EXERCICES SUR LES CORPS FINIS Par A. HAILY

Université Chouaïb Doukkali – Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Master de mathématiques - Semestre 3
Module : Théorie des Codes Correcteurs
Responsable : A. Haïly
A.U. 2015-2016
E XERCICES SUR LES CORPS FINIS
Par A. HAILY
Exercice 1
Soit (G, ·) un groupe abelien fini noté multiplicativement.
1 - On suppose que G contient un élément d’ordre k et un élément d’ordre m. Montrer que G contient un
élément d’ordre PPCM(k, m). (on considérera d’abord le cas où k et m sont premiers entre eux).
2 - On considère l’entier e(G) = PPCM{o(g) : g ∈ G}, appelé l’exposant de G. Montrer que G contient un
élément d’ordre e(G).
3 - Soit K un corps commutatif et G un sous-groupe fini d’ordre n de (K∗ , .). On note m l’exposant de G. Montrer
que tout élément de G est racine du polynôme Xm − 1.
4 - En utilisant la question 2, montrer que G est cyclique.
Exercice 2
Soit n ∈ N∗ . On note Un le groupe des éléments inversibles de l’anneau (Z/nZ, +, ·). On note φ(n) le nombre
des entiers k tels que 1 ≤ k ≤ n − 1, qui sont premiers avec n. φ(n) est appelée l’indiatrice d’Euler de n.
1 - Montrer que k̄ ∈ Un ⇔ k ∧ n = 1. En déduire que o(Un ) = φ(n).
2 - Soient m, n deux entiers premiers entre-eux. Montrer qu’il existe un isomorphisme Z/nZ × Z/mZ →
∼ Umn . En déduire que φ(mn) = φ(m).φ(n)
Z/mnZ. En déduire que Um × Un =
Exercice 3
Soit G un groupe cyclique d’ordre n engendré par un élément g.
1 - Soit k un diviseur de n. On pose N = {x ∈ G : xk = e}, montrer que N est un sous-groupe de G engendré
n
par g k et que o(N) = k.
2 - Montrer que N est l’unique sous-groupe d’ordre k de G.
3 - Montrer que, pour tout m ∈ N, on a grhgm i = grhgn∧m i, où n ∧ m désigne le PGCD de n et m. En déduire
n
que l’ordre de gm est égal à
.
n
∧
m
m
4 - Montrer que g engendre G, si et seulement si, m ∧ n = 1. En déduire que le nombre de générateurs de G
est égal au à φ(n), l’indicatrice d’Euler de n.
Exercice 4
Soient Cm et Cn deux groupes cycliques notés multiplicativement d’ordres respectifs m et n. Montrer que
Cm × Cn est un groupe cyclique, si et seulement si, m et n sont premiers entre-eux.
Exercice 5
Soit n un entier naturel ≥ 2. On note Un le groupe des éléments inversibles de l’anneau (Z/nZ, +, .).
1 - On suppose que n = 2k avec k > 2. Calculer l’ordre de −1 et celui de 2k−1 + 1. En déduire que Un n’est pas
cyclique.
2 - On suppose que n = pk , où p est un nombre premier impair et où k ∈ N∗ .
a - Montrer que o(Un ) = pk−1 (p − 1).
b - Montrer par récurrence que ∀s ∈ N, on a :
s
(1 + p)p ≡ 1 + ps+1 (mod ps+2 )
c - Déduire de a) que 1 + p est d’ordre pk−1 dans Un .
k−1
d - Soit a ∈ N tel que ā engendre Fp ∗ , on pose b = ap . Montrer que b̄ est d’ordre p − 1 dans Un .
d - Déduire des résultats précédents que Un est un groupe cyclique.
3 - Soit n ∈ N. Montrer que Un est cyclique, si et seulement si, n = 2, 4, pk , ou 2pk , avec p un nombre premier
impair et k un entier naturel non nul.
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Exercice 6
Soit K un corps commutatif.
1) Montrer qu’un polynôme de degré 2 ou 3 est irréductible sur K, si et seulement si, il n’admet pas de racine
dans K.
2) Déterminer tous les polynômes irréductibles unitaires de degré ≤ 3 sur F2 et sur F3 .
3) Vérifier que le polynôme X4 + 1 ne possède pas de racine dans F3 . Est-il irréductible sur ce corps ?.
4) Montrer qu’un polynôme de degré 4 ou 5 est irréductible sur F2 , s’il n’a pas de racine dans F2 et n’est pas
divisible par X2 + X + 1. Etudier l’irréductiblité du polynôme X5 + X2 + 1 sur F2 .
Exercice 7
Soit K un corps fini à q éléments.
X
xn .
1) Pour n ∈ N, calculer
x∈K
2) Montrer que le produit des éléments non nuls de K est égale à −1.
