EXERCICES SUR LES CORPS FINIS Par A. HAILY

Université Chouaïb Doukkali – Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Master de mathématiques - Semestre 3
Module : Théorie des Codes Correcteurs
Responsable : A. Haïly
A.U. 2015-2016
EXERCICES SUR LES CORPS FINIS
Par A. HAILY
Exercice 1
Soit (G,·)un groupe abelien fini noté multiplicativement.
1 - On suppose que Gcontient un élément d’ordre ket un élément d’ordre m. Montrer que Gcontient un
élément d’ordre PPCM(k,m). (on considérera d’abord le cas où ket msont premiers entre eux).
2 - On considère l’entier e(G) = PPCM{o(g) : g∈G}, appelé l’exposant de G. Montrer que Gcontient un
élément d’ordre e(G).
3 - Soit Kun corps commutatif et Gun sous-groupe fini d’ordre nde (K∗, .). On note ml’exposant de G. Montrer
que tout élément de Gest racine du polynôme Xm−1.
4 - En utilisant la question 2, montrer que Gest cyclique.
Exercice 2
Soit n∈N∗. On note Unle groupe des éléments inversibles de l’anneau (Z/nZ,+,·). On note φ(n)le nombre
des entiers ktels que 1≤k≤n−1, qui sont premiers avec n.φ(n)est appelée l’indiatrice d’Euler de n.
1 - Montrer que ¯ k∈Un⇔k∧n=1. En déduire que o(Un) = φ(n).
2 - Soient m,ndeux entiers premiers entre-eux. Montrer qu’il existe un isomorphisme Z/nZ×Z/mZ→
Z/mnZ. En déduire que Um×Un∼
=Umn. En déduire que φ(mn) = φ(m).φ(n)
Exercice 3
Soit Gun groupe cyclique d’ordre nengendré par un élément g.
1 - Soit kun diviseur de n. On pose N={x∈G:xk=e}, montrer que Nest un sous-groupe de Gengendré
par gn
ket que o(N) = k.
2 - Montrer que Nest l’unique sous-groupe d’ordre kde G.
3 - Montrer que, pour tout m∈N, on a grhgmi=grhgn∧mi, où n∧mdésigne le PGCD de net m. En déduire
que l’ordre de gmest égal à n
n∧m.
4 - Montrer que gmengendre G, si et seulement si, m∧n=1. En déduire que le nombre de générateurs de G
est égal au à φ(n), l’indicatrice d’Euler de n.
Exercice 4
Soient Cmet Cndeux groupes cycliques notés multiplicativement d’ordres respectifs met n. Montrer que
Cm×Cnest un groupe cyclique, si et seulement si, met nsont premiers entre-eux.
Exercice 5
Soit nun entier naturel ≥2. On note Unle groupe des éléments inversibles de l’anneau (Z/nZ,+, .).
1 - On suppose que n=2kavec k>2. Calculer l’ordre de −1et celui de 2k−1+1. En déduire que Unn’est pas
cyclique.
2 - On suppose que n=pk, où pest un nombre premier impair et où k∈N∗.
a - Montrer que o(Un) = pk−1(p−1).
b - Montrer par récurrence que ∀s∈N, on a :
(1+p)ps≡1+ps+1(mod ps+2)
c - Déduire de a) que 1+pest d’ordre pk−1dans Un.
d - Soit a∈Ntel que ¯aengendre Fp
∗, on pose b=apk−1. Montrer que ¯
best d’ordre p−1dans Un.
d - Déduire des résultats précédents que Unest un groupe cyclique.
3 - Soit n∈N. Montrer que Unest cyclique, si et seulement si, n=2,4,pk, ou 2pk, avec pun nombre premier
impair et kun entier naturel non nul.
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Exercice 6
Soit Kun corps commutatif.
1) Montrer qu’un polynôme de degré 2ou 3est irréductible sur K, si et seulement si, il n’admet pas de racine
dans K.
2) Déterminer tous les polynômes irréductibles unitaires de degré ≤3sur F2et sur F3.
3) Vérifier que le polynôme X4+1ne possède pas de racine dans F3. Est-il irréductible sur ce corps ?.
4) Montrer qu’un polynôme de degré 4 ou 5 est irréductible sur F2, s’il n’a pas de racine dans F2et n’est pas
divisible par X2+X+1. Etudier l’irréductiblité du polynôme X5+X2+1sur F2.
Exercice 7
Soit Kun corps fini à qéléments.
1) Pour n∈N, calculer X
x∈K
xn.
2) Montrer que le produit des éléments non nuls de Kest égale à −1.
Exercice 8
Montrer que la classe de 2 est un générateur du groupe multiplicatif F∗
19 et donner la table des logarithmes
discrets de base 2 dans F∗
19.
Exercice 9
Soit pun nombre premier impair. Montrer que l’application Fp→Fp;x7→x2n’est pas surjective. En déduire
que pour tout nombre premier pil existe un corps fini à p2éléments.
Exercice 10
1) Montrer que le polynôme f=X3+2X +1est irréductible sur F3.
2) Soit αune racine de fdans un corps de décomposition de fsur F3. Exprimer (α+1)−1comme polynôme
en α.
