Études de fonctions réelles

Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI
TD 4
Études de fonctions réelles
Généralités sur les fonctions
Exercice 1 : Soient f:R→Ret g:R→Rdeux fonctions.
1. Écrire la définition à l’aide de quantificateurs de "fest croissante". La négation de "fest croissante"
est-elle "fest décroissante"? Justifier.
2. Si fet gsont impaires, que peut-on dire des fonctions f g, f ◦g?
Exercice 2 : [corrigé] Après avoir donné l’ensemble de définition, étudier la parité ou la périodicité
de la fonction fpuis indiquer l’intervalle sur lequel il suffit d’étudier les fonctions.
(a) f(x) = sin2(x) cos(2x); (b) f(x) = sin(ωx)avec ω > 0; (c) f(x) = ln 1−x
1 + x;
(d) f(x) = ln(|x|); (e) f(x) = ln 1 + sh(x)
1−sh(x);(f) f(x) = ln(√x2+ 1 + x);
(g) f(x) = 3 sin(x) + 2 sin(2x) + sin(3x).
Exercice 3 : Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes sans étudier les fonctions :
(a) x7→ 1 + sin x;(b) x7→ cos(x) + sin(x); (c) x7→ cos x−π
4;
(d) x7→ 2− |x2−1|;(e) x7→ ln(2x); (f) x7→ tan(2x).
Exercice 4 : [solutions] Justifier que les fonctions, dont une expression algébrique est donnée ci-
dessous, sont dérivables sur un ensemble à préciser, puis calculer les dérivées :
(a) (2x2−x−1)6; (b) 2x+ 1 −3
(x−2)3; (c) x5+x4−2x2+ 1 (x2−1)2;
(d) (x−2)(x−4)5(x−8)7; (e) r1−x
1 + x; (f) p1−ln(x);
(g) √x3−3x+ 2; (h) 3
p(x2−1)2; (i) ln(x2+ 3x);
(j) x1−√x
1 + √x; (k) (chx)x; (l) ch(ln(√x2+ 1 + x)).
Calculs de limites
Exercice 5 : [solutions] Déterminer les limites suivantes :
(a) lim
x→+∞(ln(x+ 1) −ln(2x−3)) ; (b) lim
x→0+√xln x
x+ 1; (c) lim
x→+∞x√xe−x3;
(d) lim
x→+∞(ex−3x2−1) ; (e) lim x→+∞(ln(x)−x2); (f) lim x→+∞
ln(x+ 1)
x;
(g) lim
x→−∞ xe−x2;(h) lim
x→0+
x3+ 2x2
x2+ 1 e1
x; (i) lim
x→+∞
ln(x)
ex.
1

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Exercice 6 : [solutions] Calculer les limites suivantes aux points proposés :
(a) x3+x2+x−14
x2−4en 2; (b) 1 x2−1−2 x2+ 2x−3en 1; (c) √2x+ 1 −1 xen 0;
(d) √x+ 5 −3
x−4en 4; (e) √x4+x2+ 1 −x(x+ 1) en +∞; (f) √x2+ 1 −3x
√x2+ 3 −4xen +∞puis −∞.
Exercice 7 : [solutions] Déterminer les limites des fonctions suivantes au point x0:
(a) tan(x)
x, x0= 0; (b) sh(x) x, x0= 0; (c) 1−cos(x) x, x0= 0;
(d) ln(cos(x))
x2, x0= 0; (e) x ex−1, x0= 0; (f) ln(x) x−1, x0= 1.
Exercice 8 : [indications] [solutions] Déterminer les limites suivantes aux points proposés :
(a) f(x) = (1 + x)1/x, en 0+; (b)f(x) = (ln(x))1/x, en +∞; (c) f(x) = (ch(x))ln(x)en 0+puis +∞.
