s’il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 1
2
.
• s’il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 1
3
.
Pour tout entier naturel n non nul, on note A
n
l’événement : « le joueur gagne la n
ème
partie ».
De plus, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose :
E
n
= A
n –1
∩ A
n
; F
n
= A
n−1
∩ A
n
; G
n
= A
n –1
∩A
n
; H
n
= A
n−1
∩A
n
.
1) On admet que ( E
n
, F
n
, G
n
, H
n
) est un système complet d’événements.
a.Montrer, en utilisant la formule des probabilités totales, que :
∀n∈ IN *, P ( E
n +1
) = 2
3
P ( E
n
) + 1
2
P ( F
n
).
b. Exprimer de la même façon (aucune explication n’est exigée) les probabilités
P ( F
n +1
), P ( G
n +1
) et P ( H
n +1
) en fonction de P ( E
n
), P ( F
n
), P ( G
n
) et P ( H
n
).
c. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose U
n
=
P E
P F
P G
P H
n
n
n
n
( )
( )
( )
( )
.
Vérifier que U
n +1
= M U
n
, où M =
2 3 1 2 0 0
0 0 1 2 1 3
1 3 1 2 0 0
0 0 1 2 2 3
/ /
/ /
/ /
/ /
.
2) a. Soit P =
1 1 3 3
2 1 1 2
2 1 1 2
1 1 3 3
− − −
−
− −
et Q =
− −
− −
− −
1 3 3 1
2 3 3 2
2 1 1 2
1 1 1 1
.
Calculer P Q. En déduire que P est inversible et donner son inverse.
b. On note C
1
, C
2
, C
3
, C
4
les colonnes de P. Calculer M C
1
, M C
2
, M C
3
et M C
4
, puis en déduire
que – 1
3
, 1
6
, 1
2
et 1 sont les valeurs propres de M.
c.Justifier que M = P D P
–1
, où D est une matrice diagonale que l’on déterminera.
Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties.
3) a. Montrer par récurrence que : ∀n∈IN, M
n
= P D
n
P
–1
.
b. Montrer, également par récurrence, que : ∀n ≥ 2, U
n
= M
n –2
U
2
.
c. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, donner la première colonne de M
n
, puis
en déduire P(E
n
), P(F
n
), P(G
n
) et P(H
n
).
d. Montrer que l’on a :
lim
n→+∞
P ( E
n
) = 3
10
; lim
n→+∞
P ( F
n
) = 2
10
; lim
n→+∞
P ( G
n
) = 2
10
; lim
n→+∞
P ( H
n
) = 3
10
.
4) Pour tout entier naturel k non nul, on note X
k
la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur
gagne la k
ème
partie et qui vaut 0 sinon ( X
1
et X
2
sont donc deux variables certaines).

a. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, exprimer A
k
. en fonction de E
k
et F
k
.
b. En déduire, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la loi de X
k
.
5) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note S
n
la variable aléatoire égale au
nombre de parties gagnées par le joueur lors des n premières parties.
a. Calculer P ( S
n
= 2) en distinguant les cas n = 2, n = 3 et n ≥ 4.
b. Déterminer P ( S
n
= n ).
c. Pour tout entier n supérieur ou égal à 3, écrire S
n
en fonction des variables X
k
, puis
déterminer E ( S
n
) en fonction de n .
Exercice 3 (tiré d’ECRICOME 96)
Partie I : On désigne par E l'espace vectoriel R
3, par B = (e
1
, e
2
, e
3
) une base de E et par f
l'endomorphisme de E qui, à tout vecteur u de coordonnées (x, y, z) dans la base B associe le vecteur u’
de coordonnées (x’, y’, z’) dans la base B tel que
=++=
=
y'z4
z4y2x4'y4
y'x4
Ecrire la matrice M de l'endomorphisme f dans la base B.
Calculer les valeurs propres de f.
f est-il diagonalisable? M est-elle inversible ?
Déterminer les sous-espaces propres de f.
Partie II : On dispose de deux urnes A et B: initialement l'urne A contient N boules noires tandis que
l'urne B contient N boules blanches, avec N ≥ 2. On y effectue une suite d'épreuves, chaque épreuve étant
réalisée de la façon suivante :
On tire au hasard une boule dans chacune des deux urnes, la boule tirée de l'urne A est mise dans B, celle
tirée de B est mise dans A. On appelle Y
n
la variable aléatoire égale au nombre de boules noires
présentes dans l'urne A à l'issue de la k
ème
épreuve et l'on pose Z
k
= Y
k – 1
- Y
k
pour k entier naturel non
nul, avec la convention Y
0
= N.
Pour k et j entiers naturels, on pose : p (k, j) = P (Y
k
= j) où P désigne la probabilité.
Ainsi : P (Y
k
= j) = 0 si j > N, P (Y
0
= N) = 1,P (Y
0
= k) = 0 si k ≠ N, P (Y
k
= - 1) = 0
1. Etude du cas particulier N = 2
On note U
k
=
)2,k(p
)1,k(p
)0,k(p
, V =
1
4
1
6
1
et W =
−
−
1
2
1
6
1
1.1. Déterminer U
1
.Calculer les probabilités conditionnelles :
jY
k
P
=
(Y
k + 1
= i) pour i ∈ {0, 1, 2} et j ∈ {0,
1, 2}, puis montrer que, pour tout entier naturel k, U
k + 1
= M U
k
.
1.2. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul : U
k
= VW
2
1
1k
+
−
−
1.3.En déduire l'expression de p (k, 0), p (k, 1) et p (k, 2) en fonction de k pour k de N *
1.4. Montrer que l'espérance E (Y
k
) de la variable Y
k
est constante.
1.5.Calculer la variance V (Y
k
) de Y
k
en fonction de k et sa limite quand k tend vers + ∞ .
2. Retour au cas général
Dans cette partie, on revient au cas général avec N ≥ 3 et on se propose d'étudier la convergence de la
suite(E (Y
k
))
k ∈ N*
2.1. Quelles sont les valeurs prises par la variable Z
k
?
Calculer
jY
1k
P
=
−
(Z
k
= 1) puis
jY
1k
P
=
−
(Z
k
= - 1) pour j ∈ N, j ≤ N et k ∈ N*.
2.2. En appliquant la formule des probabilités totales, prouver que, pour tout entier naturel k non nul :
E (Z
k
) =
N
2
E (Y
k – 1
) – 1
2.3. Montrer que la suite (E (Z
k
))
k ∈ N* est géométrique.
2.4. En déduire l’expression de E (Z
k
) et de E (Y
k
) en fonction de k et N.
2.5 Montrer que les deux suites (E (Z
k
))
k ∈ N* et (E (Y k
))
k ∈ N* sont convergentes et donner leur limite
quand k tend vers + ∞