0Systèmes linéaires

CHAPITRE 0 : RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES
I- DES EXEMPLES :
A-
2 5
3 2 4
x y
x y
+ =
− =
est un système linéaire de 2 équations, à 2 inconnues (on dit aussi un système (2,2)). Le résoudre,
c’est déterminer l’ensemble de ses solutions, en l’occurrence tous les couples
( ; )
x y
satisfaisant aux 2 équations, et
appartenant à l’ensemble de référence (
2 2 2
, , ,...
ℝ ℂ ℤ
).
Lorsqu’on écrit
2 5 2
3 2 4 1
x y x
x y y
+ = =
⇔
− = =
, le symbole d’équivalence signifie que les deux systèmes ont le même
ensemble solution.
L’implication
2 5 2
3 2 4 1
x y x
x y y
+ = =
⇒
− = =
ne permet pas d’affirmer qu’il existe une solution, mais que cette solution, si
elle existe, est nécessairement le couple (2 ;1).
L’implication
2 2 5
1 3 2 4
x x y
y x y
= + =
⇒
= − =
certifie l’existence d’un couple solution, mais ne permet pas d’affirmer qu’il est
le seul.
On voit donc que, lorsqu’on résout un système, il est indispensable de procéder par équivalences, et de s’interroger à
chaque étape de la résolution si le « nouveau » système est bien équivalent à l’ « ancien » système.
La suite d’équivalences
2 5 5 2 5 2 2
3 2 4 3 2(5 2 ) 4 7 14 1
x y y x y x x
x y x x x y
+ = = − = − =
⇔ ⇔ ⇔
− = − − = = =
constitue une rédaction
possible de la résolution ; la méthode utilisée est celle dite « de substitution ».
La suite d’équivalences
2 5 2 5 2 5 2
3 2 4 3 2 2 (2 ) 4 2 5 7 14 1
x y x y x y x
x y x y x y x y
+ = + = + = =
⇔ ⇔ ⇔
− = − + × + = + × = =
constitue une
autre rédaction possible (méthode dite de « combinaison »).
Interprétation géométrique : les 2 équations sont celle de 2 droites du plan ; Résoudre le système, c’est donc chercher les
coordonnées des éventuels points d’intersection de ces 2 droites.
B-
2 5
3 2 4
4 5 11
x y
x y
x y
+ =
− =
+ =
est un système de 3 équations, à 2 inconnues (un système(3,2)). Pour le résoudre, il faut donc procéder
par équivalences successives. On aura donc :
2 5 2 2
3 2 4 .... 1 1
4 5 11 4 5 11 13 11
x y x x
x y y y
x y x y
+ = = =
− = ⇔ ⇔ = ⇔ =
+ = + = =
.
En conclusion, le système n’a pas de solution, puisque l’équation 13=11 n’est jamais vérifiée. S
=∅
.
C-
2 3 1
3 4 1
x y z
x y z
+ − =
+ + = −
est un système de 2 équations, à 3 inconnues.
Interprétation géométrique :
Les 2 équations sont celles de 2 plans de l’espace. On cherche donc l’intersection de ces 2 plans. Vous savez
(programme de TS) que l’intersection de 2 plans en général une droite (plans sécants) mais peut aussi être l’ensemble
vide (plans strictement parallèles) ou un plan (plans égaux).
Donc, avant même d’entreprendre un calcul, on sait que le système a une infinité de solutions (des triplets, en
l’occurrence) ou aucune solution, mais jamais un unique triplet solution.La résolution de ce système conduit à chercher
à exprimer 2 des 3 inconnues en fonction de la 3
ème
, qui joue alors le rôle de paramètre.
13
1
2 3 1 1 3 2 1 3 2 5
3 4 1 3 4(1 3 2 ) 1 5 13 5 11
1
5
x z
x y z y z x y z x
x y z x z x z x z
y z
= +
+ − = = + − = + −
⇔ ⇔ ⇔
+ + = − + + − + = − − + = −
= − −
.