Exercice 9 : [solutions] Pour les fonctions suivantes, calculer lim
x→+∞(f(x)−x). En déduire les asymp-
totes au voisinage de +∞des courbes représentatives des fonctions suivantes :
(a) f(x) = (x+ 2)(1 + e−x/2)en +∞; (b) f(x) = √1 + x2en ±∞; (c) f(x) = xln(ex+ 1)
x−1en +∞.
Études de fonctions
Exercice 10 : Étudier les fonctions suivantes :
(a) f(x) = x3−x−6; (b) f(x) = ex+ 4
2ex−1; (c) f(x) = x2−x x−3; (d) f(x) = 1 x2−8 x+ 1;
(e) f(x) = ln x+ 1
x−1; (f) f(x) = ln(x)−x2−1 x2+ 1; (g) f(x) = xe−x; (h) f(x) = (2x−1) ln (x+ 1) ;
Exercice 11 : [corrigé] On considère la fonction fdéfinie sur ]0; +∞[par : f(x) = xln x+ 2
x+x 4+1 2.
1. (a) Montrer que lim
x→+∞f(x) = + ∞.
(b) En posant x=2
u, montrer que lim
x→+∞xln x+ 2
x= 2. En déduire lim
x→+∞f(x)−x
4+5 2.
Qu’en déduit-on pour la courbe représentative de f?
(c) Déterminer : lim
x→0+f(x).
2. (a) Justifier que fest dérivable sur ]0; +∞[, et calculer f′(x)sur cet ensemble.
(b) Pour x > 0, on pose : g(x) = ln(x+ 2) −ln(x)−2
x+ 2 +1 4. Étudier les variations de gen préci-
sant les limites en +∞et 0+.
(c) Vérifier que pour tout x > 0,g(x)>0. En déduire les variations de f.
(d) Dresser le tableau de variations de fet tracer sa courbe représentative le plus précisément pos-
sible.
2

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Exercice 12 : Étudier les fonctions suivantes :
(a) f(x) = xx;(b) f(x) = x1/x ; (c) f(x) = xln(x).
Exercice 13 : On note fla fonction définie par f(x) = 1
cos(x) + sin(x).
(Q 1) Soit x∈R.Factoriser l’expression cos(x) + sin(x).
(Q 2) Déterminer le domaine de définition Dde fet expliquer pourquoi il est possible de restreindre
l’étude de fà l’intervalle [0; 2π]∩ D.
(Q 3) Étudier la dérivabilité de fsur Det déterminer l’expression de sa dérivée.
(Q 4) Déterminer le tableau de variations sur [0; 2π]∩ D et tracer l’allure de sa courbe représentative.
Exercice 14 : [corrigé] On pose pour n∈N∗,la fonction fndéfinie sur R∗
+par :
∀x > 0; fn(x) = xln(x)n
On note Cnla courbe représentative de fn.
(Q 1) Quelle est la limite de fnen 0?
(Q 2) Étudier les variations de fn.On distinguera deux cas suivant la parité de n.
(Q 3) Démontrer que toutes les courbes Cnpassent par deux points fixes.
(Q 4) Étudier les positions relatives de Cn+1 et Cnlorsque xdécrit [1; +∞[.
(Q 5) Construire C1et C2sur un même graphique.
Obtention d’inégalités
Exercice 15 : [indications] Établir les inégalités suivantes :
(Q 1) ∀x∈]−1,+∞[,x
1+x6ln(1 + x)6x
(Q 2) ∀x∈R+, x −x3
6≤sin(x)≤x. Quelles inégalités peut-on obtenir si x < 0?
Exercice 16 :
1. On rappelle que ∀x∈R∗, ex>1 + xavec égalité si et seulement si x= 0. En déduire : ∀x < 1, ex<
1
1−x, puis : ∀n∈N∗,1 + 1
nn≤e≤1 + 1 nn+1.
2. On dit que xest une valeur approchée de eà10−4près lorsque |x−e| ≤ 10−4. À l’aide de la question
précédente, déterminer une valeur approchée de eà10−4sachant que e≤3.
