3 - mathematics4n

TS
Devoir maison n°3 (Année 2012/2013)
Enoncé
Marion débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner que de perdre la première partie.
On admet que, lorsqu’elle gagne une partie, la probabilité qu’elle gagne la suivante est de 0, 6, alors que,
si elle perd une partie, la probabilité qu’elle perde la suivante est de 0, 7.
Pour tout entier naturel n non nul, on note :
- l’évènement G n : "Marion gagne la n ième partie"
- l’évènement T n : "Marion perd la n ième partie"
- x n la probabilité de l’évènement G n .
- y n la probabilité de l’évènement T n .
1) D’après l’énoncé x 1 = pG 1  = y 1 = pT 1  = 0, 5
2) Calculer x 2 et en déduire y 2 . (On pourra s’aider de l’arbre pondéré ci-dessous)
0,6 G 2
↗
0,5 G 1
↗
↘
╱
0,4 T 2
╲
0,3 G 2
∙
↘
↗
0,5 T 1
↘
0,7 T 2
2) G 1 et T 1 forment une partition de l’univers donc, d’après la formule des probabilités totales,
PG 2  = PG 1 ∩ G 2  + PT 1 ∩ G 2  = PG 1  × P G 1 G 2  + PT 1  × P T 1 G 2  = 0. 5 × 0. 6 + 0. 5 × 0. 3 = 0. 45
La probabilité pour Marion gagne la deuxième partie est 0, 45.
La probabilité qu’elle la perde est donc de 1 − 0. 45 soit 0. 55
Donc x 2 = 0, 45 et y 2 = 0, 55
3) G n et T n forment une partition de l’univers donc, d’après la formule des probabilités totales,
PG n+1  = PG n ∩ G n+1  + PT n ∩ G n+1  = PG n  × P G n G n+1  + PT n  × P T n G n+1  = x n × 0. 6 + y n × 0. 3
de même
PT n+1  = PG n ∩ T n+1  + PT n ∩ T n+1  = PG n  × P G n T n+1  + PT n  × P T n T n+1  = x n × 0. 4 + y n × 0. 7
donc pour tout entier naturel non nul, on a : x n+1 = 0, 6x n + 0, 3y n et y n+1 = 0, 4x n + 0, 7y n
4) On considère l’algorithme ci-dessous :
Variables
n et i nombres entiers naturels non nuls : a, b, x et y nombres réels
Entrée
Saisir n
Initialisation x prend la valeur 0, 5
y prend la valeur 0, 5
Traitement
Pour i allant de 2 à n
a prend la valeur x
b prend la valeur y
x prend la valeur 0, 6a + 0, 3b
y prend la valeur 0, 4a + 0, 7b
Sorties
Afficher x
Afficher y
a) On choisit N = 4. Compléter le tableau d’étapes ci-dessous
Etapes
a
b
x
y
Initialisation
/////
/////
0, 5
0, 5
i=2
0.5
0.5
i=3
0.45
0.55
0.435
0.565
i=4
0.435
0.565
0.4305
0.5695
0.45
0.55
b) Quel est le rôle de cet algorithme ?
Cet algorithme permet de calculer x n et y n où n est un entier naturel non nul choisi par l’utilisateur
5) Pour tout entier naturel n non nul, on pose :
v n = x n + y n et w n = 4x n − 3y n .
a) Démontrer que la suite v n  est constante.
∀n ∈ ℕ ∗ , v n+1 = x n+1 + y n+1 = 0, 6x n + 0, 3y n + 0, 4x n + 0, 7y n = x n + y n = v n
Or x 1 + y 1 = 0. 5 + 0. 5 = 1
La suite v n  est la suite constante et pour tout entier naturel n non nul v n = 1
b) Démontrer que la suite w n  est géométrique et exprimer w n en fonction de n.
∀n ∈ ℕ ∗ , w n+1 = 4x n+1 − 3y n+1 = 4x n × 0. 6 + y n × 0. 3  − 3x n × 0. 4 + y n × 0. 7  = 1. 2x n − 0. 9y n =
0. 34x n − 3y n  = 0. 3w n
w 1 = 4x 1 − 3y 1 = 0. 5
La suite w n  est la suite géométrique de premier terme 0.5 et de raison 0.3
∀n ∈ ℕ ∗ , w n = 0. 5 × 0. 3 n−1 Attention à l’exposant le premier terme n’est pas calculé
pour 0 mais pour 1
c) Exprimer x n en fonction de de v n et w n puis en fonction de n.
On a pour tout entier naturel n non nul
xn + yn = 1
4x n − 3y n = 0. 5 × 0. 3
On additionne et on trouve 7x n = 3 + 0. 5 × 0. 3 n−1
∀n ∈ ℕ ∗ , x n = 3 + 0. 5 × 0. 3 n−1
7
7
d) Etudier la convergence de la suite x n .
0. 3 ∈ −1; 1 donc n+∞
lim 0. 3 n−1 = 0
donc n+∞
lim 0. 5 0. 3 n−1 = 0
7
Par limite de somme on a n+∞
lim 3 + 0. 5 0. 3 n−1 = 3
7
7
7
3
La suite x n  converge et sa limite est
7
2
n−1
⇔
3x n + 3y n = 3
4x n − 3y n = 0. 5 × 0. 3 n−1