notes de cours (chap 4)

MAT 1739 A : INTRODUCTION AU CALCUL ET VECTEURS
CHAPITRE 4 : Les dérivées des fonctions sinusoïdales
REVUE
Connaissances Préalables (p.212-213)
Dans cette section, nous examinerons quelques arrière-plan des fonctions sinus
et cosinus. Le sinus d’un angle est le rapport entre la longueur du côté opposé à
l’angle et la longueur de l’hypoténuse. Le cosinus d’un angle est le rapport entre
la longueur du côté adjacent à l’angle et la longueur de l’hypoténuse. Comme le
montre le diagramme suivant, nous avons
sin x=a
c,cos x=b c.
Rappel : SOHCAHTOA
Les fonctions sinus et cosinus donnent des exemples importants des fonctions pé-
riodiques, c’est à dire, des fonctions qui répètent les valeurs dans des intervalles
réguliers ou des périodes. Nous avons besoin de se familiariser avec les graphes
des fonctions sinus et cosinus et leurs variations.
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Pratiquer : Esquissez les graphes des fonctions suivantes :
(1) y=sin(x)+1
(2) y=cos(2x)+2
(3) y=cos(x+π
2)
(4) y= 4sin(x)
Il est important de se familiariser avec les valeurs des fonctions sinus et cosinus à
angles spéciaux telles que x=π
6,π 4,π 3,π 2. Pour cela, on introduit le cercle unité utile.
http ://en.wikipedia.org/wiki/F ile :Unit circle angles.svg
Il existe de nombreuses identités importantes impliquant des fonctions sinus et
cosinus. Par exemple :
sin2(x) + cos2(x) = 1
sin π
2−x= cos x, cos π 2−x= sin x
sin(x+h) = sin xcos h+ cos xsin h
sin(2x) = 2 sin xcos x
cos 2x= cos2(x)−sin2(x)
2

4.2 LES DÉRIVÉES DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS
La dérivée de y= sin(x)est dy
dx =y0= cos(x).
(Preuve partielle p.218-219 du manuel)
La dérivée de y= cos(x)est dy
dx =y0=−sin(x).
Démonstration. Notons que cos x= sin π
2−x, d’où, par la règle de la composi-
tion des dérivations on a
(cos x)0= cos π
2−x·π 2−x0
= sin hπ
2−π 2−xi·(−1) = sin x·(−1) = −sin x.
4.3 LES RÈGLES DE DÉRIVATION DES FONCTIONS SINUSOÏDALES
Toutes les rèlges de dérivation qu’on a vues s’appliquent aux fonctions sinusoï-
dales. Alors, on peut appliquer :
(1) la règle des constantes,
(2) la règle des puissances,
(3) la règle du multiple constant,
(4) la règle de dérivation de la somme/différence de fonctions,
(5) la règle du produit de fonctions,
(6) la règle de dérivation en chaîne, et
(7) la règle de quotient de fonctions.
EXEMPLES ET EXERCICES
Le but de cette section est de pratiquer à travers des exemples. Quelques-uns des
exemples qui suivent sont tirés de la section de revue du chapitre 4 du manuel (p.
244).
(1) (−8 sin x)0=
(2) (15
πcos x)0=
(3) (−8 sin x+15
πcos x+ 60x5)0=
(4) Trouver l’équation de la tangente à la courbe f(x) = 2 sin xau point x=π
2.
(5) Trouver les points sur le graphique de f(x) = −2 cos x, où la pente de la
tangente est √3.
(6) Soit y= cos x−2 sin x.
Alors y0=
3

(7) Soit f(x) = 3 sin x−πcos x.
Alors f0(x) =
(8) Soit y=−cos2x.
Alors y0=
(9) Soit y= sin 2θ−2 cos 2θ.
Alors y0=
(10) Soit f(θ) = −
π
2sin(2θ−π).
Alors f0(θ) =
(11) Soit f(x) = sin(sin x).
Alors f0(x) =
(12) Soit f(x) = cos(cos x).
Alors f0(x) =
(13) Soit f(θ) = cos 7θ−cos 5θ.
Alors f0(θ) =
(14) Soit y= 3xsin x.
Alors y0=
(15) Soit f(t)=2t2cos 2t.
Alors f0(t) =
(16) Soit y=πt sin(πt −6).
Alors y0=
(17) Soit y= cos(sin θ) + sin(cos θ).
Alors y0=
(18) Soit f(x) = cos2(sin x).
Alors f0(x) =
(19) Soit f(θ) = cos 7θ−cos25θ.
Alors f0(θ) =
(20) (avec la loi du quotient) Soit f(x) = 1−sin x
cos2x. Alors
Des questions peuvent également demander de trouver le modèle, la tendance
(pattern) des dérivées d’ordre supérieur des fonctions sinusoïdales.
Exemple : Soit f(x) = sin xcos x. Alors déterminer f(12)(x)et f(15)(x).
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