Exercice 17 : Soient aet bdeux réels tels que : 0< a < b. Montrer que :
∀x > 0, ae−bx −be−ax > a −b.
(on pourra étudier la fonction f(x) = ae−bx −be−ax −a+b...)
Exercice 18 : Montrer que :
∀a > 0,∀b > 0,ln(a) + ln(b)
2≤ln a+b 2.
Exercice 19 : Pour a∈R, donner le tableau de variations de la fonction définie par f(x) = sh(x)−2x−a.
Pour quelles valeurs de ala fonction fadmet-elle un maximum strictement positif ?
3

Indications et solutions du TD 4 Mathématiques PTSI
Indications
Exercice 8 : Attention à l’erreur classique suivante : si
u(x)tend vers 1et v(x)tend vers +∞, alors la limite de
l’expression u(x)v(x)ne vaut pas 1.
Considérons par exemple l’expression e1/xx, alors
u(x) = e1/x tend vers 1lorsque xtend vers +∞. Cette
expression est donc bien de la forme 1+∞(quelque
chose qui tend vers 1puissance quelque chose qui tend
vers +∞), mais sa limite est epuisque : e1/xx=e.
Plus généralement, il est délicat de conclure directement
sur la limite d’expressions de la forme u(x)v(x)sans
commencer par exprimer cette dernière à l’aide de fonc-
tions usuelles ....
Exercice 15 : Rappelez-vous quil est possible d’obtenir
des inégalités en passant par l’étude de la fonction as-
sociée (voir la démonstration de ln(1 + x)≤xvue en
cours).
Solution de l’exercice 4 :
(a) ∀x∈R, f′(x) = 6(4x−1)(2x2−x−1)5,
(b) ∀x∈R− {2}, f′(x) = 2 + 9
(x−2)4,
(c) ∀x∈R− {−1; 1}, f′(x) =
x(3x5+ 2x4−5x3+ 4x2+ 2)
(x−1)3(x+ 1)3,
(d) ∀x∈R, f′(x) = (13x2−104x+168)(x−4)4(x−8)6,
(e) ∀x∈]−1; 1[, f′(x) = −1
r1−x
1 + x(x+ 1)2
,
(f) ∀x∈]0; e[, f′(x) = −1
2xp1−ln(x),
(g) ∀x∈]−2; +∞[−{1}f′(x) = 3(x−1)(x+ 1)
2√x3−3x+ 2 ,
(h) ∀x∈R− {−1; 1 }, f′(x) = 4x(x2−1)
33
p(x2−1)2,
(i) ∀x∈]− ∞;−3[∪]0; +∞[, f′(x) = 2x+ 3
x(x+ 3) ,
(j) ∀x > 0, f′(x) = −x+√x−1
(√x+ 1)2.
(k) ∀x∈R, f′(x) = ln(ch(x)) + xsh(x)
ch(x)(ch(x))x
(l) ∀x∈R, f′(x) = sh(ln(√x2+1+x))
√x2+1
Solution de l’exercice 5 :
(a) lim
x→+∞(ln(x+ 1) −ln(2x−3)) = −ln(2),
(b) lim
x→0+√xln x
x+ 1 = 0,
(c) lim
x→+∞x√xe−x3= 0,
(d) lim
x→+∞(ex−3x2−1) = +∞,
(e) lim
x→+∞(ln(x)−x2) = −∞,
(f) lim
x→+∞
ln(x+ 1)
x= 0,
(g) lim
x→−∞ xe−x2= 0,
(h) lim
x→0+
x3+ 2x2
x2+ 1 e1
x= +∞,
(i) lim
x→+∞
ln(x)
ex= 0.
Solution de l’exercice 6 :
(a) 17
4, (b) −1 15 , (c) 1(d) 1 6, (e) −∞, (f) 2 3en
+∞,4
5en −∞.
