Cinquième partie Problèmes d`algèbre

Cinquième partie
Problèmes d’algèbre
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Les anneaux considérés sont toujours supposés unitaires.

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Le théorème de d’Alembert-Gauss
27.1 Énoncé
Le but de cet problème est de montrer le théorème fondamental de l’algèbre : tout polynôme
complexe non constant a au moins une racine.
On se donne un polynôme P(z) =
n
P
k=0
akzkde degré n≥1avec an= 1.
1. Montrer que lim
|z|→+∞|P(z)|= +∞.
2. Montrer qu’il existe z0∈Ctel que |P(z0)|= inf
z∈C|P(z)|.
3. On suppose que P(z0)6= 0 et on définit le polynôme Qpar Q(z) = P(z+z0)
P(z0).
(a) Montrer que :
∀z∈C,|Q(z)| ≥ 1.
(b) Montrer qu’il existe un entier pcompris entre 1et net une fonction εdéfinie sur C
tels que bp6= 0,lim
z→0ε(z) = 0 et Q(z) = 1 + bpzp(1 + ε(z)) .
(c) Justifier l’existence d’un réel r > 0tel que |ε(z)|<1
2pour tout z∈Ctel que |z|< r.
(d) On note bp=rpeiθpavec rp>0et 0≤θp<2π.
i. Montrer que pour tout z=ρe−iθp+π
pavec 0< ρ < r, on a :
|Q(z)| ≤ |1−rpρp|+1
2rpρp.
ii. En déduire qu’il existe z1∈Ctel que |Q(z1)|<1.
iii. Conclure.
27.2 Solution
1. Pour tout z∈C∗,on a :
|P(z)|=|z|n¯¯¯a0
zn+··· +an−1 z+ 1¯¯¯
avec lim
|z|→+∞¯¯¯an−k
zk¯¯¯= 0 pour k= 1,··· , n. D’où le résultat.
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