Exercice 8
Montrer que la classe de 2 est un générateur du groupe multiplicatif F∗19 et donner la table des logarithmes
discrets de base 2 dans F∗19 .
Exercice 9
Soit p un nombre premier impair. Montrer que l’application Fp → Fp ; x 7→ x2 n’est pas surjective. En déduire
que pour tout nombre premier p il existe un corps fini à p2 éléments.
Exercice 10
1) Montrer que le polynôme f = X3 + 2X + 1 est irréductible sur F3 .
2) Soit α une racine de f dans un corps de décomposition de f sur F3 . Exprimer (α + 1)−1 comme polynôme
en α.
Exercice 11
Soit f = X4 + X3 + X2 + X + 1 ∈ F2 [X], on pose K =
F[X]
et α = X̄.
(f)
1 - Montrer que K est un corps de cardinal 16.
2 - Déterminer un élément primitif de K en fonction de α.
Exercice 12
Soit F3 = (Z/3Z, +, .) et f = X2 + 1 ∈ F3 [X].
1) Verifier que f est irréductible sur F3 .
2) Soit L = F3 [X]/(f) où (f) désigne l’idéal de F3 [X] engendré par f. Montrer que L est un corps à 9 éléments
extension de F3 .
3) Déterminer un élément primitif de L en fonction de α.
Exercice 13
n
Soit p un nombre premier et n ∈ N∗ . Montrer que tout polynôme irréductible de degré n sur Fp divise Xp − X
Exercice 14
F2 [X]
. On pose α = X̄.
+ X3 + 1)
1) Montrer que K est un corps. Quel est son cardinal ?
2)Montrer que α est un élément primitif de K.
3) Déterminer le logarithme discret de base α de chaque élément non nul de K
4) Déterminer les sous-corps de K (pour chaque sous-corps déterminer un élément primitif).
5) Factoriser le polynôme X4 + X3 + 1 dans K.
Soit la F2 algèbre K =
(X4
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6) Soit L la F2 -algèbre engendrée par β verifiant β4 + β + 1 = 0.
6.1. Montrer que L est un corps isomorphe à K.
6.2. Montrer que β est un élément primitif de L.
6.3. Déterminer explicitement tous les isomorphismes φ : K → L.
(Pour chaque isomorphisme, on determinera un entier k ∈ {0, 1, 2, . . . , 14} tel que φ(α) = βk ).
Exercice 15
1) Soit Fq le corps à q éléments et f un polynôme irréductible de degré d sur Fq . Montrer que, pour tout n ∈ N∗ ,
n
f divise Xq − X ⇔ d divise n.
2) Soit Ed l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré d sur Fq . On note Ψ(d) le cardinal de
Ed et on pose Ed = {fd,1 , fd,2 , . . . , fd,Ψ(d) } . Etablir l’égalité :
n
Xq − X =
Y Ψ(d)
Y
fd,k
d|n k=1
3) En déduire que :
qn =
X
d.Ψ(d)
d|n
4) Calculer Ψ(d) pour d = 1, 2, 3, 4, p où p est un nombre premier quelconque.
Exercice 16
Soit p un nombre premier quelconque. Le but de cet exercice est de montrer que le polynôme f = X4 + 1 n’est
pas irréductible sur Fp .
1 - Montrer ce résultat si p = 2.
Dans la suite on suppose désormais que p ≥ 3, et on considère un corps fini K à p2 éléments.
2 - Montrer que 8 | card(K∗ ).
3 - Montrer que K∗ contient un élément β d’ordre 8.
4 - Montrer que f(β) = 0.
5 - Quel est le degré de l’extension K/Fp
6 - En déduire que f n’est pas irréductible sur Fp .
Exercice 17
Dans tout cet exercice, p désigne un nombre premier 6= 3 et Fp le corps fini à p éléments.
1 - Montrer que X2 + X + 1 est scindé sur Fp , si et seulement si, 3 | p − 1.
2 - Soit D un corps de cardinal p2 . Montrer que le polynôme X2 + X + 1. est scindé sur D.
3 - Soit Fp le corps fini à p. Montrer que X2 + X + 1 est scindé sur Fp , si et seulement si, 3 | p − 1.
4 - Déduire de 3 que −3 est un carré modulo p, si et selement si, p = 3k + 1, où k ∈ N.
5 - On prend p = 37.
5.1. Montrer que que 2̄ est un générateur de (F∗37 , ·).
5.2. Factoriser le polynôme X2 + X + 1 dans F37 [X].
Exercice 18
Soit K un corps fini à q = pk éléments avec p 6= 2. On considère les applications Φ : K∗ → K∗ et Ψ : K∗ → K∗
q−1
définies par : Φ(x) = x2 et Ψ(x) = x 2 .