Solution de l’exercice 7 :
(a) 1, (b) 1, (c) 0, (d) −1
2, (e) 1, (f) 1.
Solution de l’exercice 8 :
(a) e
(b) 1
(c) 1en 0+et +∞en +∞.
Solution de l’exercice 9 :
(a) y=x+ 2, (b) y=x, (c) y=x+ 1.
Correction de l’exercice 2 :
(a) fest définie sur Ret fest πpériodique car sin(π+x) =
−sin(x)⇒sin(π+x)2= sin(x)2et car cos(2(x+
π)) = cos(2x+ 2π) = cos(2x). Il suffit donc d’étudier
sur I=−π
2;π 2puis de compléter par translation du
morceau de courbe obtenu sur I.
D’autre part,
f(−x) = sin(−x)2cos(−2x) = (−sin(x))2cos(2x) =
f(x)donc fest paire. Il suffit donc de tracer la courbe
représentative de fsur h0; π
2ipuis de compléter par
symétrie par rapport à l’axe des ordonnées afin d’ob-
tenir le morceau de courbe sur I.
(b) fest définie sur Ret 2π
wpériodique, on restreint donc
l’étude à l’intervalle h−π
w;π wipuis on complètera par
translation du morceau de courbe obtenue. D’autre part,
fest impaire. Il suffit donc de restreindre l’étude sur
h0; π
wipuis de compléter par symétrie centrale de centre
l’origine du repère.
(c) Puisque ln est définie sur R∗
+donc fest définie si et
seulement si 1−x
1 + x>0. En faisant un tableau de signes,
on en déduit que le domaine de définition de fest :

Indications et solutions du TD 4 Mathématiques PTSI
I=] −∞;−1[∪]1; +∞[.D’autre part, ∀x∈I, −x∈I
et :
f(−x) = ln 1 + x
1−x= ln 
1
1−x
1 + x
=−ln 1−x
1 + x=
−f(x).fest donc impaire, il suffit donc d’étudier f
sur ]1; +∞[puis de compléter par symétrie centrale
de centre l’origine.
(d) Puisque ln est définie sur R∗
+,fest définie si et seule-
ment si |x|>0⇔x∈R∗. De plus ∀x∈R∗, f(−x) =
ln(| − x|) = ln(|x|) = f(x)donc fest paire. Il suf-
fit donc d’étudier fsur ]0; +∞[puis de compléter par
symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
(e) fest définie si et seulement si 1 + sh(x)
1−sh(x)>0. Or :
1 + x
1−x>0⇔x∈]−∞;−1[∪]1; +∞[donc : 1 + sh(x) 1−sh(x)>
0⇔sh(x)∈]−∞;−1[∪]1; +∞[. L’inéquation sh(x)>
1se résout en posant : X=ex, ce qui nous ramène à
l’inééquation : X2−2X−1>0d’ensemble de solu-
tions : ]−∞; 1 + √2[∪]1 + √2; +∞[. Par conséquent :
sh(x)>1⇔ex>1 + √2ou e<= 1 −√2. L’inéqua-
tion : ex<1−√2est impossible car 1−√2<0et
ex>1 + √2⇔x > ln(1 + √2). Le domaine de défini-
tion est donc au final : I=]1+√2; +∞[. Ce dernier en-
semble n’est pas symétrique par rapport à l’origine du
repère, aucune propriété de parité ou d’imparité n’est
donc réalisable. Par ailleurs, aucune des fonctions pré-
sentes dans la définition de fne présentent de symé-
trie, donc le domaine d’étude sera ici le domaine de
définition, c’est à dire : ]1 + √2; +∞[.
