Endomorphismes : Auto-adjoints & Orthogonaux - Notes de cours

Endomorphismes autoadjoints et orthogonaux ∗
MP
8 d´ecembre 2013
Dans ce chapitre nous introduisons les notions d’adjoint d’un endomorphisme d’un espace
euclidien, d’endomorphisme sym´etrique et orthogonal. Le r´esultat fondamental concerne la
diagonalisation des endomorphismes auto-adjoints (et des matrices r´eelles sym´etriques) ;
nous revenons aussi sur le groupe orthogonal (r´evisions du cours de sup).
Table des mati`eres
1 Adjoint d’un endomorphisme dans un espace euclidien 2
1.1 A propos de la transposition des matrices carr´ees . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Adjoint : d´efinition, propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Sym´etries, r´eflexions et projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 R´eduction des endomorphismes sym´etriques 5
2.1 Pr´eliminaires ................................... 5
2.2 Diagonalisation des matrices et endomorphismes sym´etriques . . . . . . . . 5
2.3 Exercices ..................................... 6
3 Formes bilin´eaires sym´etriques et formes quadratiques 10
3.1 G´en´eralit´es .................................... 10
3.2 Formes quadratiques et bilin´eaires sym´etriques dans E euclidien . . . . . . . 11
3.3 Formes bilin´eaires positives et d´efinies positives . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Exercices ..................................... 15
4 Endomorphismes orthogonaux en dimension 2 ou 3 18
4.1 Automorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Legroupeorthogonal............................... 19
4.3 Description de O2(R) et de O3(R) ....................... 20
4.4 Rotations3D ................................... 21
5 Exercices 22
∗Geom2AutoadjointsOrth.teX
1

6 Corrig´es 26
1 Adjoint d’un endomorphisme dans un espace euclidien
1.1 A propos de la transposition des matrices carr´ees
On rappelle sans autre forme de proc`es quelques propri´et´es li´ees `a la transposition des
matrices carr´ees :
– L’application
T:M∈ Mn(K)→tM∈ Mn(K)
est un automorphisme involutif (en effet t(tA) = A);
– Pour (A, B)∈ Mn(K)2,t(AB) = tBtA;
– Pour A∈ Mn(K), rg(A) = rg(tA), det(A) = det(tA);
–Test une sym´etrie orthogonale pour le produit scalaire de Mn(R)< A|B >=T race(AtB);
1.2 Adjoint : d´efinition, propri´et´es
Ce qui suit repose sur la remarque suivante : si Eest un espace euclidien, pour toute forme
lin´eaire φ:E→R,il existe un vecteur w∈E, et un seul tel
φ:x∈E→φ(x) =< x|w >∈R.
Th´eor`eme 1 Soit Eun espace euclidien et uun endomorphisme de E. Alors,
– il existe un endomorphisme u∗et un seul tel que
∀x∈E, ∀y∈E, < u(x)|y >=< x|u∗(y)>; (1.1)
– si Mest la matrice de udans une base orthonorm´ee, B,la matrice de u∗dans cette
mˆeme base est la transpos´ee de M.
D´emonstration on prouve facilement dans l’ordre :
– l’existence de u∗:
– l’unicit´e :
– la lin´earit´e :
– que la matrice de u∗est la transpos´ee ;
D´efinition 1 de l’adjoint d’un endomorphisme
L’endomorphisme u∗d´efini par la relation (1.1), est (appel´e) l’adjoint de u.
Th´eor`eme 2 propri´et´es de l’adjoint d’un endomorphisme
Soient u, v deux endomorphismes de Eeuclidien, et u∗, v∗leurs adjoints.
2

–rg(u) = rg(u∗);
– (u∗)∗=u;
– (u◦v)∗=v∗◦u∗;
Enfin, l’application u∈ L(E)→u∗∈ L(E) est un automorphisme de L(E).
Exercice 1 Soit uendomorphisme de Eeuclidien. On ´etudiera les relations entre les
sous-espaces suivants :
1. Ker(u∗) d’une part et ⊥Im(u),d’autre part ;
2. Ker(u∗) d’une part, et Ker(u◦u∗);
3. Ker(u) d’une part, et Ker(u◦u∗);
Th´eor`eme 3 image et noyau de l’adjoint
Soit uun endomorphisme de Eeuclidien, et u∗son adjoint. Alors :
Ker(u∗) =⊥Im(u) et Im(u∗) =⊥Ker(u).
Ker(u◦u∗) = Ker(u∗).
Th´eor`eme 4 sous-espaces stables
Soit E, un espace euclidien, uun endomorphisme de Eet Vun sous-espace de E.
si Vest stable par u, alors ⊥Vest stable par u∗
D´emonstration : on suppose que u(V)⊂V.
Consid´erons y∈⊥V. Pour tout x∈V, on a :
< u(x)|y >=< x|u∗(y)>= 0.
Ainsi u∗(y) est orthogonal `a V, ce qui prouve que ⊥Vest stable par u∗.
D´efinition 2 endomorphismes sym´etriques
– On dit qu’un endomorphisme de Eeuclidien est auto-adjoint ou sym´etrique ssi u=u∗;
– On dit qu’un endomorphisme de Eest orthogonal ssi u◦u∗=u∗◦u=idE;
Proposition 5 matrices
–uest auto-adjoint ssi il existe une BON dans laquelle sa matrice est sym´etrique ;
–uest auto-adjoint ssi dans toute BON de Esa matrice est sym´etrique ;
–uest un endomorphisme orthogonal ssi il existe une BON dans laquelle sa matrice est
orthogonale ;
3

