TS2 15/2/2013 Contrôle de mathématiques n° 6 Exercice 1 (8 points

TS2 15/2/2013
Contrôle de mathématiques n° 6
Exercice 1 (8 points) : Les parties A et B sont indépendantes
Un site internet propose des jeux en ligne.
Partie A :
Pour un premier jeu :
• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à
2
5
• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à
4
5
.
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gn l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie »
et on note pn la probabilité de l’évènement Gn.
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1.
1°) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre :
2°) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn+1 =
1
5
pn +
1
5
.
3°) Pour tout n entier naturel non nul, on pose : un = pn −
1
4
.
a. Montrer que (un)n ∈ IN est une suite géométrique de raison
1
5
et de premier terme u1 à préciser.
b. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn =
3
41 5
n1
1
4
.
c. Déterminer la limite de pn .
Partie B : Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont
indépendantes. La probabilité de gagner chaque partie est égale à
1
4
.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. Les résultats seront arrondis
à 10-4 près.
1°) a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne exactement 8 parties ?
c. Quelle est la probabilité que le joueur gagne moins de 6 parties ?
d. Déterminer l’espérance de X.
2°) Le joueur doit payer 30€ pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8€.
a. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
b. Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 € ? Le résultat
sera arrondi à 10-5 près.
Exercice 2 (7 points) : Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
O;u;v
.
1°) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation d’inconnue z : z2 + 8
3
z + 64 = 0.
2°) On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes a = −4
3
− 4i
et b = − 4
3
+ 4i. Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB.
3°) On désigne par C le point d’affixe c tel que c est solution de l’équation
3 z2 z35i
.
Déterminer l’affixe c du point C.
On désigne par D le point d’affixe d tel que d est solution de l’équation
2 z3i
z17 511 5i
.

Déterminer l’affixe d du point D. On pourra admettre que c =
3
+ i et d = 2i.
4°) Démontrer que O, A et C sont alignés.
5°) On appelle G le point tel que
OGDGBG 0
.
a. Montrer que le point G a pour affixe g = −4
3
+ 6i.
b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1 cm).
c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.
Exercice 3 (5,5 + 1 points) :
Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) =
9
2e2x 3e3x
.
On nomme Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
O; i ; j
d’unité 1 cm.
1°) Démontrer que f est solution de l’équation (E) : y′ +2y = 3 e-3x .
2°) Montrer que pour tout x de IR, on a : f(x) =
3e2x 3
2ex
.
3°) Déterminer la limite de f en +∞ puis la limite de f en − ∞.
4°) Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f .
5°) Déterminer l’équation de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse 0,5.
6°) Déterminer la primitive de f sur IR qui s’annule en 0.
BONUS : Tracer la courbe Cf et tout ce qui est utile…