Endomorphismes autoadjoints et orthogonaux MP

Endomorphismes autoadjoints et orthogonaux
MP
∗
8 décembre 2013
Dans ce chapitre nous introduisons les notions d’adjoint d’un endomorphisme d’un espace
euclidien, d’endomorphisme symétrique et orthogonal. Le résultat fondamental concerne la
diagonalisation des endomorphismes auto-adjoints (et des matrices réelles symétriques) ;
nous revenons aussi sur le groupe orthogonal (révisions du cours de sup).
Table des matières
1 Adjoint d’un endomorphisme dans un espace euclidien
1.1 A propos de la transposition des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Adjoint : définition, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Symétries, réflexions et projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
4
2 Réduction des endomorphismes symétriques
2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Diagonalisation des matrices et endomorphismes symétriques . . . . . . . .
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
3 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Formes quadratiques et bilinéaires symétriques dans E euclidien
3.3 Formes bilinéaires positives et définies positives . . . . . . . . .
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Endomorphismes orthogonaux en dimension
4.1 Automorphismes orthogonaux . . . . . . . . .
4.2 Le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Description de O2 (R) et de O3 (R) . . . . . .
4.4 Rotations 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Exercices
∗
2
.
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.
.
ou
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3
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10
10
11
13
15
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.
.
18
18
19
20
21
22
Geom2AutoadjointsOrth.teX
1
6 Corrigés
1
1.1
26
Adjoint d’un endomorphisme dans un espace euclidien
A propos de la transposition des matrices carrées
On rappelle sans autre forme de procès quelques propriétés liées à la transposition des
matrices carrées :
– L’application
T : M ∈ Mn (K) →t M ∈ Mn (K)
est un automorphisme involutif (en effet t (t A) = A);
– Pour (A, B) ∈ Mn (K)2 , t (AB) = t B t A;
– Pour A ∈ Mn (K), rg(A) = rg(t A), det(A) = det(t A);
– T est une symétrie orthogonale pour le produit scalaire de Mn (R) < A|B >= T race(A t B);
1.2
Adjoint : définition, propriétés
Ce qui suit repose sur la remarque suivante : si E est un espace euclidien, pour toute forme
linéaire φ : E → R, il existe un vecteur w ∈ E, et un seul tel
φ : x ∈ E → φ(x) =< x|w >∈ R.
Théorème 1 Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. Alors,
– il existe un endomorphisme u∗ et un seul tel que
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, < u(x)|y >=< x|u∗ (y) >;
(1.1)
– si M est la matrice de u dans une base orthonormée, B, la matrice de u∗ dans cette
même base est la transposée de M.
Démonstration on prouve facilement dans l’ordre :
– l’existence de u∗ :
– l’unicité :
– la linéarité :
– que la matrice de u∗ est la transposée ;
Définition 1 de l’adjoint d’un endomorphisme
L’endomorphisme u∗ défini par la relation (1.1), est (appelé) l’adjoint de u.
Théorème 2 propriétés de l’adjoint d’un endomorphisme
Soient u, v deux endomorphismes de E euclidien, et u∗ , v ∗ leurs adjoints.
2
– rg(u) = rg(u∗ );
– (u∗ )∗ = u;
– (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ ;
Enfin, l’application u ∈ L(E) → u∗ ∈ L(E) est un automorphisme de L(E).
Exercice 1 Soit u endomorphisme de E euclidien. On étudiera les relations entre les
sous-espaces suivants :
1. Ker(u∗ ) d’une part et ⊥ Im(u), d’autre part ;
2. Ker(u∗ ) d’une part, et Ker(u ◦ u∗ );
3. Ker(u) d’une part, et Ker(u ◦ u∗ );
Théorème 3 image et noyau de l’adjoint
Soit u un endomorphisme de E euclidien, et u∗ son adjoint. Alors :
Ker(u∗ ) =⊥ Im(u) et Im(u∗ ) =⊥ Ker(u).
Ker(u ◦ u∗ ) = Ker(u∗ ).
Théorème 4 sous-espaces stables
Soit E, un espace euclidien, u un endomorphisme de E et V un sous-espace de E.
si V est stable par u, alors ⊥ V est stable par u∗
Démonstration : on suppose que u(V ) ⊂ V.
Considérons y ∈⊥ V. Pour tout x ∈ V, on a :
< u(x)|y >=< x|u∗ (y) >= 0.
Ainsi u∗ (y) est orthogonal à V, ce qui prouve que ⊥ V est stable par u∗ . Définition 2 endomorphismes symétriques
– On dit qu’un endomorphisme de E euclidien est auto-adjoint ou symétrique ssi u = u∗ ;
– On dit qu’un endomorphisme de E est orthogonal ssi u ◦ u∗ = u∗ ◦ u = idE ;
Proposition 5 matrices
– u est auto-adjoint ssi il existe une BON dans laquelle sa matrice est symétrique ;
– u est auto-adjoint ssi dans toute BON de E sa matrice est symétrique ;
– u est un endomorphisme orthogonal ssi il existe une BON dans laquelle sa matrice est
orthogonale ;
3
– u est endomorphisme orthogonal ssi dans toute BON de E sa matrice est orthogonale ;
Notations : nous noterons
– S(E) le sous espace de L(E) formé des endomorphismes auto-adjoints ;
– Sn (R) le sous espace de Mn (R) formé des matrices symétriques réelles d’ordre n;
– O(E) le groupe orthogonal de E, formé des endomorphismes orthogonaux ;
– On (R) le groupe des matrices orthogonales d’ordre n;
1.3
Symétries, réflexions et projections orthogonales
Exercice 2 Soient F et G deux sev de E euclidien, que l’on supposera supplémentaires.
1. Montrer que la projection p sur F parallèlement à G, est un endomorphisme autoadjoint ssi F et G sont supplémentaires orthogonaux ;
2. A quelle condition la symétrie par rapport à F de direction G, est-elle auto-adjointe ?
Proposition 6 projections orthogonales
Soit E un espace euclidien.
• Si f un endomorphisme de E, f est une projection orthogonale ssi f ◦ f = f et f ∗ = f.
• Soit V un sev de E de base orthonormée V = (vi )1≤i≤d , et p la projection orthogonale
de E sur V. Alors, la matrice de p dans B, une base orthonormée quelconque de E est
M at(p, B) =
d
X
Vi t Vi ,
i=1
où les Vi ∈ Rn sont les vecteurs coordonnées des (vi ) dans B.
Proposition 7 symétries orthogonales
Soit E un espace euclidien.
• Si f un endomorphisme de E, f est une symétrie orthogonale ssi f ◦ f = idE et f ∗ = f.
• Soit V un sev de E de base orthonormée V = (vi )1≤i≤d , et σ la symétrie orthogonale de
E sur V. Alors, la matrice de σ dans B, une base orthonormée quelconque de E est
M at(σ, B) = −In + 2
d
X
Vi t Vi ,
i=1
où les Vi ∈
Rn
sont les vecteurs coordonnées des (vi ) dans B.
Exercice 3 Dans R3 muni du produit scalaire canonique, construire la matrice de la
projection orthogonale sur le plan d’équation x + y − z = 0. En déduire la matrice de la
symétrie orthogonale par rapport à ce plan.
Voir la section (5) pour une application des ces formules.
4
2
Réduction des endomorphismes symétriques
2.1
Préliminaires
Le but de cette section est de montrer que les endomorphismes symétriques réels sont diagonalisables sur R dans une base orthonormée. On précise au préalable quelques résultats
généraux qui nous seront utiles.
Théorème 8 Soit E espace euclidien et u un endomorphisme auto-adjoint de E. Alors,
si λ et µ sont des valeurs propres distinctes de u,
Ker(u − λ)⊥Ker(u − µ).
Démonstration : on écrit, pour x et y dans chacun des sev propres :
λ < x|y >=< u(x)|y >=< x|u(y) >= µ < x|y >,
ce qui n’est possible qu’avec < x|y >= 0. 2.2
Diagonalisation des matrices et endomorphismes symétriques
Exercice 4 diagonalisation des matrices réelles symétriques
Dans ce qui suit A ∈ Sn (R).
1. On considère le produit scalaire complexe canonique de Cn , défini par
< X|Y >=
n
X
xi y¯i .
i=1
(a) Souvenir ?
Que dire dire < Y |X > et < X|Y >? De < λX|Y >, de < X|λY >?
Comment exprime-t-on < AX|Y >, < X|AY >?
(b) Montrer en utilisant ce produit scalaire que toute valeur propre de A, considérée
comme matrice de Mn (R) ⊂ Mn (C), est réelle.
2. Justifier que si λ et µ sont des valeurs propres distinctes de A, les sous-espaces
propres correspondants sont orthogonaux.
3. On se propose de montrer par récurrence sur n ≥ 2 que tout endomorphisme
symétrique u ∈ Sn (R) est diagonalisable en une base orthonormée (et donc que toute
matrice symétrique réelle est diagonalisable et qu’il existe une matrice orthogonale,
P ∈ On (R), telle que t P A P soit diagonale).
(a) Prouver le résultat pour n = 2.
(b) Démontrer par récurrence sur N que tout endomorphisme symétrique de RN
est diagonalisable.
Indication : penser au théorème 4...
Cela prouve less théorèmes suivants :
5
Théorème 9 Soit A ∈ Sn (R),
– ses valeurs propres sont réelles ;
– A est diagonalisable ;
– il existe une matrice orthogonale, P ∈ On (R), telle que t P A P soit diagonale (on dit
alors que A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale).
Théorème 10 Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme symétrique de E.
1. u est diagonalisable ;
2. il existe une base orthonormée formée de vecteurs propres de u.
Démonstration simple conséquence des théorèmes 9 et 5.
2.3
Exercices
Exercice
5

