Géométrie dans l`espace

Chapitre II
Géométrie dans l’espace
1 La perspective cavalière
Lorsque l’on est amené à représenter un objet à 3 dimensions sur une feuille, un tableau qui
sont des plans (espaces à deux dimensions), on est obligé d’utiliser une perspective. Il existe
plusieurs types de perspectives. En mathématiques, on utilise la perspective cavalière car elle a
le mérite de conserver certaines propriétés.
Perspective "classique" Perspective cavalière
Conserve :
– le parallélisme ?
– les distances ?
– les rapports de distances ?
Conserve :
– le parallélisme ?
– les distances ?
– les rapports de distances ?
En perspective cavalière :
– Si deux droites sont parallèles, alors elles sont représentées par deux droites parallèles.
– Si un point est le milieu d’un segment, alors il est représenté par le milieu du segment.
La perspective cavalière est caractérisée par :
– Un plan frontal : tout segment contenu dans ce plan ou un plan paral-
lèle est représenté en vraie grandeur.
– Un angle de fuite α: les droites perpendiculaires au plan frontal ap-
pelées fuyantes sont représentées dans la direction correspondant à cet
angle.
– Un coefficient de fuite k: les longueurs des segments perpendiculaires
au plan frontal sont multipliées par k.
– Les lignes visibles sont représentées en traits pleins, les lignes cachées
en pointillés.
Plan frontal
Fuyante
α
1

2 Fondements de la géométrie dans l’espace
2.1 Règles de base
Règle 1 : Par deux points distincts passe une seule droite.
On dit que les deux points distincts déterminent une droite. Si plusieurs points de l’espace
appartiennent à une même droite, alors ils sont alignés.
Règle 2 : Par trois points non alignés passe un seul plan.
P×
× ×
A
B C
On dit que trois points non alignés déterminent un plan. Si plusieurs points de l’espace appar-
tiennent à un même plan, alors ils sont coplanaires.
Règle 3 : Si A et B sont deux points du plan P, alors tous les points de la droite (AB) appar-
tiennent au plan P.
Règle 4 : Si deux plans distincts ont un point com-
mun, alors leur intersection est une droite.
I
J
Si deux plans distincts ont pour intersection la droite d, on dit qu’ils sont sécants selon d.
Règle 5 : Tous les résultats de la géométrie plane s’appliquent dans chaque plan de l’espace.
Les théorèmes et propriétés vus dans le plan sont parfois faux dans l’espace (ex : Deux droites
qui n’ont pas d’intersection ne sont pas forcément parallèles). En revanche, ils sont toujours
valables dans un plan de l’espace (ex : dans un plan de l’espace, on peut toujours utiliser les
théorèmes de Thalès, de Pythagore, etc ...).
2.2 Détermination d’un plan
Propriété 1 Un plan Ppeut être déterminé par :
P×
× ×
A
B C
(a) trois points non alignés
P
d d′
(b) deux droites sécantes
P
d
d′
(c) deux parallèles strictes
P
×A
d
(d) une droite et un point extérieur
2

3 Positions relatives de droites et plans
Deux droites peuvent être :
– coplanaires : dans ce cas elles peuvent être sécantes, parallèles ou confondues
– non coplanaires (il n’existe aucun plan contenant ces deux droites)
Deux plans peuvent être :
– sécants (leur intersection est une droite)
– parallèles (ils n’ont aucun point commun ou ils sont confondus.)
Remarque 1 Dans la pratique, pour déterminer l’intersection de deux plans, on trouve donc
deux points communs aux deux plans. Pour cela, on peut parfois faire apparaître deux droites
coplanaires contenues respectivement dans chacun des deux plans.
Une droite peut être :
– sécante à un plan
– parallèle à ce plan ( elle n’a aucun point commun avec le plan ou elle est comprise dans ce
plan.)
Remarque 2 Dans la pratique, pour déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan, on
trouve l’intersection de cette droite avec l’une des droites du plan (bien choisie...)
Attention à la notion de parallélisme entre droite et plan : si deux droites sont parallèles à un
même plan, elles ne sont pas nécessairement parallèles...
Exemple 1
A
BC
D
E
F
G
H
Compléter le tableau suivant :
sécant(e)s parallèles coplanaires non coplanaires
(AD)et (DC)sont
(AE)et (CG)sont
(EG)et (F H )sont
(BF )et (DC)sont
(BH )et (AG)sont
(ADH)et (GCF )sont
(EGH )et (CBF )sont
(ADC)et (CBD)sont
(EH C)et (ADG)sont
(AD)et (CGF )sont
(EG)et (BCF )sont
(DG)et (HCG)sont
3

4 Parallélisme dans l’espace
4.1 Parallélisme entre droites
Propriété 2 Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre
elles.
Propriété 3 Si Pet P′sont deux plans pa-
rallèles, alors tout plan Qqui coupe Pcoupe
aussi P′et les droites d’intersection sont pa-
rallèles.
P
Q
P′
d′=Q ∩ P′ d=Q ∩ P
P k P′
⇒dkd′
Propriété 4 (théorème du toit) d et d’ sont
deux droites parallèles. Pest un plan conte-
nant d, et P′un plan contenant d’. Si, en
outre, les plans Pet P′sont sécants, alors la
droite ∆d’intersection de ces plans est paral-
lèle à d et à d’.
P
⇒∆kd, d′
P′
d⊂ P
∆ = P ∩ P′
d′⊂ P′
dkd′
4.2 Parallélisme entre plans
Propriété 5 Si deux plans sont parallèles à un même plan, alors ils sont parallèles entre eux.
Propriété 6 Soit d et ∆deux droites sécantes de P. Soit d’ et ∆′deux droites sécantes de P′.
Si d et d’ sont parallèles, et si ∆et ∆′sont parallèles, alors les plans Pet P′sont parallèles.
d
∆
d’
∆′
P
P′
4

4.3 Parallélisme entre une droite et un plan
Propriété 7 Si une droite dest parallèle à une droite d′, alors la droite dest parallèle à tout
plan contenant la droite d′.
Propriété 8 Si deux plans sont parallèles, alors toute droite de l’un des plans est parallèle à
l’autre plan.
5