Exercice 11
Soit f=X4+X3+X2+X+1∈F2[X], on pose K=F[X]
(f)et α=¯
X.
1 - Montrer que Kest un corps de cardinal 16.
2 - Déterminer un élément primitif de Ken fonction de α.
Exercice 12
Soit F3= (Z/3Z,+, .)et f=X2+1∈F3[X].
1) Verifier que fest irréductible sur F3.
2) Soit L=F3[X]/(f)où (f)désigne l’idéal de F3[X]engendré par f. Montrer que Lest un corps à 9éléments
extension de F3.
3) Déterminer un élément primitif de Len fonction de α.
Exercice 13
Soit pun nombre premier et n∈N∗. Montrer que tout polynôme irréductible de degré nsur Fpdivise Xpn−X
Exercice 14
Soit la F2algèbre K=F2[X]
(X4+X3+1). On pose α=¯
X.
1) Montrer que Kest un corps. Quel est son cardinal ?
2)Montrer que αest un élément primitif de K.
3) Déterminer le logarithme discret de base αde chaque élément non nul de K
4) Déterminer les sous-corps de K(pour chaque sous-corps déterminer un élément primitif).
5) Factoriser le polynôme X4+X3+1dans K.
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6) Soit Lla F2-algèbre engendrée par βverifiant β4+β+1=0.
6.1. Montrer que Lest un corps isomorphe à K.
6.2. Montrer que βest un élément primitif de L.
6.3. Déterminer explicitement tous les isomorphismes φ:K→L.
(Pour chaque isomorphisme, on determinera un entier k∈{0,1,2,...,14}tel que φ(α) = βk).
Exercice 15
1) Soit Fqle corps à qéléments et fun polynôme irréductible de degré dsur Fq. Montrer que, pour tout n∈N∗,
fdivise Xqn−X⇔ddivise n.
2) Soit Edl’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré dsur Fq. On note Ψ(d)le cardinal de
Edet on pose Ed={fd,1,fd,2, . . . , fd,Ψ(d)}. Etablir l’égalité :
Xqn−X=Y
d|n
Ψ(d)
Y
k=1
fd,k
3) En déduire que :
qn=X
d|n
d.Ψ(d)
4) Calculer Ψ(d)pour d=1,2,3,4,poù pest un nombre premier quelconque.
Exercice 16
Soit pun nombre premier quelconque. Le but de cet exercice est de montrer que le polynôme f=X4+1n’est
pas irréductible sur Fp.
1 - Montrer ce résultat si p=2.
Dans la suite on suppose désormais que p≥3, et on considère un corps fini Kàp2éléments.
2 - Montrer que 8|card(K∗).
3 - Montrer que K∗contient un élément βd’ordre 8.
4 - Montrer que f(β) = 0.
5 - Quel est le degré de l’extension K/Fp
6 - En déduire que fn’est pas irréductible sur Fp.
Exercice 17
Dans tout cet exercice, pdésigne un nombre premier 6=3et Fple corps fini à péléments.
1 - Montrer que X2+X+1est scindé sur Fp, si et seulement si, 3|p−1.
2 - Soit Dun corps de cardinal p2. Montrer que le polynôme X2+X+1. est scindé sur D.
3 - Soit Fple corps fini à p. Montrer que X2+X+1est scindé sur Fp, si et seulement si, 3|p−1.
4 - Déduire de 3 que −3est un carré modulo p, si et selement si, p=3k +1, où k∈N.
5 - On prend p=37.
5.1. Montrer que que ¯ 2est un générateur de (F∗
37,·).
5.2. Factoriser le polynôme X2+X+1dans F37[X].
Exercice 18
Soit Kun corps fini à q=pkéléments avec p6=2. On considère les applications Φ:K∗→K∗et Ψ:K∗→K∗
définies par : Φ(x) = x2et Ψ(x) = xq−1
2.
1) Montrer que Φet Ψsont des des endomorphismes du groupe (K∗, .)et que KerΦ=Im Ψet ImΦ=Ker Ψ.
2) En déduire qu’un élément x∈K∗est un carré dans K∗, si et seulement si, xq−1
2=1.
3) Donner une condition necessaire et suffisante sur qpour que −1soit un carré dans K.
4) Soit Dun corps de décomposition de X8−1sur Fp.
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a) Montrer que Dcontient un élément ξd’ordre 8.
(Indication : Montrer que les racines de X8−1, forment un sous-groupe d’ordre
8 de K∗)
b) Montrer que (ξ+ξ−1)2=2.
c) En posant q=8k +r, où rest le reste de la division euclidienne de qpar 8,
donner une condition nécessaire et suffisante sur qpour que 2soit un carré dans
le corps K.
Exercice 19
Soit Kun corps fini de cardinal qet de caractéristique différente de 2. Pour a∈K, on pose Ea={a−x2|x∈K},
C={x2∈K|x∈K}.
1 - Montrer que card(C) = card(Ea) = q+1
2.