2 1 1



 , et u l’endomorphisme canoniquement associé à M.
1
a
1
Soit a un réel, M = 


1 1 2
1. M est elle diagonalisable ? En donner un vecteur propre aux coefficients particulièrement simples ;
2. Diagonaliser M lorsque a = 2; Préciser une matrice de passage orthogonale ;
3. On suppose a 6= 2; donner une base orthonormée dans laquelle la matrice de u est
de la forme


1 0
0
0 − − −
.


| S |
0 − − −
Exercice 6 matrices remarquables
1. Donner un exemple de matrice à coefficients complexes, symétrique et non diagonalisable.
cos θ − sin θ
2. Les matrices de rotations
, les matrices antisymétriques réelles de
sin θ cos θ
taille 2 sont elles diagonalisables ?
3. Et les matrices complexes vérifiant t A = Ā?
Exercice
7 Pour les endomorphismes suivants, construire une BON de vecteurs propres :
1 2
1. g de matrice
, dans une BON de R2 ;
2 3


4 8 16 32


 8 16 32 64 


2. f de matrice S = 
 , dans une BON de E.
 16 32 64 128 


32 64 128 256
6
3. g de matrice A dans une BON (ei )i ,

7/4

 1/4

A=
 −1/4

1/4
Exercice
avec
1/4
−1/4
7/4
1/4
1/4
7/4
−1/4
1/4
1/4


−1/4 

.
1/4 

7/4
8 Soit E = Rn [X] muni du produit scalaire
Z 1
P (t)Q(t) dt.
(P |Q) =
−1
1. Montrer que l’opérateur différentiel
L := P → (1 − X 2 )P ”(X) − 2XP 0 (X)
d
(...)...
dx
2. Écrire sa matrice dans la base canonique et déterminer ses valeurs propres.
est un endomorphisme auto-adjoint de Rn [X]. Penser que L(P )(x) =
3. Préciser les sous-espaces propres lorsque n = 4;
Exercice
9 endomorphismes antisymétriques
1. On considère une matrice anti-symétrique A, réelle de taille n.
(a) Montrer que les valeurs propres de A sont imaginaires pures (penser à introduire
Z ∈ Cn tel que AZ = λZ).
ia 0
i 1
et P =
. Calculer P −1 DP. En déduire que si A
(b) Soit D =
0 −ia
1 i
est diagonalisable dans Mn (C), elle est semblable à une matrice diagonale par
blocs de la forme :


0
 ..



