Révisions - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne
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S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences Révisions 2011-2012 Licence mention Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1 Exercices de révision A préparer pour la séance du 6 mars 2012 Exercice 1. Calcul de probabilités Une urne contient 3 boules portant le numéro 1, 1 boule portant le numéro 2, 4 boules portant le numéro 3 et 2 boules portant le numéro 4. Dans chacune des questions suivantes, on proposera un espace probabilisé , A, P adapté à la situation considérée. 1) On tire au hasard une boule de l’urne. Quelle est la probabilité de l’événement A : "obtenir un numéro pair" ? 2) On tire simultanément deux boules de l’urne. a) Quelle est la probabilité de l’événement B : "obtenir deux numéros pairs" ? b) Quelle est la probabilité de l’événement C : "obtenir deux fois le même numéro" ? 3) On tire successivement et avec remise quatre boules de l’urne. a) Calculer la probabilité de l’événement D : "obtenir une suite de numéros strictement croissante". b) On considère les événements E : "obtenir au moins une fois le numéro 1 et le numéro 2", F : "ne pas obtenir le numéro 1" et G : "ne pas obtenir le numéro 2". Donner l’expression générale de la probabilité P F G puis calculer P F G . Exprimer l’événement E en fonction des événements F et G. En déduire P E . Exercice 2. Conditionnement ? Indépendance ? Un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir. Sur son trousseau, il y a n clefs dont une seule est la bonne. Il ne voit évidemment pas laquelle est la bonne clé puisqu’il est dans le noir. Il essaie donc les clés jusqu’à ce qu’il trouve la bonne et qu’il puisse alors ouvrir la porte. On suppose construit un espace probabilisé , A, P adapté aux situations rencontrées dans la suite. Pour tout entier i 1, on désigne par A i l’événement "la porte s’ouvre au i-ème essai". Pour tout entier k 1, on désigne par B k l’événement "le nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte est k". 1) Pour tout entier k 1, exprimer l’événement B k à l’aide des événements A i . 2) On suppose que le gardien essaie les clés une à une, sans utiliser deux fois la même. Calculer la probabilité de B k pour k 1. 3) Lorsque le gardien est ivre, il mélange toutes les clés à chaque tentative donc il peut essayer plusieurs fois la même clé. Calculer la probabilité de B k pour k 1. 4) Le gardien est ivre un jour sur trois. Sachant qu’un jour n tentatives ont été nécessaires pour ouvrir la porte, quelle est (en fonction de n) la probabilité que le gardien ait été ivre ce jour là ? Exercice 3. Probabilités et arithmétique Soit un entier n non premier supérieur ou égal à 2. On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir un nombre au hasard dans l’ensemble 1, 2, . . . , n (par exemple en tirant une boule au hasard dans une urne contenant n boules indiscernables numérotées de 1 à n). Un espace probabilisé adapté à cette expérience est , A, P , avec 1, 2, . . . , n , A P et P l’équiprobabilité sur , A . 1) Soit d est un diviseur de n : il existe alors un entier k d tel que n k d d. Soit l’évenement A d ”le nombre 1 . (On pourra commencer obtenu est un multiple de d”. Décrire l’ensemble A d et en déduire que P A d d par traiter l’exemple n 30 et d 2). 2) Soient d 1 et d 2 deux diviseurs premiers de n, et les événements A d 1 et A d 2 définis comme au a). Justifier l’égalité A d 1 A d 2 A d 1 d 2 . En déduire que A d 1 et A d 2 sont indépendants. (On pourra commencer par traiter l’exemple n 30, d 1 2 et d 2 3). Stéphane Ducay 1 S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Révisions 3) On considère la suite croissante d 1 , d 2 , ..., d k des diviseurs premiers de n, obtenue à partir de la k d i i . Montrer que les événements A d 1 , A d 2 , ..., A d k décomposition de n en produit de facteurs premiers : n i 1 sont indépendants dans leur ensemble, puis qu’ils sont mutuellement indépendants. 4) On désigne par B n l’ensemble des entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n, et par n l’indicateur d’Euler de n, c’est-à-dire le cardinal de B n . k Exprimer B n en fonction des A d i . En déduire que n n 1 1 . di i 1 En déduire 60 . On décrira l’ensemble B 60 pour vérification. Stéphane Ducay 2
