I- Interféromètre de Michelson et planéité d`un miroir

physique
année scolaire 2014-2015
◦
Corrigé du DS commun de physique n 6 - Optique
I-
Interféromètre de Michelson et planéité d'un miroir
I.A -
Interféromètre en "lame d'air"
1.
/1 La diérence de phase entre les deux rayons parallèles qui interfèrent après réexions sur les miroirs est δϕ =
2π
λ 2e0 + π , puisque l'indice de l'air est assimilé à 1 et que la séparatrice introduit un déphasage supplémentaire
de π ; cette diérence de marche étant indépendante du point d'observation, l'éclairement est uniforme sur
l'écran.
0
On applique la formule de Fresnel : ε(M ) = 2ε0 1 − cos( 4πe
λ ) .
2.
/2 La courbe de ε(e0 ) est une sinusoïde de période λ/2 (gure ci-dessous).
ε
e0
/1
La position e0 = 0 correspond au contact optique ; ε(e0 ) s'annule alors, comme pour toutes les positions
e0 = p λ2 , p ∈ Z ; on ne peut donc pas la repérer avec une onde incidente monochromatique.
/1 En utilisant de la lumière blanche, on obtiendra par contre une intensité nulle seulement pour e0 = 0 ; il sera
alors possible de repérer le contact optique en recherchant l'extinction complète. Pour des valeurs de e0 élevées,
ce sera du blanc d'ordre supérieur, pour des valeurs de e0 de l'ordre du micromètre, on obtiendra les teintes de
Newton (interférences colorées).
I.B -
Interféromètre en coin d'air
3.
/1 Les franges localisées du coin d'air sont observées lorsque l'interféromètre est éclairé par un faisceau parallèle
normal aux miroirs (tout le miroir doit être éclairé) ;
/1 on doit utiliser une lentille convergente (éventuellement l'÷il) pour former l'image des miroirs sur un
écran, puisque les franges sont localisées sur le coin d'air.
/1 Ce sont les franges d'égale épaisseur.
/1 Pour un point M du coin d'air repéré par son abscisse x par rapport à l'arête du coin d'air, la diérence de
phase est :
δϕ =
d'où l'ordre d'interférence p =
λ
l'interfrange : i = 2|α|
.
δ
λ
=
2αx
λ
2π
2π
2e(M ) + π =
2αx + π
λ
λ
+
1
2
et la position de la frange d'ordre p : x(p) =
λ
2α (p
− 1), d'où
4.
π
rad= 3.10−4 rad.
/1 La résolution angulaire de l'÷il vaut une minute d'arc donc δθ = 60×180
/1 Le plus petit interfrange décelable imin est alors observé au punctum proximum (PP) de l'÷il normal, i.e. 25 cm,
λ
λ
> imin ⇒ |α| < 2imin
ce qui donne imin = P P ×θmin ≈ 10−4 m. L'angle α doit donc réaliser 2|α|
< 3.10−3 rad .
I.C 5.
Cas d'un miroir sphérique
√
/1 e(P ) = e0 + R − R2 − r2 = e0 + R − R 1 − Rr 2
2
1/2
r
soit e ≈ e0 + 2R
, en tenant compte de r R.
2
6.
/1 Les deux rayons qui interfèrent correspondent à une diérence de longueur parcourue de 2e(P ) et on tient
compte d'un déphasage de π sur la séparatrice, d'où δϕ(P ) =
2π
λ 2e(P )
+ π ⇒ δϕ(P ) = π
r2
4 e0 + 2R
λ
+1
.
7.
spé P C , P C1∗ et P C2∗
page n◦ 1
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014-2015
/1 Comme pour les franges du coin d'air, les franges sont localisées au voisinage de M'2 , car elles sont obtenues
à l'intersection de deux rayons lumineux provenant d'un même incident ; comme la diérence de marche ne
dépend que de r, les franges sont des anneaux.
/1
8.
On note A l'objet que constitue la gure d'interférence localisée sur les miroirs, A' la position de l'écran,
O le centre optique de la lentille. Comme OA = −2f 0 , on trouve en utilisant la relation de conjugaison :
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
2f 0 + OA0 = f 0 ⇒ OA0 = f 0 − 2f 0 = 2f 0 , d'où OA = 2f . L'écran doit donc se trouver à la distance 2f de la
lentille.
/3 Une construction géométrique (exigée : cf. par exemple celle de la partie 3) montre immédiatement que le
grandissement vaut −1.
0 B0
= −10 =
/1 Pour obtenir des anneaux 10 fois plus grands, il faut chercher la position pour laquelle γ = AAB
γ−1
f0
f0
f0
− AF ⇒ AF = − γ ⇒ AO = AF + F O = − γ + f 0 = γ f 0 . Il faut donc rapprocher la lentille des miroirs et
la placer à une distance égale à
11 0
10 f
des miroirs pour obtenir des anneaux dix fois plus grands.
9.
/1 Au centre des anneaux, l'ordre est p0 = δ(r=0)
⇒ p0 = 2eλ0 + 21 .