.




0




0 a
.



−a
0




0 b




−b 0


..
.
2. (a) Soit f un endomorphisme de Rn muni de son produit scalaire canonique.
- Montrer que
Kr(f ∗ ◦ f ) = Ker(f ).
(b) On suppose que f ∗ = −f et que ±iλ ∈ SpC (f ).
Montrer que
Ker((f 2 + λ2 )p ) = Ker(f 2 + λ2 ),
d’abord pour p = 2, 4, 8 et ensuite pour tout p.
7
(c) Montrer que Ker(f p ) = Ker(f ) pour tout p ∈ N∗ .
(d) Montrer que E est la somme directe de Ker(f ) et de noyaux de la forme
Ker(f 2 + λ2 ). En déduire que f est diagonalisable dans Mn (C).
(e) En déduire que f est diagonalisable dans Mn (C).
Exercice 10 Soit E un espace euclidien. Si f est un endomorphisme de E, on note f ∗
son adjoint.
1. Donner une relation entre les noyaux et images de f et de f ∗ .
2. Soit u un endomorphisme de E. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(a) u ◦ u∗ ◦ u = u;
(b) u ◦ u∗ est un projecteur orthogonal ;
(c) u∗ ◦ u est un projecteur orthogonal ;
(d) pour tout x ∈ Ker(u)⊥ , < u(x)|u(x) >=< x|x > .
3. Montrer que si u ◦ u∗ ◦ u = u, alors
Ker(u)⊥ = {x ∈ E; < u(x)|u(x) >=< x|x >}.
Voir corrigé en section 6
Exercice 11 endomorphismes normaux
Soit E un espace euclidien. Si f est un endomorphisme de E, on note f ∗ son adjoint.
1. Soit x ∈ E. Montrer que
f (x) = 0 ⇔ f ∗ ◦ f (x) = 0.
En déduire que tout endomorphisme nilpotent qui commute avec son adjoint est nul.
2. Montrer que tout projecteur p, qui commute avec son adjoint, est un projecteur
orthogonal ;
indication : introduire g = (IdE − p) ◦ p∗ .
3. On suppose que f et f ∗ commutent et que Sp(f ) ⊂ R, montrer que f est diagonalisable dans une base orthonormée.
voir corrigé en section 6
8
Exercice 12 approximation discrète au sens des moindres carrés
A la suite d’un relevé expérimental, on dispose de N données (xi , yi ) ∈ R2 et on recherche
une fonction f combinaison linéaire de d + 1 fonctions données (ui )0≤i≤d (ie : f (x) =
Pd
t
i=0 ai ui (x)) telle que le vecteur F = [f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xN )] réalise le minimum de
t
||Y − F || avec Y = |y1 , y2 , ..., yN ].
1. (a) Expliciter un sous-ev V de RN auquel appartient le vecteur
F =t [f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xN )]
lorsque f est combinaison linéaire des (ui )i . Montrer que l’on peut l’écrire F
sous la forme F = U A où U est une matrice que l’on décrira avec soin, A =t
[a0 , a1 , ..., ad ]. Exprimer la dimension de V en fonction de la matrice U.
(b) Approximation polynomiale : on choisit pour les fonctions ui , ui (x) = xi . Quelle
est la matrice U dans ce cas ?
2. Justifier que l’existence d’un vecteur F0 qui réalise le minimum de ||Y − F || est
assurée quelque soit la norme || || choisie dans RN . Pour la suite du problème, on
choisit la norme euclidienne dans RN définie par
v
uN
uX
t
1/2
||X||2 = ( X.X) = t
x2i
i=1
3. On pose J(A) = ||F − Y ||2 = ||U A − Y ||2 .
(a) Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
– J(A) est un minimum de J sur RN ;
– pour tout B ∈ F, pour tout ε ∈ R, J(A) ≤ J(A + εB);
– pour tout B ∈ F, < U A − Y |U B >= 0.
(b) Vérifier que si M ∈ Mp,q (R), X ∈ Rp , Y ∈ Rq on a
< X|M Y >=<t M X|Y >
où les produits scalaires sont à prendre dans Rq et Rp ...
(c) En déduire que A réalise le minimum de J ssi tU U A −t U Y = 0. Justifier
l’existence et l’unicité de la solution lorsque V est de dimension d + 1.
4. Mise en œuvre sous MAPLE : les données (présentées dans le fichier MoindresCarres.mws) sont issues de TIPE de 2004-2005 ;
voir corrigé en 6
9
3
Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
3.1
Généralités
Dans ce paragraphe, nous introduisons les notions de formes bilinéaires et quadratiques
sur des espaces vectoriels réels et par ailleurs quelconques.
Définition 3 formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
Une forme bilinéaire symétrique sur l’ev réel E, est une application bilinéaire φ : E 2 → R
telle que
∀(x, y) ∈ E 2 , φ(x, y) = φ(y, x).
Une application Q : E → R est une forme quadratique s’il existe une forme bilinéaire sur
E telle que Q(x) = φ(x, x).
Exercice 13 tout le paragraphe en exercice...
On suppose que E est de dimension finie, de base (ei )1≤i≤n .
1. Soit φ une forme bilinéaire sur E.
(a) Exprimer φ(x, y) en fonction des coordonnées de x et de y dans la base (ei )i .
Montrer qu’il existe une matrice carrée M, et une seule, telle que
t
φ(x, y) = XM
Y.
Que valent ses coefficients ?
(b) Soit (ai )i une autre base de E. On note P la matrice de passage de la base (ei )i
vers la base (bi )i . Quelle matrice permet de calculer φ dans la nouvelle base ?
(c) On suppose que φ est symétrique. Que dire de M ?
(d) Montrer que l’application Q : x ∈ E → φ(x, x) est un polynôme homogène du
second degré en les coordonnées de x.
2. Soit Q : x ∈ E → Q(x) ∈ R, une application polynomiale homogène du second degré
en les coordonnées de x dans la base (ei ) :
Q(x) =
n
X
qi,i x2i + 2
i=1
X
qi,j xi xj .
1≤i<j≤n
(a) Montrer que Q(x) est de la forme tXM X et en déduire que Q(x) est homogène
du second degré en les coordonnées de x quelque soit la base choisie.
(b) Démontrer qu’il existe une forme bilinéaire symétrique φ telle que, pour tout
x ∈ E, Q(x) = φ(x, x) et que φ est une forme quadratique. Réciproque ?
(c) Montrer que l’on peut exprimer φ en fonction de Q sans passer par les coordonnées ou par une expression matricielle (raisonner sur φ(x + y, x + y)). En
déduire l’unicité de la forme bilinéaire symétrique φ telle que, pour tout x ∈ E,
Q(x) = φ(x, x).
(d) Existe-t-il des formes bilinéaires non symétriques telles que, pour tout x ∈ E,
Q(x) = ψ(x, x)?
10
Théorème 11 matrice associée à une forme quadratique
Soient φ une forme bilinéaire sur E de dimension n et (ei )i une base de E. Lorsque x est
un élément de E, on note X le vecteur de ses coordonnées dans cette base : X ∈ Rn ...
Ainsi :
– Il existe une matrice carrée M, et une seule, telle que
t
φ(x, y) = XM
Y;
– Les coefficients de M sont les mi,j = φ(ei , ej );
– Si P est la matrice de passage vers une autre base (ai )i , alors
t 0 t
φ(x, y) = X
P M P Y 0 et M 0 =tP M P.
Définition 4 rang d’une forme quadratrique
Le rang d’une forme quadratrique sur E de dimension finie (ou de la forme bilinéaire qui