2 - Montrer que Ea∩H6=∅et en déduire que tout élément de Kest somme de deux carrées dans K
Exercice 20
Soit Kun corps fini de cardinal q. Montrer que pour toute application f:K→K, il existe un polynôme g∈K[X]
unique de degré < q tel que ∀x∈K f(x) = g(x).
Exercice 21
Soit Ωune clôture algébrique de Fq,n∈N∗premier avec qet ξ∈Ωune racine primitive n-ième de l’unité.
On note σl’automorphisme de Frobenius de l’extension Fq[ξ]/Fq
1 - Montrer que, pour tout k∈N,σk=I⇔n|qk−1.
2 - Déduire de 1) que [Fq(ξ) : Fq] = o(¯q)où o(¯q)désigne l’ordre de ¯qdans Un.
3 - Soit Φnle polynôme cyclotomique de niveau nsur Fq. Montrer que Φnest irréductible sur Fq, si et seule-
ment si, Unest cyclique engendré par ¯q.
4 - Donner un exemple d’un polynôme cyclotomique qui n’est irréductible sur aucun Fq.
5 - On suppose que 2-qet 3-q. En étudiant l’irréductibilité de Φ3, donner une condition nécessaire et suffi-
sante sur q, pour que −3soit un carré dans Fq.
Exercice 22
Soit α6=1une racine de X5−1sur F2. On pose L=F2[α]et f=Irr(α,F2).
1 - Montrer que f=X4+X3+X2+X+1.
2 - Déterminer [L:F2]ainsi que le cardinal de L.
3 - Quel est l’ordre de αdans L∗?
4 - Montrer que fest scindé sur Let exprimer toutes ses racines en fonction de α.
5 - On pose u=α+1. Montrer que uest un générateur de (L∗,·).
6 - Déterminer g=Irr(u,F2)et factoriser gdans L[X].
7 - On note Dlog(x)le logarithme discret de xde base u. Calculer Dlog(α)et Dlog(α3+α6).
Exercice 23
Soit kun entier naturel non nul, on pose n=3k. Montrer que le polynôme cyclotomique Φnest irréductible
sur F2.
Exercice 24
Montrer que le nombre de polynômes primitifs unitaires de degré nsur Fqest égal à φ(qn−1)
n
Exercice 25
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Soit Φ24 le polynôme cyclotomique de niveau 24. Déterminer le corps de décomposition de Φ24 sur F5.
Exercice 26
Soit n∈N∗. Le but de cet exercice est de démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers ptels que
n|p−1.
Soit E={p∈N:psoit premier et n|p−1}. On suppose que Eest fini, E={p1,p2, . . . , pr}ou E=∅. Soit
m=np1p2...pr(si E=∅on pose m=n) .
1) Montrer que ∀a,b∈Navec a≥2on a : a|b⇒a-Φn(b), où Φndésigne le n-ème polynôme cyclotomique.
(Remarquer que Φn(0)∈{1,−1}).
2) Montrer qu’il existe k∈Ntel que Φn(km)6∈ {+1,−1}.
3) En déduire qu’il existe p∈Npremier tel que :
a) Φnpossède une racine dans Fpet p6|n.
b) n|p−1et p6∈ E.
4) Conclure à une contradiction.
Exercice 27
Soit Kun corps fini de caractéristique p6=0et de cardinal q,L/K une extension degré p. On notera σle K-
automorphisme de Ldéfini par σ(x) = xq.
1 - Monter qu’il existe α∈Ltel que σ(α) − α=1
2 - Etablir que L=K(α)et que Irr(α,K) = Xp−X+a.
Exercice 28
(Réciproque de l’exercice précédent)
Soit Kun corps fini de caractéristique p6=0,a∈Ket f=Xp−X+a.
Montrer que :
1) ou bien le polynôme fest irréductible sur Ket dans ce cas là, son corps de décomposition est une
extension degré psur K,
2) ou bien fest scindé sur K.
Exercice 29
Soit Kun corps fini de cardinal q,Lune extension de degré nsur K,σle K-automorphisme de Frobenius
de l’extension. On appelle norme de l’extension L/K, l’application NL/K :L∗−→L∗définie par NL/K(x) =
n−1
Y
k=0
σk(x),∀x∈L. Montrer que la norme est un morphisme du groupe multiplicatif de Let déterminer son
image et son noyau.
Exercice 30
Dans ce problème, le terme corps désigne un corps non necessairement commutatif. On se propose de démon-
trer le théorème de Wedderburn :Tout corps fini est commutatif.
1) Soit Φnle polynôme cyclotomique de niveau nsur Q.
a) Montrer que pour tout diviseur dde ndistinct de n,Φndivise Xn−1
Xd−1.
b) Montrer que pour tout n > 1 et tout x≥2,ona:Φn(x)> x −1.
2) Soit Lun corps fini on suppose que Ln’est pas commutatif. Soit Kle centre de K, on pose card(K) = qet
pour tout x∈L, on note Cx={y∈L:xy =yx}.
a) Montrer que Kest un sous-corps de Let que card(L) = qn, où nest un entier > 1.
b) Montrer que Cxest un sous-corps de Lcontenant Ket que card(Cx) = qdxoù dxest un diviseur de n.
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