1) Montrer que Φ et Ψ sont des des endomorphismes du groupe (K∗ , .) et que KerΦ =Im Ψ et ImΦ =Ker Ψ.
q−1
2) En déduire qu’un élément x ∈ K∗ est un carré dans K∗ , si et seulement si, x 2 = 1.
3) Donner une condition necessaire et suffisante sur q pour que −1 soit un carré dans K.
4) Soit D un corps de décomposition de X8 − 1 sur Fp .
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a) Montrer que D contient un élément ξ d’ordre 8.
(Indication : Montrer que les racines de X8 − 1, forment un sous-groupe d’ordre
8 de K∗ )
b) Montrer que (ξ + ξ−1 )2 = 2.
c) En posant q = 8k + r, où r est le reste de la division euclidienne de q par 8,
donner une condition nécessaire et suffisante sur q pour que 2 soit un carré dans
le corps K.
Exercice 19
Soit K un corps fini de cardinal q et de caractéristique différente de 2. Pour a ∈ K, on pose Ea = {a − x2 | x ∈ K},
C = {x2 ∈ K | x ∈ K}.
q+1
.
1 - Montrer que card(C) = card(Ea ) =
2
2 - Montrer que Ea ∩ H 6= ∅ et en déduire que tout élément de K est somme de deux carrées dans K
Exercice 20
Soit K un corps fini de cardinal q. Montrer que pour toute application f : K → K, il existe un polynôme g ∈ K[X]
unique de degré < q tel que ∀x ∈ K f(x) = g(x).
Exercice 21
Soit Ω une clôture algébrique de Fq , n ∈ N∗ premier avec q et ξ ∈ Ω une racine primitive n-ième de l’unité.
On note σ l’automorphisme de Frobenius de l’extension Fq [ξ]/Fq
1 - Montrer que, pour tout k ∈ N, σk = I ⇔ n|qk − 1.
2 - Déduire de 1) que [Fq (ξ) : Fq ] = o(q̄) où o(q̄) désigne l’ordre de q̄ dans Un .
3 - Soit Φn le polynôme cyclotomique de niveau n sur Fq . Montrer que Φn est irréductible sur Fq , si et seulement si, Un est cyclique engendré par q̄.
4 - Donner un exemple d’un polynôme cyclotomique qui n’est irréductible sur aucun Fq .
5 - On suppose que 2 - q et 3 - q. En étudiant l’irréductibilité de Φ3 , donner une condition nécessaire et suffisante sur q, pour que −3 soit un carré dans Fq .
Exercice 22
Soit α 6= 1 une racine de X5 − 1 sur F2 . On pose L = F2 [α] et f = Irr(α, F2 ).
1 - Montrer que f = X4 + X3 + X2 + X + 1.
2 - Déterminer [L : F2 ] ainsi que le cardinal de L.
3 - Quel est l’ordre de α dans L∗ ?
4 - Montrer que f est scindé sur L et exprimer toutes ses racines en fonction de α.
5 - On pose u = α + 1. Montrer que u est un générateur de (L∗ , ·).
6 - Déterminer g = Irr(u, F2 ) et factoriser g dans L[X].
7 - On note Dlog(x) le logarithme discret de x de base u. Calculer Dlog(α) et Dlog(α3 + α6 ).
Exercice 23
Soit k un entier naturel non nul, on pose n = 3k . Montrer que le polynôme cyclotomique Φn est irréductible
sur F2 .
Exercice 24
Montrer que le nombre de polynômes primitifs unitaires de degré n sur Fq est égal à
Exercice 25
4
φ(qn − 1)
n
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Soit Φ24 le polynôme cyclotomique de niveau 24. Déterminer le corps de décomposition de Φ24 sur F5 .
Exercice 26
Soit n ∈ N∗ . Le but de cet exercice est de démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers p tels que
n | p − 1.
Soit E = {p ∈ N : p soit premier et n | p − 1}. On suppose que E est fini, E = {p1 , p2 , . . . , pr } ou E = ∅. Soit
m = np1 p2 . . . pr (si E = ∅ on pose m = n) .
1) Montrer que ∀a, b ∈ N avec a ≥ 2 on a : a|b ⇒ a - Φn (b), où Φn désigne le n-ème polynôme cyclotomique.
(Remarquer que Φn (0) ∈ {1, −1}).
2) Montrer qu’il existe k ∈ N tel que Φn (km) 6∈ {+1, −1}.
3) En déduire qu’il existe p ∈ N premier tel que :
a) Φn possède une racine dans Fp et p 6 |n.
b) n | p − 1 et p 6∈ E.
4) Conclure à une contradiction.
Exercice 27
Soit K un corps fini de caractéristique p 6= 0 et de cardinal q, L/K une extension degré p. On notera σ le Kautomorphisme de L défini par σ(x) = xq .
1 - Monter qu’il existe α ∈ L tel que σ(α) − α = 1
2 - Etablir que L = K(α) et que Irr(α, K) = Xp − X + a.