lui est associée) est le rang de l’une quelconque des matrices qui la représentent dans une
base de E. On dit que Q est dégénérée si rang(Q) < dim E, non dégénérée s’il y a égalité.
Vocabulaire (Hp, mais usuel) la matrice symétrique M = (φ(ei , ej )) est la matrice de
Gram de φ dans la base (ei ).
Théorème 12 polarisation d’une forme quadratique
Soit E un espace vectoriel réel et Q une forme quadratique sur E. Il existe une forme
bilinéaire symétrique et une seule associée à Q.
Elle est définie par :
1
φ(x, y) = (Q(x + y) − Q(x − y)).
4
3.2
Formes quadratiques et bilinéaires symétriques dans E euclidien
Théorème 13 endomorphisme associé
Soit φ une forme bilinéaire symétrique sur E euclidien.
Il existe un endomorphisme u, et un seul, tel que :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, φ(x, y) =< x|u(y) >=< u(x)|y > .
Cet endomorphisme est auto-adjoint, son rang est égal à celui de φ.
11
Théorème 14 représentation matricielle
Soit E euclidien de base orthonormée B = (bi ), et φ une forme bilinéaire symétrique sur
E. Si M est la matrice (symétrique) de l’endomorphisme u associé à φ, alors :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, φ(x, y) =t X M Y =
n X
n
X
mi,j xi yj ,
i=1 j=1
où X et Y désignent les vecteurs coordonnées de x et y dans B.
Remarques :
1. On observera que le changement de base pour la matrice d’une forme bilinéaire
(matrice de Gram) est donné par la formule M 0 =tP M P, alors que le changement
de base pour la matrice d’un endomorphisme u est M = P −1 M P. Le théorème qui
précède énonce que la matrice représentant l’endomorphisme auto-adjoint associé à φ
et la matrice de φ coı̈ncident dans une base orthonormée. La matrice de changement
de base entre deux BON vérifie tP = P −1 et les formules ne font qu’une.
2. Puisque M ∈ Sn (R), on a aussi
φ(x, y) =
n
X
X
mi,i x2i + 2
i=1
mi,j xi xj .
1≤i<j≤n
Théorème 15 théorème de réduction
Soit φ une forme bilinéaire symétrique sur E euclidien de dimension n. Il existe une base
orthonormée de E, E = (ei )1≤i≤n , et des réeels (αi ) telle que
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, φ(x, y) =
n
X
αi xi yi .
i=1
Remarque ce théorème est fondamental, il exprime que si < | > est un produit scalaire
et φ bilinéaire, il existe une base à la fois orthonormée pour < | > et ”orthogonale” pour
φ. Il jouera un rôle fondamental dans la réduction des coniques et des quadriques.
Attention : que peut on dire de < | > et φ lorsqu’il existe une base de E orthonormale
à la fois pour < | > et φ?
Exercice 14 Dans R2 ou R3 , déterminer une base orthonormée pour le produit scalaire
canonique qui soit une base de réduction pour Q telle que :
1. Dans R2 , Q(x) = x21 + 6x1 x2 − x22 ;
2. Dans R3 , Q(x) = x21 + 6x1 x2 − x22 ;
3. Dans R3 , Q(x) = x21 + 6x1 x2 − 4x1 x3 + x22 + x23 ;
Calculs sur le site mpcezanne.fr en page TI
12
3.3
Formes bilinéaires positives et définies positives
Théorème 16
Soit E un espace euclidien, φ une forme bilinéaire symétrique sur E et u l’endomorphisme
auto-adjoint qui lui est associé.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
– φ est positive : c’est à dire ∀x ∈ E, φ(x, x) ≥ 0;
– u vérifie : ∀x ∈ E, < x|u(x) >≥ 0;
– Sp(u) ⊂ R+ .
On dit, dans ce cas que Φ est une forme positive et que u est un endomorphisme autoadjoint positif. On note S + (E) l’ensemble des endomorphismes autoadjoints positifs.
Théorème 17
Soit A une matrice symétrique à termes réels. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
– ∀X ∈ Rn , t X A X ≥ 0;
– Sp(A) ∈ R+ .
On dit dans ce cas que A est une matrice positive et on note Sn (R)+ le sev des matrices
symétriques positives.
Exercice 15
On considère un espace vectoriel réel de dim finie E, de base (ei )i et φ une forme bilinéaire
sur E.
1. Soit G la matrice définie par les relations mi,j = φ(bi , bj ) (G est la matrice de Gram
de φ)), det(G)). Le déterminant de G dépend il de la base choisie ?
2. Calculer ce déterminant lorsque dim E =2. En déduire que si φ est positive elle
vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Théorème 18 inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes quadratiques positives
Si Q est une forme quadratrique positive associée à la forme bilinéaire φ, alors :
φ(x, y)2 ≤ Q(x)Q(y).
Si, de plus Q est non dégénérée (elle est alors définie positive et produit scalaire), il y a
égalité ssi x et y sont colinéaires.
Démonstration : c’est toujours la même à défaut de savoir généraliser l’exercice qui
précède, on étudie le polynôme du second degré en λ :
P (λ) = Q(x + λy) ≥ 0,
13
dont le discriminant est négatif ou nul. Le cas d’égalité est obtenu lorsque le discriminant
est nul. Le polynôme admet alors une racine double lorsque la forme est non dégénérée
avec x + λy = 0, sinon x + λy appartient à l’ensemble des zéros de Q.
Théorème 19
Soit E un espace euclidien, φ une forme bilinéaire symétrique sur E et u l’endomorphisme
auto-adjoint qui lui est associé. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
– φ est définie positive : c’est à dire ∀x ∈ E, φ(x, x) > 0
– ∀x ∈ E\{0}, < x|u(x) >> 0;
– Sp(u) ∈ R∗+ .
On dit dans ce cas que φ est une forme bilinéaire définie positive ou un produit scalaire.
Théorème 20
Soit A une matrice symétrique à termes réels. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
– ∀X ∈ Rn \{0}, t X A X > 0;
– Sp(A) ∈ R∗+ .
On dit dans ce cas que A est une matrice définie positive et on note Sn (R)++ le sev des
matrices symétriques positives.
14
3.4
Exercices
Exercice
16 matrices t A A... Soit A ∈ Mn (R).
1. Montrer que t A A est une matrice symétrique positive ;
2. Donner une CNS pour que t A A soit une matrice symétrique définie positive ;
3. Encadrer les modules des valeurs propres de A à l’aide des valeurs propres de t A A;
Exercice 17 norme d’un endomorphisme
Soit E un espace vectoriel euclidien. On définit une norme sur L(E), subordonnée à la
norme euclidienne, en posant :
|||f ||| = max ||f (x)||.
||x||=1
1. Montrer que si f admet une matrice diagonale dans une base orthonormée, alors
|||f ||| = sup{|λ|; λ valeur propre de f }.
2. Montrer que, dans le cas général,
|||f ||| = sup{|µ|1/2 ; µ valeur propre de f ∗ f }.
3. On considère un endomorphisme u dont la

