MAT 1739 A : INTRODUCTION AU CALCUL ET VECTEURS CHAPITRE 4 : Les dérivées des fonctions sinusoïdales REVUE Connaissances Préalables (p.212-213) Dans cette section, nous examinerons quelques arrière-plan des fonctions sinus et cosinus. Le sinus d’un angle est le rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et la longueur de l’hypoténuse. Le cosinus d’un angle est le rapport entre la longueur du côté adjacent à l’angle et la longueur de l’hypoténuse. Comme le montre le diagramme suivant, nous avons b a sin x = , cos x = . c c Rappel : SOHCAHTOA Les fonctions sinus et cosinus donnent des exemples importants des fonctions périodiques, c’est à dire, des fonctions qui répètent les valeurs dans des intervalles réguliers ou des périodes. Nous avons besoin de se familiariser avec les graphes des fonctions sinus et cosinus et leurs variations. 1 Pratiquer : Esquissez les graphes des fonctions suivantes : (1) y = sin(x) + 1 (2) y = cos(2x) + 2 (3) y = cos(x + π2 ) (4) y = 4sin(x) Il est important de se familiariser avec les valeurs des fonctions sinus et cosinus à angles spéciaux telles que x = π6 , π4 , π3 , π2 . Pour cela, on introduit le cercle unité utile. http : //en.wikipedia.org/wiki/F ile : U nit circle angles.svg Il existe de nombreuses identités importantes impliquant des fonctions sinus et cosinus. Par exemple : sin2 (x) + cos2 (x) = 1 π π sin − x = cos x, cos − x = sin x 2 2 sin(x + h) = sin x cos h + cos x sin h sin(2x) = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 (x) − sin2 (x) 2 4.2 L ES DÉRIVÉES DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS La dérivée de y = sin(x) est dy = y 0 = cos(x). dx (Preuve partielle p.218-219 du manuel) La dérivée de y = cos(x) est dy = y 0 = − sin(x). dx Démonstration. Notons que cos x = sin tion des dérivations on a (cos x)0 = cos π 2 − x , d’où, par la règle de la composi- π 0 i hπ π −x · − x = sin − − x ·(−1) = sin x·(−1) = − sin x. 2 2 2 2 π 4.3 L ES RÈGLES DE DÉRIVATION DES FONCTIONS SINUSOÏDALES Toutes les rèlges de dérivation qu’on a vues s’appliquent aux fonctions sinusoïdales. Alors, on peut appliquer : (1) la règle des constantes, (2) la règle des puissances, (3) la règle du multiple constant, (4) la règle de dérivation de la somme/différence de fonctions, (5) la règle du produit de fonctions, (6) la règle de dérivation en chaîne, et (7) la règle de quotient de fonctions. E XEMPLES ET E XERCICES Le but de cette section est de pratiquer à travers des exemples. Quelques-uns des exemples qui suivent sont tirés de la section de revue du chapitre 4 du manuel (p. 244). (1) (−8 sin x)0 = cos x)0 = (2) ( 15 π (3) (−8 sin x + 15 π cos x + 60x5 )0 = (4) Trouver l’équation de la tangente à la courbe f (x) = 2 sin x au point x = π2 . (5) Trouver les points sur le graphique de f (x) = −2 cos x, où la pente de la √ tangente est 3. (6) Soit y = cos x − 2 sin x. Alors y 0 = 3 (7) Soit f (x) = 3 sin x − π cos x. Alors f 0 (x) = (8) Soit y = − cos2 x. Alors y 0 = (9) Soit y = sin 2θ − 2 cos 2θ. Alors y 0 = (10) Soit f (θ) = − π2 sin(2θ − π). Alors f 0 (θ) = (11) Soit f (x) = sin(sin x). Alors f 0 (x) = (12) Soit f (x) = cos(cos x). Alors f 0 (x) = (13) Soit f (θ) = cos 7θ − cos 5θ. Alors f 0 (θ) = (14) Soit y = 3x sin x. Alors y 0 = (15) Soit f (t) = 2t2 cos 2t. Alors f 0 (t) = (16) Soit y = πt sin(πt − 6). Alors y 0 = (17) Soit y = cos(sin θ) + sin(cos θ). Alors y 0 = (18) Soit f (x) = cos2 (sin x). Alors f 0 (x) = (19) Soit f (θ) = cos 7θ − cos2 5θ. Alors f 0 (θ) = (20) (avec la loi du quotient) Soit f (x) = 1−sin x . cos2 x Alors Des questions peuvent également demander de trouver le modèle, la tendance (pattern) des dérivées d’ordre supérieur des fonctions sinusoïdales. Exemple : Soit f (x) = sin x cos x. Alors déterminer f (12) (x) et f (15) (x). 4