λ
/1 Le premier anneau brillant, de rayon R1 correspond à l'ordre p1 entier ; le kième anneau brillant, de rayon Rk
2
−R12
correspond à l'ordre pk = p1 + k − 1, puisque l'ordre est une fonction croissante de r, donc k − 1 = RkλR
⇒
p
Rk = R12 + (k − 1)λR .
10.
/2 Dans le cas d'un miroir convexe (cas de la gure de l'énoncé), on recherche le rayon r(p) de la frange d'ordre
d'interférence p :
s
r2 (p) 1
2e0
+
+ = p ⇒ r(p) =
λ
λR
2
1 2e0
λR p − −
2
λ
On en déduit que r(p) croît quand e0 décroît, c'est-à-dire que les anneaux sortent du centre si e0 décroît
pour un miroir convexe. À l'inverse, si le miroir est concave, les anneaux rentrent au centre lorsque e0
diminue.
11.
/1 p1 + k − 1 =
2e0
λ
et p1 + k =
+
II1)
2e0
λ
+
2
Rk
λR
2
Rk+1
λR
+
1
2
+ 12 , donc R =
2
2
Rk+1
−Rk
λ
.
Le télescope interférentiel VLTI
Observation d'une source ponctuelle dans la direction de l'axe optique
1.a)
/1 tan iA =
xA
f0
, donc xA = 0 (normal : A0 en F 0 ).
1.b)
/1 La diérence de marche entres les ondes provenant de A et se recombinant en A0 , passant par les deux trous
T1 et T2 sur la gure 5 est δ0 = 0 d'après la symétrie du problème.
1.c)
/1 Ainsi, la ligne à retard de la gure 4 sert à symétriser les deux chemins optiques et a assurer δ0 = 0.
1.d)
/1 Pour qu'il y ait interférence, il faut que la diérence de marche δ ne soit pas trop grande (|δ| < lc , où lc est
la longueur de cohérence temporelle). Elle est nulle en F 0 .
1.e)
/1 Le contraste des interférence vaut 1 si les intensités passant par T1 et T2 sont identiques.
/1
1.f )
√
L'intensité lumineuse est IA = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos 2π
λ δ = 2I1 1 + cos
marche. Le théorème de Malus permet d'écrire δ = a (im ) ⇒ δ = af x0 .
2π
λ δ
où δ est la diérence de
1.g)
h
/1 Puisque IA = 2I1 1 + cos
2π a
λ f0 x
i
l'interfrange (périodicité spatiale des interférences) est i =
λf 0
a
.
1.h)
/1 On observe des franges rectilignes (parallèles à F 0 y , éloignées de i), dans une zone circulaire autour de F 0 qui
est la tache de diraction ("tache d'Airy", non exigible).
spé P C , P C1∗ et P C2∗
page n◦ 2
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014-2015
II.A -
Observation d'une source ponctuelle dans une direction diérente de celle
de l'axe optique
2)
2.a)
/1 tan iB =
/1
xB
f0
, donc xB = f 0 iB .
2.b)
√
2π
L'intensité lumineuse est IB = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos 2π
où δ est la diérence de
λ δ = 2I1 1 + cos λ δ
a
marche. Le théorème de Malus permet d'écrire δ = a (im − iB ) ⇒ δ = f 0 (x − xB ) .
2.c)
h
/1 Puisque IB = 2I1 1 + cos
i=
λf 0
a
2π a
λ f0
i
(x − xB ) l'interfrange (périodicité spatiale des interférences) est inchangée :
.
II.B -
Observation de deux sources ponctuelles
3)
3.a)
/1 Ces deux sources sont incohérentes.
3.b)
/1 L'intensité résultante est donc la somme des deux intensités :
2π a
2π a
x
(x
−
x
)
IA S B (x) = IA + IB = 2I1 2 + cos
+
cos
B
λ f0
λ f0
h
donc IA S B (x) = 4I1 1 + cos
π a
λ f0
i
(2x − xB ) cos πλ fa0 xB .
3.c)
/1
Il y a brouillage des interférences si cos
0
λf
xB
1
2
+k ⇒ a=
λ
iB
1
2
π a
λ f 0 xB
= 0 soit
π a
λ f 0 xB
=
π
2
+ kπ où k ∈ Z c'est-à-dire a =
+k .
3.d)
/1 On met les deux télescopes très proches (a 7→ 0) visant dans la direction de l'étoile double. On visualise des
franges d'interférence. On éloigne ensuite un télescope de l'autre et on s'arrête lorsque brouillage des franges.
λ
L'angle entre les deux étoiles est alors iB = 2a
.
3.e)
/1 imin correspond à amax , soit imin =
III1)
λ
2amax
=
2×10−6
2×100
= 1, 0 × 10−8 rad = 21msec .
Les expériences d'Abbe et Porter
Éclairage
1.a)
/1 Ã0 : amplitude complexe de l'onde (unités inconnues !)
ω = 2 λπ c : pulsation (en rad · s−1 ),
~k0 = 2 π ~uz : vecteur d'onde (en rad · m−1 ).