Exercice 28
(Réciproque de l’exercice précédent)
Soit K un corps fini de caractéristique p 6= 0, a ∈ K et f = Xp − X + a.
Montrer que :
1) ou bien le polynôme f est irréductible sur K et dans ce cas là, son corps de décomposition est une
extension degré p sur K,
2) ou bien f est scindé sur K.
Exercice 29
Soit K un corps fini de cardinal q, L une extension de degré n sur K, σ le K-automorphisme de Frobenius
de l’extension. On appelle norme de l’extension L/K, l’application NL/K : L∗ −→ L∗ définie par NL/K (x) =
n−1
Y
σk (x), ∀x ∈ L. Montrer que la norme est un morphisme du groupe multiplicatif de L et déterminer son
k=0
image et son noyau.
Exercice 30
Dans ce problème, le terme corps désigne un corps non necessairement commutatif. On se propose de démontrer le théorème de Wedderburn : Tout corps fini est commutatif.
1) Soit Φn le polynôme cyclotomique de niveau n sur Q.
Xn − 1
a) Montrer que pour tout diviseur d de n distinct de n, Φn divise d
.
X −1
b) Montrer que pour tout n > 1 et tout x ≥ 2, on a :Φn (x) > x − 1.
2) Soit L un corps fini on suppose que L n’est pas commutatif. Soit K le centre de K, on pose card(K) = q et
pour tout x ∈ L, on note Cx = {y ∈ L : xy = yx}.
a) Montrer que K est un sous-corps de L et que card(L) = qn , où n est un entier > 1.
b) Montrer que Cx est un sous-corps de L contenant K et que card(Cx ) = qdx où dx est un diviseur de n.
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c) En faisant opérer le groupe (L∗ , .) sur lui-même par conjugaison, établir qu’il existe des entiers d1 , d2 , . . . , dr
divisant n mais distincts de n tels que :
qn − 1 = q − 1 +
r
X
qn − 1
qdi − 1
i=1
et en utilisant les résultats de 1), conclure à une contradiction.
Exercice 31
Soit F5 = {0, 1, 2, 3, 4} le corps fini à 5 éléments. On note K = F5 [α], la F5 -algèbre engendrée par α, vérifiant
α2 = 2.
1 - Montrer que K est un corps.
2 - Déterminer [K : F5 ] ainsi que card(K).
3 - Déterminer l’ordre multiplicatif de α ainsi que celui de β = 2α + 2 dans (K∗ , ×).
4 - Déduire de 3, que γ = 2α + 4 est un élément primitif de K.
5 - Déterminer le polynôme minimal f de γ.
6 - Factoriser f dans L[X].
7 - Déterminer en fonction de α, tous les éléments primitifs de L.
Exercice 32
Soit L un corps fini de cardinal pn , où p est un nombre premier. On rappelle que L est une extension de degré
n de Fp .
On note σ l’automorphisme de Frobenius del’extension. On rappelle que l’ordre de σ est égale à n.
Pour tout x ∈ L, on définit la trace de x par Tr(x) =
n−1
X
σk (x).
i=0
1 - Montrer que ∀x ∈ L, Tr(x) ∈ Fp , et que l’application Tr: L → Fp est une forme Fp -linéaire non nulle.
2 - Soit l’application linéaire φ = IL − σ : L → L, définie par φ(x) = x − σ(x). Montrer que Kerφ = Fp et que
Imφ ⊂ Ker(Tr).
3 - Déduire des résultats de la question 2, l’équivalence suivante :
∀x ∈ L, Tr(x) = 0 ⇔ ∃z ∈ L : z − σ(z) = x
Exercice 33
Soient p et q deux nombres premiers. On suppose q 6= 2, p ≡ −1 (mod 3) et q̄ engendre F× . Montrer que
Xp+1 − X + q est irréductible sur Q. (Indication : réduire modulo q et modulo 2).
Exercice 34
Soit K Un corps de cardinal q et f un polynôme non constant qui n’est pas une puissance d’un polynôme de
K[X]. On considère la K-algèbre A = K[X]/(f) et l’endomorphisme σ : A → A, u 7→ uq . Montrer que f est
irréductible, si et seulement si, dimKer(σ − IA ) = 1
Montrer que f est irréductible sur K, si et seulement si, dimKer(σ − IdA ) = 1
(Indication pour ⇐, si f n’est pas irréductible, montrer que A contient un élément e 6= 0, 1 tel que e2 = e, puis
montrer que e et 1 − e sont indépendants)
Exercice 35
Soit L/K une extension de degré n d’un corps fini K, et σ son automorphisme de Frobenius. Montrer qu’il existe
α ∈ L, tel que (α, σ(α), . . . , σn−1 (α)), soit une base de l sur K.
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