0 1
0 0

M =
0 0
0 0
1 0
matrice dans une BON est

0 0 0
1 0 0

0 1 0

0 0 1
0 0 0
– Calculer u5 ; en déduire les valeurs propres de u ;
– Soit f = idE − u; montrer que f ∗ f est un polynôme en u.
– En déduire |||f |||.
Exercice 18 Soit E un espace euclidien de dimension n ≥ 2 et u un endomorphisme
symétrique, défini positif de E. On lui associe l’application
f := x ∈ E → hu(x)|xihu−1 (x)|xi.
1. Déterminer le minimum de f sur la sphère unité. On pourra mettre en évidence deux
endomorphismes a et b tels que :
f (x) = ||a(x)||2 ||b(x)||2 .
2. Préciser en quels points ce minimum est atteint.
Exercice
19 On se propose d’étudier quelques propriétés des matrices carrées symétriques.
1. Soit A M at(n, R) une matrice symétrique. Montrer que si A est définie positive les
coefficients de son polynôme caractéristique sont de signes alternés. Réciproque ?
15
2. Soit A M at(n, R) une matrice symétrique définie positive. Montrer que pour tout
k, la matrice Ak = [Ai,j ]1≤i≤k,1≤j≤k est définie positive de déterminant strictement
positif.
3. Soit M M at(n, C) une matrice carrée d’ordre n à coefficients complexes.
Montrer que toute valeur propre de M appartient à la réunion des disques :




