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C
A
M
E
F
B
P
L ’unité est le centimètre. La figure n ’est pas à l ’échelle .
On ne demande pas de reproduire la figure.
Les points E,M,A,B sont alignés dans cet ordre, les points F,P,A,C
sont alignés dans cet ordre.
Les droites (EF) et (MP) sont parallèles.
AM = 6 ; MP = 4,8 ; AP = 3,6 ; EF = 6 ; AC = 4,5 ; AB = 7,5
1) Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle.
2) Calculer AE et en déduire la longueur ME.
3) Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles.
4) Démontrer que les angles CBA et AMP sont égaux.
C
6
M
E
A
B
4,8
P
F
3,6
1) Le triangle AMP est-il rectangle ?
Le côté le plus long du triangle AMP
est AM = 6 cm.
Les mesures des trois côtés sont
connues.
On cherche à savoir si l ’égalité de
Pythagore est vérifiée.
Je compare
AM² = 6²
AM² = 36
AP² + MP² = 3,6² + 4,8²
AP² + MP² = 12,96 + 23,04 L’égalité de Pythagore est
AP² + MP² = 36
vérifiée : on applique le
D’après le théorème réciproque de
Pythagore ce triangle est rectangle en A.
théorème réciproque de
Pythagore.
C
E
M
6
4,8
F
6
A
B
P
3,6
2) On demande de calculer AE et EM.
Sur ce croquis on sait que les droites (MP) et (EF) sont parallèles.
On connaît AM = 6 AP = 3,6 MP = 4,8 et EF = 6 .
Les droites (MP) et (EF) sont parallèles donc les triangles
AMP et AEF sont en situation de THALES.
L’égalité de THALES s ’écrit :
AM
AP
MP


EF
AF
AE
A est le point opposé aux deux côtés parallèles.
Petit côté
grand côté parallèle
C
E
M
6
4,8
F
6
A
B
P
3,6
AM
AP
MP


EF
AF
AE
6
3,6 4,8


AM AF 6
Pour calculer MN je choisis
6
4,8

AM
6
4,8 AM = 36
: 4,8
AM = 36/4,8
AM = 7,5 cm
Les points A,M et E sont alignés donc EM =AE - AM donc EM =1,5cm
C
4,5
6
M
E
F
A
B
P
3,6
7,5
3) Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles.
Les points M,A,B d ’une part et les points P,A et C d ’autre part sont
alignés dans le même ordre, donc si
AC Alors les droites (MP) et (BC) sont parallèles.
AP

AB
AM
AC 4,5
AP
3
,
6
Je vérifie

 0,6

 0,6
AB 7,5
AM
6
L ’égalité est vérifiée donc les droites (MP) et (BC) sont parallèles
d ’après le théorème réciproque de THALES.
C
A
M
E
F
B
P
4) Démontrer que les angles CBA et AMP sont égaux.
D ’après la question précédente,
les droites (MP) et (BC) sont parallèles
et coupent les deux sécantes (MB) et
(PC)
donc elles déterminent deux angles alternesinternes de même mesure.