(f) fest définie si et seulement si √x2+ 1 + x > 0. Or :
x2+ 1 > x2donc, par stricte croissance de la fonction
racine, √x2+ 1 >√x2, ce qui entraîne que : √x2+ 1+
x > |x|+x. Or pour tout x∈R,x+|x| ≥ 0donc :
∀x∈R,√x2+ 1 + x > 0.fest donc définir sur R.
pour tout x∈R,
f(−x) = ln(√x2+ 1 −x)
= ln (√x2+ 1 −x)(√x2+ 1 + x)
√x2+ 1 + x
= ln 1
√x2+ 1 + x
=−ln(√x2+ 1 + x) = −f(x)
. On en
déduit que fest impaire. On peut donc restreindre
l’étude à R∗
+puis compléter par symétrie centrale de
centre l’origine du repère.
(g) Puisque x7→ sin(x)est 2πpériodique, x7→ sin(2x)
est πpériodique et x7→ sin(3x)est 2π
3périodique, on
en déduit que fest 2πpériodique, on peut donc res-
treindre l’étude à [−π;π]. La fonction est par ailleurs
clairement impaire, d’où l’étude sur [0; π].
Correction de l’exercice 9 :
(a) f(x)−x=xe−x/2+2+2e−x/2. Par croissances compa-
rées lim
x→+∞xe−x/2= 0 donc par opérations usuelles,
lim
x→+∞f(x)−x= 2. Par conséquent,
lim
x→+∞(f(x)−(x+ 2)) = 0, ce qui prouve que la droite
d’équation : y=x+ 2 est asymptote oblique à la
courbe représentative de fau voisinage de +∞.
(b) En utilisant la méthode du conjugué, nous avons : f(x)−
x=1
√1 + x2+x, expression qui tend vers 0en +∞
par opérations usuelles. Ainsi, la droite d’équation :
y=xest asymptote oblique à la courbe représenta-
tive de fau voisinage de +∞.
(c) Pour extraire le coeur de ce qui fait que ln(ex+ 1) tend
vers +∞, on écrit : ln(ex+ 1) = ln(ex(1 + e−x)) =
ln(ex) + ln(1 + e−x) = x+ ln(1 + e−x). En mettant
au même dénominateur, nous en déduisons : f(x)−
x=x
x−1×(ln(1 + e−x) + 1). Or x x−1=1 1−1/x
donc tend vers 1en +∞et par opérations usuelles,
lim
x→+∞(ln(1 + e−x) + 1) = 1. On en déduit que
lim
x→+∞f(x)−x= 1. Par conséquent,
lim
x→+∞f(x)−(x+ 1) = 0, ce qui prouve que la droite
d’équation : y=x+ 1 est asymptote oblique à la
courbe représentative de fau voisinage de +∞.
Correction de l’exercice 11 :
1. (a) En écrivant : f(x) = x1
4+ ln x+ 2 x +
1
2=x1 4+ ln 1 + 2 x +1 2, puis en pro-
cédant par opérations élémentaires sur les li-
mites, nous en déduisons le résultat.
(b) En posant x=2
u⇔u=2 x, l’expression
xln x+ 2
xdevient : 2 uln(1+u) = 2 ln(1 + u) u.
Puisque lim
x→+∞
2
x= 0, on regarde alors la limite
de cette expression en 0.Or lim
u→0
ln(1 + u)
u= 1
(limite usuelle obtenue par taux d’accroissement)
donc par opérations usuelles lim
u→02ln(1 + u)
u=
2⇔lim
x→+∞xln x+ 2
x= 2.
Par ailleurs, f(x)−x
4=xln x+ 2 x+1 2donc
par opérations usuelles, et d’après la limite ci-
dessus, on en déduit : lim
x→+∞f(x)−x
4=5 2⇔
lim
x→+∞f(x)−x
4−5 2= 0. Par définition, cela
entraîne que la courbe représentative de fadmet
la droite d’équation : y=x
4+5 2comme asymptote
oblique.
(c) En écrivant : f(x) = xln(x+ 2) −xln(x) +
x
4+1 2et en utilisant la croissance comparée :
lim
x→0+xln(x) = 0, on en déduit que