Révisions - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Révisions
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Exercices de révision
A préparer pour la séance du 6 mars 2012
Exercice 1.Calcul de probabilités
Une urne contient 3 boules portant le numéro 1, 1 boule portant le numéro 2, 4 boules portant le numéro 3
et 2 boules portant le numéro 4.
Dans chacune des questions suivantes, on proposera un espace probabilisé ,A,Padapté à la situation
considérée.
1) On tire au hasard une boule de l’urne.
Quelle est la probabilité de l’événement A: "obtenir un numéro pair" ?
2) On tire simultanément deux boules de l’urne.
a) Quelle est la probabilité de l’événement B: "obtenir deux numéros pairs" ?
b) Quelle est la probabilité de l’événement C: "obtenir deux fois le même numéro" ?
3) On tire successivement et avec remise quatre boules de l’urne.
a) Calculer la probabilité de l’événement D: "obtenir une suite de numéros strictement croissante".
b) On considère les événements E: "obtenir au moins une fois le numéro 1 et le numéro 2", F: "ne
pas obtenir le numéro 1" et G: "ne pas obtenir le numéro 2".
Donner l’expression générale de la probabilité PFGpuis calculer PFG.
Exprimer l’événement Een fonction des événements Fet G. En déduire PE.
Exercice 2.Conditionnement ? Indépendance ?
Un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir. Sur son trousseau, il y a nclefs dont une seule est la
bonne. Il ne voit évidemment pas laquelle est la bonne clé puisqu’il est dans le noir. Il essaie donc les clés
jusqu’à ce qu’il trouve la bonne et qu’il puisse alors ouvrir la porte.
On suppose construit un espace probabilisé ,A,Padapté aux situations rencontrées dans la suite.
Pour tout entier i1, on désigne par Ail’événement "la porte s’ouvre au i-ème essai".
Pour tout entier k1, on désigne par Bkl’événement "le nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte
est k".
1) Pour tout entier k1, exprimer l’événement Bkà l’aide des événements Ai.
2) On suppose que le gardien essaie les clés une à une, sans utiliser deux fois la même. Calculer la
probabilité de Bkpour k1.
3) Lorsque le gardien est ivre, il mélange toutes les clés à chaque tentative donc il peut essayer plusieurs
fois la même clé. Calculer la probabilité de Bkpour k1.
4) Le gardien est ivre un jour sur trois. Sachant qu’un jour ntentatives ont été nécessaires pour ouvrir la
porte, quelle est (en fonction de n) la probabilité que le gardien ait été ivre ce jour là ?
Exercice 3.Probabilités et arithmétique
Soit un entier nnon premier supérieur ou égal à 2.
On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir un nombre au hasard dans l’ensemble 1,2,...,n
(par exemple en tirant une boule au hasard dans une urne contenant nboules indiscernables numérotées de 1 à
n). Un espace probabilisé adapté à cette expérience est ,A,P, avec   1,2,...,n,APet P
l’équiprobabilité sur ,A.
1) Soit dest un diviseur de n: il existe alors un entier kdtel que nkdd. Soit l’évenement Ad”le nombre
obtenu est un multiple de d”. Décrire l’ensemble Adet en déduire que PAd1
d.(On pourra commencer
par traiter l’exemple n 30 et d 2).
2) Soient d1et d2deux diviseurs premiers de n, et les événements Ad
1
et Ad
2
définis comme au a). Justifier
l’égalité Ad
1
Ad
2
Ad
1
d
2
. En déduire que Ad
1
et Ad
2
sont indépendants. (On pourra commencer par traiter
l’exemple n 30, d12et d23).
Stéphane Ducay 1

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Révisions
3) On considère la suite croissante d1,d2, ..., dkdes diviseurs premiers de n, obtenue à partir de la
décomposition de nen produit de facteurs premiers : n
i1
kdi
i
. Montrer que les événements Ad
1
,Ad
2
, ..., Ad
k
sont indépendants dans leur ensemble, puis qu’ils sont mutuellement indépendants.
4) On désigne par Bnl’ensemble des entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à net premiers avec n,
et par nl’indicateur d’Euler de n, c’est-à-dire le cardinal de Bn.
Exprimer Bnen fonction des Ad
i
. En déduire que nn
i1
k11
di.
En déduire 60. On décrira l’ensemble B60 pour vérification.
Stéphane Ducay 2