X
Di = z C/|z − Mi,i | ≤
|Mi,j |


j6=i
En déduire que si M est une matrice
P symétrique réelle à diagonale strictement dominante, (ie : pour tout i, Mi,i > j6=i |Mi,j |), elle est définie positive.
Exercice
20 On considère la fonction constante par intervalles définie par
−1, si x < 0 ;
φ(x) =
16, sinon
On lui associe la forme bilinéaire définie sur R[X] par :
Z 1
φ(t) P (t) Q(t) dt.
Φ(P, Q) =
−1
Φ(X n , X m )
1. Calculer
pour n et m entiers naturels ;
2. Montrer que la restriction de Φ à R1 [X] est un produit scalaire, préciser la matrice
de la forme quadratique associée dans la base canonique.
3. Etudier la restriction à R2 [X]. Préciser la matrice de la forme quadratique associée
dans la base canonique, ainsi que sa signature.
4. Pour quelles valeurs de n la restriction de Φ à Rn [X] est elle un produit scalaire ?
fichier Ex2002 PSPolynomesCPM.mws ;
Exercice 21 Le but est de prouver qu’un produit de matrices symétriques positives est
diagonalisable.
On note Sn+ (R) l’ensemble des matrices symétriques positives d’ordre n.
1. Soit U = [ui,j ] ∈ Sn+ (R), montrer que ses termes diagonaux sont positifs.
Montrer que si ui,i = 0, alors pour tout indice j, ui,j = 0 (évaluer une forme quadratique en αei + ej ).
2. Soit U une matrice symétrique positive de la forme :
A C
tC B
où les blocs A, B, C sont respectivement dans Mp (R), Mq (R), Mp,q (R).
On suppose que A est de rang p. Montrer que la matrice
A C
U0 =
O O
est diagonalisable (calculer P (U 0 ) lorsque P est un polynôme).
Que faire lorsque le rang de A est inférieur à p?
16
3. Soient U et V deux matrices symétriques positives, montrer que le produit U V est
semblable à un produit de la forme
D Op,q
Oq,p Oq,q
X
tY
Y
Z
et en déduire que U V est diagonalisable.
Voir corrigé en section 6
Exercice 22
A = [ai,j ] désigne une matrice symétrique de valeurs propres λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn .
1. Soit (xi )i la base canonique de Rn et (yi )i une base orthonormée de vecteurs propres
associés aux λi . Exprimer ak,k en fonction des produits scalaires < xk |yj > et des
valeurs propres.
2. En déduire que a1,1 ≤ λ1 , a1,1 + a2,2 ≤ λ1 + λ2 , ... et généraliser.
3. Montrer que si A est symétrique et positive,
p
Y
!1/p
ak,k
p
1X
≤
λk ,
p
k=1
k=1
pour tout p compris entre 1 et n.
voir correction en section 6
17
4
Endomorphismes orthogonaux en dimension 2 ou 3
On reprend ici les résultats déjà établis en première année.
4.1
Automorphismes orthogonaux
Définition
5
– Soit E euclidien, un endomorphisme u de E est orthogonal ssi
u∗ u = u u∗ = ide .
– On dit également qu’une matrice de Mn (R) est orthogonale ssi
t
M M = M t M = In .
Remarque : la définition n’est pas celle du cours de première année mais ce qui suit
remet les pendules à l’heure.
Théorème 21 caractérisations (vues en première année, sauf la première)
Soit u un endomorphisme de E. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
– u est un endomorphisme orthogonal (ie : u ◦ u∗ = u∗ ◦ u = idE ) ;
– pour tout couple (x, y) ∈ E 2 , < u(x)|u(y) >=< x|y > (ie : u conserve le produit
scalaire) ;
– pour tout couple x ∈ E, < u(x)|u(x) >=< x|x > (ie : u conserve la norme euclidienne) ;
– il existe une BON, B = (bi )i telle que (u(bi )i soit aussi une BON ;
– l’image de toute BON de E est une BON ;
– il existe une BON B, telle que la matrice de u dans B soit orthogonale ; dans
– la matrice de u dans une BON quelconque de E est orthogonale.
Théorème 22 caractérisation des matrices orthogonales
Une matrice est orthogonale ssi l’endomorphisme qui lui est associéP
dans la base canonique
de Rn est orthogonal pour le produit scalaire canonique (< x|y >= xi yi ). Cela se traduit
par
∀(X, Y ) ∈ Rn × Rn , t (M X) (M Y ) =t X Y.
Théorème 23 propriétés des endomorphismes orthogonaux
– Si u est un endomorphisme orthogonal ses seules valeurs propres possibles sont ±1. Les
sous espaces propres éventuels sont orthogonaux.
– Si M est une matrice orthogonale ses seules valeurs propres réelles sont ±1. Ses valeurs propres comme élément de Mn (C) sont, soit ±1, soit des complexes deux à deux
conjugués de la forme e±iθ .
18
Illustration : Penser, par exemple, aux matrices :

cos(θ) − sin(θ)
0
0


1
0
0

"
#
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
0
0

 
, 
0
cos(θ)
−
sin(θ)
, 


 
sin(θ) cos(θ)
0
0
cos(φ) − sin(φ)

0 sin(θ) cos(θ)
0
0
sin(φ) cos(φ)




.