Chaque valeur donnée au paramètre
z
permet d’obtenir un triplet solution.
Par exemple, pour
0
z
=
on obtient le triplet
(1; 1;0)
−
; pour
5
z
=
on obtient le triplet
(14; 12;5)
−
.
Il y a donc une infinité de solutions, que l’on décrit ainsi :
13 11
(1 ; 1 ; ),
5 5
S z z z z = + − − ∈
ℝ
.
L’écriture de cet ensemble a une « allure » bien différente si l’on choisit comme paramètre x ou y.
Remarque : On peut aussi bien écrire :
13 11
(1 ; 1 ; ),
5 5
S k k k k = + − − ∈
ℝ
.
Cela signifie en fait que les triplets
( ; ; )
x y z
solutions sont ceux qui vérifient le système :
Interprétation géométrique (bis) : vous reconnaissez ici un système d’équations paramétriques de la droite d’intersection
des 2 plans initiaux. Donnez un repère de cette droite, c'est-à-dire un point et un vecteur directeur.
II- DES METHODES :
A- Des systèmes équivalents :
Quand on résout un système, en procédant par implication, la suite
1 2 3 4
S S S S
⇒ ⇒ ⇒ permet d’affirmer que pour que
le 1
er
système soit vérifié, il est nécessaire qu le 4
ème
le soit. La réciproque (
4 1
S S
⇒) doit alors être aussi prouvée.
Avant d’écrire entre 2 systèmes le symbole d’équivalence
⇔
, il est donc indispensable d’être sûr de son droit…
Notations : Considérons le système
1 1
2 2
g d
g d
=
=
, constitué de deux équations (2 membres de gauche et 2 membres de
droite). On note
1
L
la 1
ère
équation et
2
L
la 2
ème
.
1 2
L L
α β
+ désigne alors naturellement l’équation :
1 2 1 2
g g d d
α β α β
+ = + .
Il est alors bien clair que si les équations
1
L
et
2
L
sont vérifiées, l’équation
1 2
L L
α β
+ aussi.
On retiendra, et cela sera démontré plus tard dans l’année, que l’on passe d’un système linéaire à un système linéaire
équivalent en effectuant l’une des trois opérations, dites élémentaires, suivantes :
- Echange de deux équations : On note
1 3
L L
↔ l’échange de la 1èe et de la 3
ème
équation.
- Produit d’une équation par un coefficient
α
non nul : On note
i i
L L
α
← cette opération.
- Ajout d’un multiple d’une ligne à une autre ligne : On note
i i j
L L L
α
← + cette opération.
Exemples :
Dans chacun des cas suivants, réfléchir à la validité des implications réciproques.
1
3
2 11
5
xx y
y=
• ⇒ + =
=
2
3 2 11
5 5
x x y
y y
= + =
• ⇒
= =
3
3 2 11
5 4 2 22
x x y
y x y
= + =
• ⇒
= + =
4
1 1
2 2 1
12
L L
L L L
•⇒
  +
5
1 1
2 2 1
L L
L L L
α
•⇒
  +
6
1 2
2 2 1
L L
L L L
α
•⇒
  +
7
1 1
2 2 1
L L
L L L
α β
•⇒
  +
Réponses :
1
Invalide
•
2
Valide
•
3
Invalide
•
4
Valide
•
5
Valide
•
6
( 0)
Invalide si
α
• =
7
( 0)
Invalide si
α
• =
B- La méthode du pivot de Gauss (bref aperçu) :
B1- Système triangulaire :
Résoudre le système
2 2 3 2
6 3
4
x y z
y z
z
+ − =
− = −
=
(c’est un système triangulaire à coefficients diagonaux non nul)
Remarque : quand un système triangulaire possède des coefficients diagonaux nuls, deux situations peuvent se
produire : l’apparition d’une équation « impossible » , qui conduit à
S
=∅
, ou la disparition d’une ou plusieurs
équations , qui conduit à une infinité de solutions avec un ou plusieurs paramètres.
B2- Mise sous forme triangulaire : Nous ne parlerons ici que d’un système (3,3).

Exemple :
Soit
( )
S
le système :
1
2
3
2 2 3 2 ( )
2 3 5 ( )
6 4 4 16 ( )
x y z L
x y z L
x y z L
+ − =
− − − = −
+ + =
. On constate que le coefficient de
x
dans la 1
ère
équation est non nul.
Le système constitué des lignes
1
2 1
3 1
3
L
L L
L L
+
−
est équivalent au système
( )
S
, et ne fait apparaître
x
que dans la 1
ère
équation. On dit que le coefficient de
x
dans l’équation
1
L
a servi de pivot pour éliminer les autres occurrences de
x
.
Le nouveau système est maintenant :
1
2 2 1
3 3 1
2 2 3 2 ( )
6 3 ( )
2 13 10 ( 3 )
x y z L
y z L L L
y z L L L
+ − =
− = − ← +
− + = ← −
Notez qu’on indique, afin de faciliter la lecture, les opérations qui ont permis de passer du 1
er
au 2
ème
système. Par la
suite on nomme les lignes du 2
ème
système
1 2 3
, ,
L L L
.
On constate que le coefficient de
y
dans la 2
ème
équation est non nul ; il va servir de pivot pour éliminer l’occurrence de
y
dans la 3
ème
équation ; on obtient :
1
2
3 3 2
2 2 3 2 ( )
6 3 ( )
4 ( 2 )
x y z L
y z L
z L L L
+ − =
− = −
= ← +
.
A ce stade, le système obtenu est triangulaire, et on termine par substitutions successives la résolution.
B3 : Les problèmes qui peuvent survenir :
Pas de pivot où on veut : on peut permuter 2 équations entre elles.
Plus de pivot : si tous les coefficients de x sont nuls, on peut s’intéresser à ceux de y…
Un membre de gauche devient nul : l’équation correspondante disparaît, ou rend le système incompatible.
III- DES EXERCICES :
A- Tout se passe bien :
1-
2 4
3 9
x y
x y
+ =
− =
2-
4
2 2 2
3 2
x y z
x y z
x y z
+ + = −
+ + = −
− + −− = −
3-
2
2 3 1
0
3 2 5
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
− + − = −
− + + =
+ + + =
− − + + = −
B- Ca se complique :
1-
2
2 2 17
x y
x y
+ =
+ =
2-
3
3 3 9
x y
x y
+ =
+ =
3-
3
2 4 2
4 6 8
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ + =
4-
4
2 2
2 3 1
4 3
x y z t
x y z t
x y z t
y z t
+ + + =
− + + + =
+ + − = −
+ − = −
5-
4
2 2
2 3 1
4 4
x y z t
x y z t
x y z t
y z t
+ + + =
− + + + =
+ + − = −
+ − =
6-
2
2 3 4
3 5 3 3 6
4 5 8
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
+ − − =
+ + + =
+ + + =
+ − − =
C-
çà se discute : ici apparaît un paramètre réel, m :
1-
3
2 4
x y
mx y
+ =
+ =
2-
3
2 6
x y
mx y
+ =
+ =
3-
1
2 4
6
x y z
x my z
x y z
+ + =
+ − =
− + =
4-
1
2 4
6
x y z
x my z
x y z
+ + =
+ − =
− − =