cours-2nde-trigonometrie

Trigonom´etrie et fonctions trigonom´etriques 2nde
I - Cercle trigonom´etrique - Mesure des angles orient´es
D´efinition Dans le plan muni d’un rep`ere O;~ i,~ j, le cercle trigonom´etrique est le cercle de centre
Oet de rayon 1sur lequel on a choisi :
– un sens direct, ou sens positif, sens inverse des aiguilles d’une montre
– un sens indirect, ou sens n´egatif, sens des aiguilles d’une montre.
O~
i
~
j
+
-
D´efinition Sur le cercle trigonom´etrique, la mesure en radians d’un angle orient´e est ´egale `a la mesure
alg´ebrique (avec un signe) de l’arc intercept´e.
Exemple : Un tour complet, soit 360◦, mesure 2πradians.
L’angle orient´e ~
i,~ jmesure 2π
4=π 2radians (1/4 de tour).
L’angle orient´e ~
j,~ imesure −π
2radians.
On parle d’une mesure de l’angle orient´e car il en poss`ede une infinit´e :
l’angle orient´e ~
i,~ jmesure π
2rad, π 2+ 2π=5π 2rad, 5π 2+ 2π=9π 2rad,. . ., π 2−2π=−3π 2rad,. . .
Exercice 1 Compl´eter :
×...
Degr´es 0 30 45 60 90 135 180 360
Radians 0 ×...
Degr´es 1 −15 20 270
Radians 1 167π
4
7π
3
D´efinition La mesure principale d’un angle orient´e est la mesur de cet angle appartenant `a l’inter-
valle ]−π;π].
Exemple : L’angle orient´e ~
j,~ ia plusieurs mesures : 3π
2,−π 2,3π 2+ 2π=7π 2,. . .
Sa mesure principale est −π
2.
Exercice 2 D´eterminer la mesure principale des angles orient´es suivants :
a) 17πb) 9π
2c) 7π 3d) −11π 6e) 9π 8f) 15π 2g) 26π 4h) −13π 5
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II - Cosinus et sinus d’un angle orient´e
Exercice 3
1. ABCD est un carr´e de cˆot´e 1.
Calculer la longueur AC, puis en d´eduire les valeurs exactes de
cos π
4et sin π 4.
A B
CD
2. RST est un triangle ´equilat´eral de cˆot´e 1.
Calculer la longueur T I, en d´eduire les valeurs exates de cos π
6,
sin π
6, cos π 3et sin π 3.
T
R SI
D´efinition Soit Mun point du cercle trigonom´etrique, et xune mesure de l’angle orient´e ~
i, −−→ OM.
– Le cosinus de x, not´e cos x, est l’abscisse de M.
– Le sinus de x, not´e sin x, est l’ordonn´ee de M.
O~
i
~
j
•M
x
cos x
sin x
Angles remarquables
x0◦
0 rad
30◦
π
6rad
45◦
π
4rad
60◦
π
3rad
90◦
π
2rad
sin x01
2
√2
2
√3
21
cos x1√3
2
√2
2
1
20
(sin)
(cos)
1
1
O
•π
6
√3
2
1
2
•
π
4
√2
2
√2
2
•
π
3
1
2
√3
2
Propri´et´e Pour tout r´eel x:
• −16cos x61
• −16sin x61
•cos2x+ sin2x= 1 (en notant cos2x= (cos x)2et sin2x= (sin x)2)
Exercice 4 En pla¸cant les angles sur le cercle trigonom´etrique et en s’aidant de sym´etries, donner les
valeurs exactes de : a) cos(3π) b) cos −π
2c) cos 3π 4d) cos 5π 4e) cos −π 3
f) cos 2π
3g) cos 5π 6h) cos −3π 4i) sin 4π 3
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III - ´ Equations trigonom´etriques
Exercice 5 En s’aidant du cercle trigonom´etrique, r´esoudre sur ] −π;π] les ´equations suivantes :
a) cos x= cos π
6b) sin x= sin 2π 3c) cos x=−1 2d) cos x=−
√2
2
e) sin(2x) = √3
2f) cos 3x+π 4=√2 2g) cos2x=1 4h) sin2x=1 2
IV - Fonctions sinus et cosinus
D´efinition La fonction cosinus est la fonction, not´ee cos, qui `a toutt nombre r´eel xassocie le
nombre cos x.
De mˆeme, la fonction sinus est la fonction x7→ sin x, pout x∈IR.
Exercice 6 En s’aidant du cercle trigonom´etrique, compl´eter les tableaux de variation des fonctions sinus
et cosinus :
x−π−π
20π 2π
cos x
x−π−π
20π 2π
sin x
Exercice 7 Tracer les courbes repr´esentatives des fonctions cosinus et sinus `a l’aide des tableaux de
variation pr´ec´edents, des valeurs remarquables des sinus et cosinus, et ´eventuellement de la calculatrice.
Exercice 8 En utilisant les courbes trac´ees dans l’exercice pr´ec´edent et/ou le cercle trigonom´etrique,
compl´eter :
a) Si π
66x6π 3, alors ... 6cos x6... et ... 6sin x6...
b) Si −π
66x6π 3, alors ... 6cos x6... et ... 6sin x6...
c) Si π
66x62π 3, alors ... 6cos x6... et ... 6sin x6...
Propri´et´e Pour tout r´eel x,cos(x+ 2π) = cos xet sin(x+ 2π) = sin x.
Les fonctions x7→ cos xet x7→ sin xsont p´eriodiques de p´eriode 2π.
Les courbes repr´esentatives des fonctions sinus (sinuso¨ıde) et cosinus (cosinuso¨ıde) sont in-
chang´ees par translation de vecteur 2π~ i.
O
−2π−3π
2−π−π
2
π
2π3π
22π
y= sin x
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O
−2π−3π
2−π−π
2
π
2π3π
22π
y= cos x
Exercice 9 Soit fla fonction p´eriodique de p´eriode 1 d´efinie par f(t) = −2t+ 1 si t∈[0; 1].
Tracer la repr´esentation graphique de fsur [−2; 4].
Exercice 10 Soit fla fonction p´eriodique de p´eriode 2 d´efinie par f(t) = t2si t∈[−1; 1].
Tracer la repr´esentation graphique de fsur [−3; 5].
Exercice 11 Soit fla fonction p´eriodique, de p´eriode 2, d´efinie par f(t) = −2t2+ 2 si t∈[−1; 1].
Dresser le tableau de variations de fsur [−1; 1].
Tracer alors la repr´esentation graphique de fsur [−3; 5].
Exercice 12 L”´evolution de la population Pd’animaux dans une forˆet est mod´elis´ee par :
P(t) = 500 + 50 sin 2πt −π
2,
o`u test exprim´e en ann´ees.
1. Calculer P(0), P1
2et P(1).
2. Quelle est la p´eriode de la fonction P?
3. Pour quelle valeur de t, la population est-elle `a son maximum dans la premi`ere ann´ee ? Quelle est la
population maximum ?
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