Exercice 23
Soit u un endomorphisme orthogonal de matrice M dans une BON B, de E.
1. Montrer que si F est stable par u, alors ⊥ F est stable par u.
2. Montrer que
E = ker(u − idE ) ⊕ ker(u + idE ) ⊕⊥ [ker(u − idE ) ⊕ ker(u + idE )]
et que ces sous-espaces sont stables et orthogonaux deux à deux ;
3. En introduisant le produit scalaire canonique de Cn montrer que les valeurs propres
de M sont ±1 ou de la forme e±iθ .
4. Soit Z = X + iY ∈ Cn . Montrer que si Z est vecteur propre de M, le sous-espace de
Rn engendré par X et Y est stable par M.
corrigé en 6
4.2
Le groupe orthogonal
Théorème 24 groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal .
– L’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E euclidien forme un groupe pour la
compositions des endomorphismes. On le note (O(E), ◦)
– L’ensemble des endomorphismes orthogonaux tels que Det(u) = +1 est un sous-groupe
de O(E) noté SO(E) (ou parfoisO+ (E)); on l’appelle le groupe spécial orthogonal.
– L’ensemble des matrices orthogonales de Mn (R) forme un groupe pour la multiplication
des matrices. On le note (On (R), ×).
– L’ensemble des matrices orthogonales telles que Det(M ) = +1 est un sous-groupe de
On (R) noté SOn (R).
Exercice 24
On considère sur L(E) ou sur Mn (R) des normes quelconques.
Montrer que O(E) et On (R) sont des compacts dans les espaces normés L(E) et Mn (R).
Définition 6 symétries orthogonales et réflexions
On appelle symétrie orthogonale une symétrie dont les sous-espaces propres ker(f − id)
et ker(f + id) sont supplémentaires orthogonaux.
Une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.
19
Théorème
25 Un endomorphisme de E est une symétrie orthogonale ssi
f = f ∗ = f −1
ce qui signifie que f est à la fois un endomorphisme symétrique et un endomorphisme
orthogonal.
4.3
Description de O2 (R) et de O3 (R)
Nous donnons ici de brefs rappels du cours de première année. On note dans les tableaux
qui suivent E1 = ker(u − idE ) = {x; u(x) = x} et E−1 = ker(u + idE ) = {x; u(x) = −x}.
En dimension 2 nous avons :
Det
1
1
Spectre
{1}
{−1}
Eléments propres
E1 = E
E−1 = E
Nature géométrique
idE
−idE , rotation d’angle π
1
vide
...
rotation d’angle θ 6= 0[π]
-1
{1, −1}
D = E1 , ⊥D = E−1
\
réflexion d’axe D tq (Ox,
D) = θ/2
Matrice (BON)
I2
−I2
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ) cos(θ) sin(θ)
sin(θ) − cos(θ)
• La matrice d’une rotation est inchangée par changement de BON directe le paramètre
θ change de signe avec un changement de BON indirecte.
• La matrice d’une réflexion change avec la BON, le paramètre θ est le demi-angle entre
e1 et l’axe de la réflexion ;
• O2+ (R) est commutatif (cela devient faux si n ≥ 3).
En dimension 3 nous avons, le polynôme caractéristique est de degré impair, le spectre
contient un des réels 1 ou −1 au moins (les autres racines sont complexes, conjuguées de
module 1) et nous avons :
Det
1
1
-1
-1
-1
Spectre
{1}
{1}
{−1}
{−1, 1}
{−1}
Eléments propres
E1 = E
dimE1 = 1
dimE−1 = 3
dimE1 = 2
dimE−1 = 1
Nature géométrique
idE
rotation d’axe E1
symétrie centrale, produit de 3 réflexions
réflexion de plan E1
produit d’une rotation et d’une réflexion (avec D⊥P )
Théorème 26 Soit u ∈ O(E), un endomorphisme orthogonal.
• si dimE = 2, u est une réflexion ou composé de 2 réflexions ;
• si dimE = 3, u est une réflexion ou composé de 2 ou 3 réflexions ;
Dans les deux cas, les réflexions engendrent le groupe orthogonal.
20
4.4
Rotations 3D
Si r est une rotation, alors,
 dans une BOND
 (u, v, w) pour laquelle w ∈ E1 = Inv(r) sa
cos θ − sin θ 0
matrice est de la forme  sin θ cos θ 0 .
0
0
1
Comment déterminer les éléments géométriques d’une rotation vectorielle ? On
sait que si f est un endomorphisme de E, de matrice A dans une BOND, f est une
rotation vectorielle distincte de l’identité ssi f ◦ f ∗ = idE et Inv(f ) est une droite
vectorielle. Ainsi
– si At A = I3 , f ∈ O(E);
– si, de plus Inv(r) est une droite vectorielle, r ∈ O+ (E);
– dans ce cas cos θ = 1/2(T race(A) − 1)
– lorsque x est non nul orthogonal à l’axe, on a, w étant un vecteur unitaire de
l’axe et θ la mesure de l’angle dans l’orientation induite par w :
x ∧ f (x) = ||x||||r(x)|| sin θw;
Comment calculer la matrice d’une rotation vectorielle ? si f est une rotation déterminée
par ses éléments géométriques, pour calculer sa matrice dans une BOND donnée, on
peut
– écrire la matrice de f dans une base adaptée (voir ci-dessus) et faire un changement
de base ;
– ou bien, mettre en œuvre la formule
→
−
u
f (x) = projD (x) + cos(θ)(x − projD x) + sin(θ)
∧x
−
||→
u ||
21
5
Exercices
Exercice 25 Soit E un espace vectoriel euclidien, u et v des endomorphismes autoadjoints de E, on suppose de plus que u est défini positif.
1. Montrer qu’il existe un endomorphisme w et un seul tel que :
u o w + w o u = v.
Que peut on dire de w ?
2. Déterminer w lorsque u, v ont pour matrices respectives :




4 1
1
0 0 −1







A=
 1 4 −1  , B =  0 0 1  .
1 −1 4
−1 1 3
Exercice
26 Soit r l’endomorphisme de l’espace euclidien de dim 3 de matrice


2/3 −2/3 −1/3



R=
 1/3 2/3 −2/3  .
2/3 1/3
2/3
1. Montrer que r est une rotation . Préciser ses éléments géométriques.
2. Monter que R est diagonalisable dans M at3 (C);
3. Montrer que si Z ∈ Cn est un vecteur propre de R, (Re(Z), Im(Z)) engendre un
plan stable par R.
Exercice 27 Nature et éléments géométriques des endomorphismes de matrices :





7
2/3 1/3 −2/3
2/3 2/3 1/3
4/9 4/9
9





8





A =  1/3 2/3 2/3  B =  −1/3 2/3 −2/3  C =  − 9 1/9 4/9
−1/9 89 −4/9
−2/3 2/3 −1/3
−2/3 1/3 2/3


;

Exercice 28
Soit E euclidien de dimension 3.
−
1. Montrer que l’on peut écrire la rotation d’axe D, orientée par →
u , d’angle θ, en
⊥
fonction des projections orthogonales sur D, sur D et du produit vectoriel :
−
−
−
−
Rot(D, →
u , θ)(→
x ) = (1 − cos(θ)) < →
x |→
u >
−
→
u
→
||−
u ||2
−
→
−
−
u V→
+ cos(θ)→
x + sin(θ) ||−
x
→
u ||
(5.1)
V
v,
−
→
u
→
||−
u ||
ou encore, en notant Ω(u) l’endomorphisme défini par Ω(u) : v → u
−
Rot(D, →
u , θ) = projD + cos(θ)(1 − projD ) + sin(θ)Ω
22
(5.2)
2. A l’aide de cette expression d’une rotation, démontrer que l’application
R : (u, θ) ∈ SE (0, 1) × [0, 2π] → Rot(u, θ) ∈ O+ (E)
est continue et surjective. En déduire que O+ (E) est compact dans L(E).
Voir aussi la section (5) pour une application des ces formules.
Exercice
29 rotation et exponentielle de matrice anti-symétrique (Centrale)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, de base orthonormée directe (e1 , e2 , e3 ).
1. Soit w un vecteur non nul de E; donner une représentation matricielle de l’endomorphisme Ω(w) tel que
∀u ∈ E, Ω(w)(u) = w ∧ u.
Donner les éléments propres, dans C3 , de la matrice obtenue.
2. Caractériser géométriquement la matrice
W tW
tW W
où W est le vecteur des coordonnées de w.