–uest endomorphisme orthogonal ssi dans toute BON de Esa matrice est orthogonale ;
Notations : nous noterons
–S(E) le sous espace de L(E) form´e des endomorphismes auto-adjoints ;
–Sn(R) le sous espace de Mn(R) form´e des matrices sym´etriques r´eelles d’ordre n;
–O(E) le groupe orthogonal de E, form´e des endomorphismes orthogonaux ;
–On(R) le groupe des matrices orthogonales d’ordre n;
1.3 Sym´etries, r´eflexions et projections orthogonales
Exercice 2 Soient Fet Gdeux sev de Eeuclidien, que l’on supposera suppl´ementaires.
1. Montrer que la projection psur Fparall`element `a G, est un endomorphisme auto-
adjoint ssi Fet Gsont suppl´ementaires orthogonaux ;
2. A quelle condition la sym´etrie par rapport `a Fde direction G, est-elle auto-adjointe ?
Proposition 6 projections orthogonales
Soit Eun espace euclidien.
•Si fun endomorphisme de E, f est une projection orthogonale ssi f◦f=fet f∗=f.
•Soit Vun sev de Ede base orthonorm´ee V= (vi)1≤i≤d,et pla projection orthogonale
de Esur V. Alors, la matrice de pdans B,une base orthonorm´ee quelconque de Eest
Mat(p, B) =
d
X
i=1
VitVi,
o`u les Vi∈Rnsont les vecteurs coordonn´ees des (vi) dans B.
Proposition 7 sym´etries orthogonales
Soit Eun espace euclidien.
•Si fun endomorphisme de E, f est une sym´etrie orthogonale ssi f◦f=idEet f∗=f.
•Soit Vun sev de Ede base orthonorm´ee V= (vi)1≤i≤d,et σla sym´etrie orthogonale de
Esur V. Alors, la matrice de σdans B,une base orthonorm´ee quelconque de Eest
Mat(σ, B) = −In+ 2
d
X
i=1
VitVi,
o`u les Vi∈Rnsont les vecteurs coordonn´ees des (vi) dans B.
Exercice 3 Dans R3muni du produit scalaire canonique, construire la matrice de la
projection orthogonale sur le plan d’´equation x+y−z= 0.En d´eduire la matrice de la
sym´etrie orthogonale par rapport `a ce plan.
Voir la section (5) pour une application des ces formules.
4

2 R´eduction des endomorphismes sym´etriques
2.1 Pr´eliminaires
Le but de cette section est de montrer que les endomorphismes sym´etriques r´eels sont dia-
gonalisables sur Rdans une base orthonorm´ee. On pr´ecise au pr´ealable quelques r´esultats
g´en´eraux qui nous seront utiles.
Th´eor`eme 8 Soit Eespace euclidien et uun endomorphisme auto-adjoint de E. Alors,
si λet µsont des valeurs propres distinctes de u,
Ker(u−λ)⊥Ker(u−µ).
D´emonstration : on ´ecrit, pour xet ydans chacun des sev propres :
λ<x|y >=< u(x)|y >=< x|u(y)>=µ<x|y >,
ce qui n’est possible qu’avec < x|y >= 0.
2.2 Diagonalisation des matrices et endomorphismes sym´etriques
Exercice 4 diagonalisation des matrices r´eelles sym´etriques
Dans ce qui suit A∈ Sn(R).
1. On consid`ere le produit scalaire complexe canonique de Cn,d´efini par
< X|Y >=
n
X
i=1
xi¯yi.
(a) Souvenir ?
Que dire dire < Y |X > et < X|Y >? De < λX|Y >, de < X|λY >?
Comment exprime-t-on < AX|Y >, < X|AY >?
(b) Montrer en utilisant ce produit scalaire que toute valeur propre de A, consid´er´ee
comme matrice de Mn(R)⊂ Mn(C),est r´eelle.
2. Justifier que si λet µsont des valeurs propres distinctes de A, les sous-espaces
propres correspondants sont orthogonaux.
3. On se propose de montrer par r´ecurrence sur n≥2 que tout endomorphisme
sym´etrique u∈Sn(R) est diagonalisable en une base orthonorm´ee (et donc que toute
matrice sym´etrique r´eelle est diagonalisable et qu’il existe une matrice orthogonale,
P∈On(R),telle que tP A P soit diagonale).
(a) Prouver le r´esultat pour n= 2.
(b) D´emontrer par r´ecurrence sur Nque tout endomorphisme sym´etrique de RN
est diagonalisable.
Indication : penser au th´eor`eme 4...
Cela prouve less th´eor`emes suivants :
5