cours-2nde-trigonometrie

Trigonométrie et fonctions trigonométriques
I -
2nde
Cercle trigonométrique - Mesure des angles orientés
Définition Dans le plan muni d’un repère O;~i, ~j , le cercle trigonométrique est le cercle de centre
O et de rayon 1 sur lequel on a choisi :
– un sens direct, ou sens positif, sens inverse des aiguilles d’une montre
– un sens indirect, ou sens négatif, sens des aiguilles d’une montre.
+
~j
O
~i
Définition Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radians d’un angle orienté est égale à la mesure
algébrique (avec un signe) de l’arc intercepté.
Exemple : Un tour complet, soit 360◦ , mesure 2π radians.
π
2π
= radians (1/4 de tour).
L’angle orienté ~i, ~j mesure
4
2
π
~
~
L’angle orienté j, i mesure − radians.
2
On parle d’une mesure
de l’angle orienté car il en possède une infinité :
π
5π
5π
9π
π
3π
π
rad,
+ 2π =
rad,. . ., − 2π = −
rad,. . .
l’angle orienté ~i, ~j mesure rad, + 2π =
2
2
2
2
2
2
2
Exercice 1 Compléter :
Degrés
×...
0
30
45
60
90
135
180
360
×...
Radians 0
Degrés
Radians
1
−15
1
20
270
167π
4
7π
3
Définition La mesure principale d’un angle orienté est la mesur de cet angle appartenant à l’intervalle ] − π; π].
π 3π
7π
3π
,− ,
+ 2π =
,. . .
Exemple : L’angle orienté ~j,~i a plusieurs mesures :
2
2 2
2
π
Sa mesure principale est − .
2
Exercice 2 Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
9π
7π
11π
9π
15π
26π
a) 17π
b)
c)
d) −
e)
f)
g)
2
3
6
8
2
4
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h) −
13π
5
Trigonométrie et fonctions trigonométriques - 2nde - 1/4
II -
Cosinus et sinus d’un angle orienté
Exercice 3
1. ABCD est un carré de côté 1.
Calculer la longueur AC, puis en déduire les valeurs exactes de
π
π
cos et sin .
4
4
2. RST est un triangle équilatéral de côté 1.
π
Calculer la longueur T I, en déduire les valeurs exates de cos ,
6
π
π
π
sin , cos et sin .
6
3
3
A
B
D
C
T
R
I
S −−→
~
Définition Soit M un point du cercle trigonométrique, et x une mesure de l’angle orienté i, OM .
– Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M.
– Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M.
~j
• M
sin x
x
O
x
0 rad
sin x
0
cos x 1
Propriété
30◦
π
rad
6
1
2
√
3
2
cos x
(sin)
1
√
Angles remarquables
0◦
~i
45◦
π
rad
4
√
2
2
√
2
2
60◦
π
rad
3
√
3
2
1
2
90◦
π
rad
2
3
2
√
2
2
•
π
3
π
• 4
1
2
•
1
0
O
1
2
√
2
2
√
3
2
π
6
1
(cos)
Pour tout réel x :
• −1 6 cos x 6 1
• −1 6 sin x 6 1
• cos2 x + sin2 x = 1 (en notant cos2 x = (cos x)2 et sin2 x = (sin x)2 )
Exercice 4 En plaçant les angles sur le cercle trigonométrique et en s’aidant de
donner les
symétries,
π
π
3π
5π
valeurs exactes de : a) cos(3π)
b) cos −
c) cos
d) cos
e) cos −
4
3
2
4
2π
5π
3π
4π
f) cos
g) cos
h) cos −
i) sin
3
6
4
3
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Trigonométrie et fonctions trigonométriques - 2nde - 2/4
III -
Équations trigonométriques
Exercice 5 En s’aidant du cercle trigonométrique, résoudre sur ] − π; π] les équations suivantes
√ :
π 2π
1
2
b) sin x = sin
c) cos x = −
a) cos x = cos
d) cos x = −
6
3
2
2
√
√
3
π
2
1
1
e) sin(2x) =
=
f) cos 3x +
g) cos2 x =
h) sin2 x =
2
4
2
4
2
IV -
Fonctions sinus et cosinus
Définition La fonction cosinus est la fonction, notée cos, qui à toutt nombre réel x associe le
nombre cos x.
De même, la fonction sinus est la fonction x 7→ sin x, pout x ∈ IR.
Exercice 6 En s’aidant du cercle trigonométrique, compléter les tableaux de variation des fonctions sinus
et cosinus :
x
−π
−
π
2
π
2
0
x
π
cos x
−π
−
π
2
π
2
0
π
sin x
Exercice 7 Tracer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus à l’aide des tableaux de
variation précédents, des valeurs remarquables des sinus et cosinus, et éventuellement de la calculatrice.
Exercice 8 En utilisant
compléter :
π
π
a) Si
6x6 ,
6
3
π
π
b) Si − 6 x 6 ,
6
3
π
2π
c) Si
6x6
,
6
3
Propriété
les courbes tracées dans l’exercice précédent et/ou le cercle trigonométrique,
alors
...
6 cos x 6
...
et
...
6 sin x 6
...
alors
...
6 cos x 6
...
et
...
6 sin x 6
...
alors
...
6 cos x 6
...
et
...
6 sin x 6
...
Pour tout réel x, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.
Les fonctions x 7→ cos x et x 7→ sin x sont périodiques de période 2π.
Les courbes représentatives des fonctions sinus (sinusoı̈de) et cosinus (cosinusoı̈de) sont inchangées par translation de vecteur 2π~i.
y = sin x
−2π
− 3π
2
−π
− π2
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O
π
2
π
3π
2
2π
Trigonométrie et fonctions trigonométriques - 2nde - 3/4
y = cos x
−2π
− 3π
2
−π
− π2
O
π
2
π
3π
2
2π
Exercice 9 Soit f la fonction périodique de période 1 définie par f (t) = −2t + 1 si t ∈ [0; 1].
Tracer la représentation graphique de f sur [−2; 4].
Exercice 10 Soit f la fonction périodique de période 2 définie par f (t) = t2 si t ∈ [−1; 1].
Tracer la représentation graphique de f sur [−3; 5].
Exercice 11 Soit f la fonction périodique, de période 2, définie par f (t) = −2t2 + 2 si t ∈ [−1; 1].
Dresser le tableau de variations de f sur [−1; 1].
Tracer alors la représentation graphique de f sur [−3; 5].
Exercice 12 L”évolution de la population P d’animaux dans une forêt est modélisée par :
π
P (t) = 500 + 50 sin 2πt −
,
2
où t est exprimé en années.
1
et P (1).
1. Calculer P (0), P
2
2. Quelle est la période de la fonction P ?
3. Pour quelle valeur de t, la population est-elle à son maximum dans la première année ? Quelle est la
population maximum ?
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Trigonométrie et fonctions trigonométriques - 2nde - 4/4