1 Des axiomes.

Géométrie élémentaire en seconde.
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Des axiomes.
1. Dans notre ensemble, qu’on appellera espace, on a des points, des
droites et des plans.
2. Par deux points distincts passe une unique droite. On dira de points
qui sont sur une même droite qu’ils sont alignés.
Figure 1 –
Figure 2 –
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3. Par trois points non sur une même droite passe un unique plan. On
dira de points qui sont dans un même plan qu’ils sont coplanaires.
Figure 3 –
4. Si deux points d’une droite est dans un plan alors toute la droite y
est. On dira de deux droites qui sont dans un même plan qu’elles sont
coplanaires.
Figure 4 –
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5. On dit que deux droites distinctes sont parallèles si elles sont dans un
même plan et qu’elles ne se coupent pas.
Figure 5 –
6. Toute droite est parallèle à elle-même.
7. On dit que deux plans distincts sont parallèles si ils ne se coupent pas.
Figure 6 –
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8. Tout plan est parallèle à lui-même.
9. On dit qu’une droite non contenue dans un plan est parallèle à ce plan
si la droite ne coupe pas le plan.
Figure 7 –
10. Une droite contenue dans un plan est toujours parallèle à ce plan .
11. Deux plans non parallèles se coupent suivant une droite.
Figure 8 –
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12. Si deux droites sont parallèles à une troisième alors elles sont parallèles
entre-elles.
Figure 9 –
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Des théorèmes.
1. Si deux droites distinctes se coupent alors elle sont dans un même plan.
Preuve : Notons M le point d’intersection des deux droites et appelons
A un point de la première droite et B un point de la seconde. A, B
et M ne sont pas alignés car les droites sont distinctes . Et par trois
points non alignés (axiome c) passe un unique plan. Cqfd
2. Si une droite d est parallèle à une droite δ d’un plan alors elle est parallèle à ce plan.
Preuve : Si la droite d ne l’est pas alors il existe un point M d’intersection entre la droite d et le plan. Introduisons la droite d’ passant par
M parallèle à δ . D’une part la droite d’ appartient alors au plan et
d’autre part d et d’ sont parallèles donc confondues car possédant un
point commun. Donc dans ce cas d est dans le plan et donc parallèle à
celui-ci. Maintenant si la droite d n’est pas dans le plan alors le point
M ne peut pas exister et la droite d est parallèle au plan. Cqfd.
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3. Deux plans non parallèles se coupent suivant une droite d. Si une droite
d1 dans le premier plan et parallèle à une droite d2 dans le second plan
alors d1 et d2 sont parallèles à la droite d. Preuve : Si d1 et d ne sont
pas parallèles alors elles se coupent en un point M . M n’est pas sur
d2 car les droites d1 etd2 sont parallèles. M et d2 définissent donc le
second plan. Or d1 est parallèle à d2 donc parallèle au plan et par suite
le point M ne peut exister. Cqfd.
Figure 10 –
C’est le théorème du toit.
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