Test de niveau en mathématiques pour concours TSS

STATOSPHERE
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PRÉPARATION INTENSIVE AU CONCOURS TSS 2025
TEST DE NIVEAU
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Exercice 1 :
1. On considère les intégrales suivantes :
I=Z1
0
dx
(1 + x2)2, K =Zπ/4
0
ln(1 + tan(x)) dx,
A=Zπ/4
0
ln(cos(x)) dx, B =Zπ/4
0
ln cos π
4−x dx
(a) Calculer I.
(b) Comparer Aet B.
(c) En déduire la valeur de K.
Exercice 2 :
2. Une variable aléatoire Xprend les valeurs 1,−1et 2avec les probabilités respectives
ea, ebet ec, où a,bet csont en progression arithmétique.
On suppose que l’espérance mathématique E(X)de Xvaut 1
(a) Calculer a,bet c.
(b) En déduire la variance V(X)de X.
Exercice 3 :
On considère deux nombres complexes z1= 1 −iet z2= 2 + √3 + i.
1. Écrire z1sous forme trigonométrique.
2. Écrire z1
z2sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
3. En déduire la forme trigonométrique de z2.
4. Donner la valeur de cos π
12 et de sin π 12 .
Exercice 4 :
nétant un entier naturel non nul, on place dans une urne nboules rouges, 8+nboules
noires et 20 boules blanches.

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Un joueur tire une boule de l’urne ; on suppose tous les tirages équiprobables. S’il tire
une boule rouge, il perd. S’il tire une boule noire, il gagne. S’il tire une boule blanche, il
remet cette boule dans l’urne et effectue un nouveau tirage, toujours avec équiprobabilité.
S’il tire alors une noire, il gagne sinon il perd.
1. (a) Démontrer que la probabilité que ce joueur a de gagner est f(n)où fest
l’application de R+dans Rtelle que
f(x) = (x+ 8)(x+ 24)
2(x+ 14)2.
(b) Déterminer l’entier npour que cette probabilité soit maximale. Calculer alors
cette probabilité.
(c) Déterminer l’entier npour que cette probabilité soit minimale. Calculer alors
cette probabilité.
2. Dans cette question, on suppose que n= 16. Pour jouer, le joueur a misé 8 unités
monétaires. pet qétant des entiers naturels tels que p > q > 8, s’il gagne à l’issue du
premier tirage, on lui remet punités monétaires et s’il gagne à l’issue du deuxième
tirage, on lui remet qunités monétaires. S’il perd il ne reçoit rien. Soit Xla variable
aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
(a) Déterminer la loi de Xen fonction de pet qainsi que son espérance mathéma-
tique.
(b) On suppose que pet qsont tels que le jeu est équitable c’est à dire l’espérance
mathématique du gain algébrique est nulle. Montrer alors que 3p+q= 60.
Déterminer les couples (p, q)possibles pour que le jeu soit équitable.
(c) Pour p= 16 et q= 12, calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X.
Exercice 5 :
On considère la suite de fonctions numériques (fn)définies sur l’ensemble des nombres
réels par :
fn(x) = xnsin(x),
où nest un entier naturel.
1. Étudier les variations de fnsur 0,π
2et donner l’allure de son graphe.
2. On pose
In=Zπ/2
0
fn(x)dx,
trouver une relation de récurrence entre Inet In+2 pour tout n.

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3. Soit la suite de fonctions (un(x)) définie par :
un+1(x) = un(x) + fn+1(x)et u0(x) = f0(x).
Étudier la convergence de cette suite.
On note u(x)la limite quand elle existe de la suite (un(x)).
Exercice 6 :
Partie A : Introduction d’une suite (un)n∈N∗
1. (a) Montrer que ∀x∈R+,ln x≤x−1. En déduire que ∀k∈N,
Zk+1/2
k−1/2
ln x
kdx ≤0.
(b) Prouver alors que : ∀n∈N∗,
Zn+1/2
1/2
ln x dx −ln(n!) ≤0.
(c) Montrer que ∀n∈N∗,
ln(n!) + n−n+1
2ln n+1 2−ln √2≥0.
2. Soit get fles fonctions numériques définies sur I= [0,1[ par
g(x) = 1
1−x2
f(x) = 1
xRx
0g(t)dt si x6= 0 et f(0) = 1
(a) Dresser le tableau de variations de g.
(b) Montrer que ∀x∈]0,1[,1≤f(x)≤g(x).
(On pourra appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction uh −→
Ra
0g(t)dt dans l’intervalle [0, x]ou utiliser la valeur moyenne de gsur [0, x].)
fest-elle continue en 0?
(c) Montrer qu’il existe deux réels aet btels que ∀t∈I,
g(t) = a
1−t+b 1 + t.

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En déduire que ∀x∈]0,1[,
f(x) = 1
2xln 1 + x 1−x.
3. Soit (un)la suite définie sur N∗par :
un= ln(n!) + n−n+1
2ln n
(a) Vérifier que ∀n∈N∗,
un+1 −un= 1 −f1
2n+ 1;
en déduire le sens de variation de la suite (un).
(b) Montrer que ∀n∈N∗, un≥ln √2.
(c) Montrer que la suite (Un)est convergente
Partie B : Recherche de la limite de la suite (un)
On admettra que si une suite (αn)a pour limite `, alors la suite (α2n)a aussi pour
limite `.
Soit (vn)la suite définie par :
v0=π
2et ∀n∈N∗, vn=Zn/2
0
sinnt dt.
1. a) Calculer v1. Montrer que la suite (vn)est décroissante et positive.
b) En intégrant par parties, prouver que :
(E) : ∀n∈N, vn+2 =n+ 1
n+ 2vn.
c) Montrer que :
∀n∈N,n+ 1
n+ 2 ≤vn+1 vn≤1
et calculer alors lim
n→+∞
vn+1
vn.
d) Démontrer que la suite (an)définie par :
∀n∈N, an= (n+ 1)vn+1vn
est constante (Indication : Calculer an+1
an). Déterminer cette constante.

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e) Vérifier que :
∀n∈N, nv2
n=n
n+ 1an
vn
vn+1
.
En déduire que lim
n→+∞
nv2
n=π
2.
2. Pour tout entier naturel n, on pose bn=v2n.
a) Quelle est la limite de la suite (nb2
n)?
b) En utilisant la relation (E), démontrer par récurrence que :
∀n∈N, bn=(2n)!
22n(n!)2
π
2.