Chapitre 6 – La dérivation

Cours de Mathématiques – Première STI2D – Chapitre 6 – La dérivation
Chapitre 6 – La dérivation
A) Nombre dérivé et tangente
1) Tangente en un point à une courbe et nombre dérivé
Soit f(x) la fonction dont la courbe est représentée ci-dessus, et prenons deux points A et B sur cette
courbe, avec pour coordonnées A(a ; f(a)) et B(a+h ; f(a+h)).
Traçons alors la droite (AB), puis rapprochons le point B du point A.
On appellera tangente en A à la courbe de f(x) la droite vers laquelle tend (AB) lorsque B se
rapproche de A.
La pente de cette droite est appelée nombre dérivé de f(x) en A. On la note f'(a).
Or la pente de la droite (AB) est égale au taux de variation entre A et B, soit :
t a (h)=
f (a+ h)− f ( a)
.
h
Le nombre dérivé f'(a) est donc la limite de ce taux de variation lorsque h se rapproche de 0,
2) Équation de la tangente
Cette équation s'écrit :
y= f ' (a)( x – a)+ f (a)
Démonstration :
La pente (ou coefficient directeur) de la tangente est f'(a), donc son équation peut s'écrire (k étant un
réel à déterminer) : y= f ' (a)×x+ k.
Or elle passe par le point A(a ; f(a)), d'où f (a )= f ' ( a)×a+ k soit k = f (a) – a f ' ( a).
On en déduit que son équation est :
y= f ' (a)×x+ f ( a) – f ' (a )×a , soit y= f ' (a)×( x – a)+ f (a) .
CQFD
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2) Fonction dérivable en un point
Il y a trois cas où une fonction n'a pas de nombre dérivé en un point :
Soit le cas où la tangente en ce point est verticale (pente infinie !).
Soit le cas où il y a une tangente "à droite" et une autre tangente "à gauche".
Soit le cas où il n'y a aucune tangente possible en ce point.
Lorsque une fonction admet un nombre dérivé en un point, on dit qu'elle est dérivable en ce
point.
Exemples de non dérivabilité :
a) f ( x )= √ x n'est pas dérivable pour x = 0 :
On voit bien ici que la tangente en x=0 est verticale, donc sa pente est infinie.
b) f ( x )=| x |
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On voit bien que le nombre dérivé est égal à -1 à gauche de zéro et à 1 à droite : f (x) n'est pas
dérivable en zéro mais elle y est "dérivable à gauche" et "dérivable à droite".
c) f  x =sin 
1

x
Fonction en forme de ressort de plus en plus comprimé pour x = 0
Ici, pas de nombre dérivé en zéro, l'approximation de la tangente n'arrête pas de changer !
Remarque :
Ces trois fonctions sont dérivables pour toutes les autres valeurs autorisées de x.
B) Fonctions dérivées
1) Définition
Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout point de I, on dit qu'elle est
dérivable sur I et on appelle dérivée, ou fonction dérivée de f, et on note f', la fonction qui à tout
x∈ I associe f'(x), nombre dérivé de f en x.
Exemple
f(x) = x² est dérivable sur ℝ et sa dérivée est f'(x) = 2x
2
En effet, t a h=
2
ah −a a2 2ahh2 −a2 2ahh2
=
=
=2ah
h
h
h
Or, h se rapprochant de 0, f'(a) se rapprochera de 2a pour tout a, ce qui amène bien f'(x) = 2x pour
tout x.
2) Dérivées usuelles
Fonction
Dérivée
Domaine de définition
f  x =a
f '  x =0
ℝ
f  x =axb
f '  x =a
ℝ
f  x =2ax
ℝ
−1
x²
ℝ*
1
ℝ*
f  x =ax
f  x =
2
1
x
f  x =  x
f '  x =
f  x =
2 x
f  x =sin  x 
f  x =cos x 
ℝ
f  x =cos x 
f  x =−sin  x 
ℝ
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La connaissance de la fonction dérivée permet de calculer aisément la pente de la courbe, c'est-àdire de sa tangente, en tout point.
En particulier, le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction !
On peut aussi trouver aisément l'équation de la tangente à la courbe en tout point donné.
C) Opérations sur les dérivées
On supposera que u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur I, et k une constante réelle.
1) Somme et différence
u + v et u – v sont alors définies et dérivables sur I, et :
(u + v)' = u' + v'
(u – v)' = u' – v'
Exemples :
(2x² - 4x + 3)' = (2x²)' – (4x)' + (3)' = 4x – 4
(3x² + 7x -9 + sin(x))' = ?
2) Produit
Si u et v sont dérivables sur I, u v est dérivable sur I, ainsi que k u et :
(u v)' = u' v + u v'
(k u)' = k u'
Exemples :
(  x – 3∗
( x sin x  )' = ?
1
)' = ?
x
2
(7 x )' = ?
( 2 x 1cos  x  )' = ?
4
3
( x )'= ?
( 3x )' = ?
3) Inverse

