Topologie de Zariski et irréductibilité

Université Jean Monnet Saint-Etienne
Faculté de sciences et techniques
Travail d’étude et de recherche
Topologie de Zariski et irréductibilité
GRATI SALMA
JOUANIN NOLWEN Tuteur : M. BULOIS MICHAEL
Année scolaire — 2016/2017

Remerciements
Nous tenons à remercier M. BULOIS Michael pour son investissement et sa pédagogie. Il nous a en eet
beaucoup aidé dans nos travaux et nos recherches, et nous a proposé des solutions ecaces pour avancer
dans notre projet.
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Introduction
La topologie peut être dénie comme étant l’étude de la structure des espaces, ou l’étude des lieux si on
se réfère à l’étymologie grecque.
Comme son nom le suggère, elle s’intéresse aux espaces topologiques et permet, entre autres, de dénir
avec précision l’aspect continu ou non d’une application.
Cette branche des mathématiques a été popularisée par Euler après qu’il a résolu le Problème des sept
ponts de Königsberg en 1736 (c’est aussi de là que vient la caractérisation des graphes eulériens).
Grâce à Dedekind, nous connaissons tous la topologie usuelle de R, celle de la droite réelle, qui dénit
rigoureusement les notions de limite et de continuité, abordées dans les mathématiques enseignées au
lycée.
De nombreuses autres topologies ont ensuite été introduites, comme par exemple la topologie associée
à un espace métrique, la topologie de l’ordre, la topologie discrète, la topologie grossière, ou encore la
topologie produit, qui est dénie sur un produit cartésien d’espaces topologiques.
Il existe aussi une topologie qu’on appelle topologie conie, et c’est dans cette catégorie que se range la
topologie de Zariski.
Oscar Zariski, mathématicien d’origine russe, né en 1899 et mort en 1986, est connu pour ses nombreux
travaux dans le domaine de la géométrie algébrique, dont l’essor a été rendu possible grâce à la topologie.
Le but de cet ouvrage est donc de dénir plus précisément la topologie de Zariski, en s’intéressant à sa
caractérisation dans Ret dans R2, cette caractérisation pouvant s’étendre à Kn, où Kest un corps et nun
entier strictement positif.
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1 Topologie de Zariski avec un polynôme à une seule variable :
Dénition 1.1. Soit Eun ensemble, on appelle topologie, toute famille τde parties de E, appelées parties
ouvertes vériant ces trois axiomes :
1. toute réunion ( nie ou innie ) d’ouverts est ouverte.
2. l’intersection de deux ouverts est ouverte.
3. Eet ∅sont des ouverts.
On dit que ( E,τ) est un espace topologique.
Dénition 1.2. Soit ( E, τ) un espace topologique quelconque.
Soit F∈P(E). On dit que Fest une partie fermée de Epour la topologie τsi et seulement si le complé-
mentaire de Fest une partie ouverte pour la topologie τ.
Proposition 1.3. Soit (E, τ) un espace topologique quelconque, alors :
1. toute intersection ( nie ou innie ) de parties fermées est un fermé.
2. la réunion de deux fermés est un fermé.
3. Eet ∅sont des fermés.
Démonstration.
1. Soit (Fi)i∈Iune famille de parties fermées pour la topologie τ. Notons Oi=E\Fipour tout i ∈I.
Par dénition des fermés, Oiest un élément de τpour tout i∈I. On a Ti∈IFi=Ti∈I(E\Oi) =
ESi∈IOi)or Si∈IOiest une partie ouverte pour la topologie τd’après le premier axiome des
ouverts . Donc Ti∈IFiest une partie fermée pour la topologie τ.
2. Soient Fet F0deux parties fermées pour la topologie τ. Notons O=E\Fet O0=E\F0, on a
donc Oet O0qui sont des parties ouvertes pour la topologie τ. De plus F∪F0= (E\O)∪(E\O0) =
E\(O∩O0), or O∩O0est une partie ouverte pour la topologie τd’après le deuxième axiome des
ouverts et F∪F0est une partie fermée pour la topologie τ.