λ
1.b)
/1 Premier montage : utiliser un laser (on peut améliorer en le faisant suivre par un doublet afocal pour agrandir
le diamètre du faisceau).
spé P C , P C1∗ et P C2∗
page n◦ 3
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014-2015
/1 Second montage : récupérer grâce à un condenseur le plus de lumière possible d'une lampe à vapeur (rendue
monochromatique grâce à un ltre) pour la faire passer à travers un trou (diaphragme) positionné au foyer objet
d'une lentille convergente.
2)
Eet de la grille
2.a)
/1 Les endroits de la grille qui ne laissent pas passer la lumière sont tels que
t(x, y) = cos2
c'est à dire
x=
πx a
cos2
πy a
= 0 ⇔ cos
πx a
= 0 ou bien cos
πy a
=0
(1 + 2 q) a
(1 + 2 p) a
avec p ∈ Z ou bien y =
avec q ∈ Z
2
2
/1 Le paramètre a est la périodicité selon x et y de la transmission soit la distance entre les barreaux successifs
de la grille.
2.b)
/1 Comme
j πx
πy
πy 2
πx 2 πx 2 πy e a + e−j a
ej a + e−j a
t(x, y) = cos2
cos
=
a
a
2
2
h
i
2πy
2πy
2πx
2πx
1
t(x, y) =
ej a + 2 + e−j a
ej a + 2 + e−j a
16
t(x, y) =
i
2π(y+x)
2π(y−x)
2π(−y+x)
2π(y+x)
2πy
2πy
2πx
1 h j 2πx
a
2e a + 4 + 2e−j a + ej a
+ 2ej a + ej a
+ ej
+ 2e−j a + e−j a
16
aussi l'amplitude de l'onde peut se réécrire :
à (~r, t) =
N
X
Ãn e−j (ω t−kn · ~r)
~
n=1
avec :
2π
knx
0
− 2aπ
/1
a
kny
0
0
0
/1
Ã
Ã
0
0
0
/1
An
2 16
4 16
2 Ã
16
/1 La relation de dispersion est
2π
a
2π
a
Ã0
16
0
− 2aπ
2π
a
0
2 Ã
16
2π
a
Ã0
16
kn =
/1
2π
a
− 2aπ
Ã0
16
0
− 2aπ
− 2aπ
− 2aπ
0
2 Ã
16
Ã0
16
ω
2π
=
c
λ
Or, comme a λ, |knx | kn et |kny | kn , knz ≈ kn = 2λπ .
0
2.c) On observe de la lumière pour les positions suivantes (f λ σ =
f0 λ
a
):
• 0, 0 avec une intensité 16 I0 ;
/1
•
f0 λ
a ,0
avec une intensité 4 I0 ;
spé P C , P C1∗ et P C2∗
page n◦ 4
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014-2015
0
• − f aλ , 0 avec une intensité 4 I0 ;
0
• 0, f aλ avec une intensité 4 I0 ;
0
/1
• 0, − f aλ avec une intensité 4 I0 ;
0
0
0
0
0
0
0
0
• − f aλ , − f aλ avec une intensité I0 ;
• − f aλ , + f aλ avec une intensité I0 ;
• + f aλ , − f aλ avec une intensité I0 ;
• + f aλ , + f aλ avec une intensité I0 ;
/2 L'allure du plan focal est la suivante :
Image non ltrée
3)
3.a)
/1 Le "plan image" est le plan conjugué de la grille par la lentille.
3.b)
/1 Un schéma d'optique géométrique montre alors que le "plan image" est lui aussi à la distance 2 f 0 de la lentille :
le montage admet une symétrie par rapport à la lentille.
Filtrage
4)
4.a)
/1 Pour ne sélectionner que les vecteurs ~kn n'ayant aucune composante suivant vecteur unitaire ~uy , la largeur de
0
la fente utilisée doit être inférieure à 2 f aλ .
4.b)
/1
/1
/1
/1
knx
kny
knz
An
L'amplitude de l'onde peut se réécrire : Ã (~r, t) =
2π
a
0
0
0
− 2aπ
2π
λ
0
2 Ã
16
2π
λ
0
4 Ã
16
2π
λ
0
2 Ã
16
spé P C , P C1∗ et P C2∗
N
P
n=1
Ãn e−j (ω t−kn · ~r) avec :
~
0
page n◦ 5
Janson de Sailly
physique
/1 soit
année scolaire 2014-2015
à (~r, t) = t0 (x, y) Ã0 e−j (ω t−k0 · ~r)
~
avec
" 2π
#
2π
π x
1 j 2πx
1
1 j −2 π x
1 ej a x + e−j a x
2π
1
1
t (x, y) = 2 e a + 4 + 2 e a
=
+1 =
cos
x + 1 = cos2
16
16
16
4
2
4
a
2
a
0
4.c)
/1 L'image ne contient que la structure verticale de la grille car t0 (x, y) = 0 seulement si
x=
(1 + 2 p) a
avec p ∈ Z
2
Le paramètre a est la périodicité selon x de la transmission soit la distance entre les barreaux successifs de la
grille.
/64 au total.
spé P C , P C1∗ et P C2∗
page n◦ 6
Janson de Sailly