'
1
−v '
= 2
v
v
Exemples :
1
( 2 ) '= ?
3 x −1
(
1
) '= ?
sin( x)
4) Quotient
v'
( uv ) '= u ' v−u
v
2
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Exemples
3x–4
'= ?
2 x 2+ 1
(
)
(
)
sin( x)
'= ?
cos ( x)
5) Puissances de u
(u n )'=nu ' un−1
Exemples :
((2 x – 3)7 )' = ?
(sin 9 ( x )) '= ?
(noter l'écriture sin9(x) qui signifie (sin(x))9 !)
6) Fonction composée
a) Définition
On appelle fonction composée une fonction du type f(x) = u(v(x)) et on note f = u o v.
Exemples :
Soit u(x) = 3 sin(x) et v(x) = x² – 2 x + 3. Exprimer f(x) et g(x) avec f = u o v et g = v o u.
(f(x) = 3 sin(x² – 2 x + 3) et g(x) = 9 sin²(x) – 6 sin(x) + 3)
On remarquera que f et g sont très différentes !
b) Dérivation
Soit (u(v(x)))' = v'(x) u' (v(x)) :
(u(v))' =v ' (u' (v))
Exemples :
I) u(x) = cos(x)
v(x) = 2x -3
II) u = sin(x)
v = 2x² -3x + 1
f (x )=u (v (x ))=cos(2x−3)
f ' ( x)=2 sin(2x−3)
f ( x )=u (v (x ))=sin( 2x²−3x +1)
f ' ( x)=(4x – 3)cos( 2x²−3x +1)
c) Cas particulier important
Soit v(x) = a x + b avec a et b réels :
(u(a x+b))' =a u ' (a x +b)
Exemples
( √ 2 x+ 1) '= ?
4
((3 x – 2) )'= ?
1
(sin( )) '= ?
x
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Fiche de révision : Dérivation
Définition :
f ’(a)=
(
f (a+ h) – f (a)
df
( a)=lim
dx
h
h→0
Équation de la tangente en x0 à la courbe de f :
)
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
Dérivées de base :
Fonction définie sur
Fonction f(x) =
Dérivée f’(x) =
Dérivée définie sur
ℝ
k
0
ℝ
ℝ
ax+b
a
n
ℝ
n-1
ℝ
ax
nax
ℝ = ℝ \ {0}
*
a
x
−a
x2
ℝ = ℝ \ {0}
ℝ = ℝ \ {0}
*
a
n
x
−n a
n+1
x
ℝ = ℝ \ {0}
[0 ;∞ ]
a√x
ℝ
a sin( x )
a cos( x )
ℝ
ℝ
a cos( x )
−a sin( x )
ℝ
ℝ
*
*
a
] 0 ;∞ ]
2√ x
Dérivée d’une fonction composée (formule générale) :
Opérations sur les dérivées
( u(v ( x)) ) ' = v ’( x)×u ’(v ( x))
Dérivées des fonctions composées
Opération
Formule de la dérivée
Fonction composée
Formule de la dérivée
uv
u ' v '
sin(u)
u ' cos (u)
ku
ku'
cos (u)
−u ' sin(u)
uv
u ' v +u v '
u axb
a u ' axb
√u
u'
2 √u
(a x + b)
u
v
u' v – uv '
v2
1
(a x + b)n
−a n
( a x + b)n+1
un
n u ' u n−1
sin( a x + b)
a cos(a x+ b)
1
un
−nu '
u n+1
cos (a x + b)
−a sin(a x+ b)
n
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n−1
a n( a x+ b)