3. On a E=E\ ∅ et ∅=E\E, or ∅et Esont des parties ouvertes pour la topologies τ, donc Eet
∅sont aussi des parties fermées pour la topologie τ.
Indiéremment, si l’ensemble de fermés vérie les trois axiomes de la proposition 1.3, alors les complé-
mentaires dénissent une topologie. On dénit une topologie bien précise sur E=R, ” La topologie de
Zariski ” par ses ouverts ou ses fermés.
Dénition 1.4. Par dénition, les fermés de la topologie de Zariski sont les :
V(P) = {x∈R|P(x)=0}avec Pun polynôme de R[x].
Remarque.
Si P= 0 alors V(P) = R.
Si P6= 0 alors V(P)est ni .
Proposition 1.5. Les fermés sont Ret les parties nies de R.
Démonstration.
(⊂)L’ensemble des fermés est inclus dans {R}∪ { les parties nies de R}.
Car si P= 0 alors V(P) = Ret si P6= 0 alors V(P)est ni.
(⊃)Soit B={x1, ..., xn}une partie nie de R.
On pose ∀x∈R,P(x) = Qn
i=1(x−xi), alors, Pest un polynôme dont les racines sont x1, ...., xn.
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Donc V(P) = {x∈R|P(x)=0}={x1, ...., xn}=B.
Or, Pest un polynôme, donc V(P)est un fermé, donc Best aussi fermé. Donc {R}∪{les parties nies
de R}fait partie de l’ensemble des fermés.
Conclusion : les fermés sont Ret les parties nies de R.
Proposition 1.6. {V(P)|P∈R[x]}décrit une topologie.
Démonstration.
Pour montrer que {V(P)}dénissent une topologie, il faut vérier les trois axiomes des fermés :
1. Soit (Ak)k∈Iune famille fermés , on va montrer que Tk∈IAkest fermée.
Si ∀k∈I,Ak=Ralors ∩Ak=Rqui est un fermé.
Si ∃k0∈I,Ak06=Ralors Ak0est une partie nie de R.
Donc Tk∈IAk⊂Ak0qui est nie , donc Tk∈IAkest nie, qui est donc une partie fermée.
2. Soient A1et A2deux parties fermées, montrer que A1∪A2est un fermé :
Cas1: si A1=Rou A2=Ralors A1∪A2=R.
Cas2: si A1est nie et A2est nie alors A1∪A2est nie.
Donc A1∪A2est bien un fermé.
3. Montrer que ∅et Rsont des fermés : Rest bien un fermé car si P= 0 alors V(P) = R.
∅est bien un fermé pour un polynôme constant 6= 0.
Conclusion : Les V(P) = {x∈R|P(x)=0}dénissent bien une topologie.
Dénition 1.7. On dénit l’ouvert D(P) = {x∈R|P(x)6= 0}.
Les D(P)sont le vide et les parties dont le complémentaire est ni.
Dénition 1.8. Soit (E, τ )un espace topologique et soit x∈E. On appelle voisinage de xtoute partie
Vde Equi contient x.
On note Vτ(x)l’ensemble des voisinages de xpour la topologie τ.
Dénition 1.9. Soit (E, τ)un espace topologique et soit A une partie de E. On appelle voisinage de A
toute partie Vde Equi contient un ouvert qui contient A.
Dénition 1.10. Soit (E, τ)un espace topologique. Soit A une partie de Eet soit x∈E. On dit que x est
un point intérieur à A si et seulement si A∈Vτ(x). L’ensemble des points intérieurs à A est noté
◦
A.
Remarque. L’intérieur d’une partie A est le plus grand ouvert de X inclus dans A (c’est la réunion de tous
les ouverts inclus dans A).
Dénition 1.11. Soit (E, τ)un espace topologique. Soit A une partie de Eet soit x∈E. On dit que
xest adhérent à A si et seulement si tout voisinage de xrencontre A. C’est à dire, si et seulement si :
∀V∈Vτ(x),V∩A6=∅. L’ensemble des points xest appellé adhérence de A, noté ¯ A.
Remarque. L’adhérence d’une partie A est le plus petit ensemble fermé contenant cette partie.
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