0
−c
b



0 −a 
3. Soit h l’endomorphisme associé à la matrice H = 
 c
 . Préciser la na−b a
0
ture géométrique de exp(h), et calculer ensuite exp(H) pour en déduire ses éléments
caractéristiques.
 
a
Exercice 30 Soient V =  b  , vecteur non nul de R3 , et A la matrice
c

0
−c

A=
 c
0
−b
a
b


−a 
.
0
1. Montrer que Q = (I3 + A)−1 (I3 − A), est toujours définie, orthogonale et qu’elle
n’admet pas -1 pour valeur propre. Donner une caractérisation géométrique des
endomorphismes associés à A et à Q dans la base canonique.
2. On suppose à l’inverse, que Q est une matrice orthogonale de taille 3 dont -1 n’est
pas valeur propre. Construire un vecteur V et une matrice A tels que
Q = (I3 + A)−1 (I3 − A).
23
Exercice
31 pseudo inverse d’une application linéaire — (??)—
1. Soient E et F deux espaces vectoriels réels de dimensions finies. On considère une
application linéaire f ∈ L(E, F ) et H un supplémentaire du noyau de f dans E.
(a) Montrer que H et Im(f ) sont isomorphes (Im(f ) désigne l’image de f ). On
notera φ l’endomorphisme mis en évidence.
(b) Montrer qu’il existe une application linéaire g ∈ L(F, E), telle que
(1) g ◦ f ◦ g = g et f ◦ g ◦ f = f.
(c) E et F sont maintenant munis de produits scalaires. On suppose que H est
l’orthogonal du noyau de f dans E. Montrer que (1) admet alors une seule
solution g nulle sur l’orthogonal de Im(f ) dans F à valeurs dans H.
2. On choisit ici E = R3 , F = R5 ; f est l’application linéaire dont la matrice lorsque
E et F sont rapportés à leurs bases canoniques respectives est


1 2 3


 2 2 4 





M = 3 2 5 
.


 4 2 6 


5 4 9
(a) Caractériser le supplémentaire orthogonal de Ker(f ) dans E.
Expliciter une base (ai )1≤i≤3 de E = R3 , orthonormée et adaptée à la décomposition
E = Ker(f ) ⊕⊥ Ker(f ).
(b) Expliciter une base de F = R5 , (bj )1≤j≤5 qui soit orthonormée et adaptée à la
décomposition F = Im(f ) ⊕⊥ Im(f ).
(c) Donner la matrice A de f dans ces bases.
(d) Donner la matrice B de g dans ces bases puis dans les bases canoniques.
3. Vérifier que :
(a) f ◦ g ◦ f = f ;
(b) g ◦ f ◦ g = g;
(c) f ◦ g est un endomorphisme autoadjoint de F ;
(d) g ◦ f est un endomorphisme autoadjoint de E.
24
Exercice 32 ENSAM PT 2001 (MAPLE)
L’espace euclidien est rapporté à une base orthonormée B = (i, j, k).
1. Donner la matrice de la rotation d’axe D = vect(2i − j + k) et d’angle π/6 dans
cette base.
2. Dans E affine rapporté à R = (O, B), donner une expression de la rotation d’axe
passant par A(1,1,1) de vecteur directeur u = (2i − j + k) et d’angle π/6.
Exercice 33 TP MAPLE (première année)
On se propose de de construire quelques outils géométriques : fonctions donnant des matrices de projections, de rotations, de symétries orthogonales etc . . . Dans ce qui suit, on
se place dans un espace euclidien E de dimension 3, dont une BON est fixée.
1. Construire une fonction MAPLE qui prend comme argument un vecteur V et retourne la matrice antisymétrique Ω(V ), telle que Ω(V )W = V ∧W, pour tout vecteur
W.
Vérifier le résultat obtenu, avec la fonction crossprod de MAPLE.
−
2. Soit →
u un vecteur de E, exprimer la matrice de la projection orthogonale de E
−
sur la droite vect(→
u ). Ecrire une fonction MAPLE qui prend un vecteur U comme
argument et retourne cette matrice.
3. Construire une fonction MAPLE qui prend un vecteur U comme argument et retourne la matrice de la projection orthogonale sur le plan normal à U.
−
4. Montrer que l’on peut écrire la rotation d’axe D, orientée par →
u , d’angle θ, en
⊥
fonction des projections orthogonales sur D et sur D et du produit vectoriel :
−
Rot(D, →
u , θ) = projD + cos(θ)(1 − projD ) + sin(θ)Ω
→
−
u
−
||→
u ||
En déduire une fonction MAPLE qui, à un vecteur U et un réel θ, associe la matrice
de la rotation d’axe U orienté par U, d’angle θ.
Rappels : on saura faire avec with(linalg), matrix, transpose, vector, evalm, &*,
crossprod, dotprod, ...
25
6
Corrigés
Correction de l’exercice 10
1. classique : on montre que Imf ∗ =⊥ Kerf, Kerf ∗ =⊥ Imf.
2. – [(a) ⇒ (b)] on multiplie à droite par u∗ ; on en déduit que si p = u ◦ u∗ , p2 = p. De
plus, p est auto-adjoint, on en déduit l’orthogonalité de Imp et Kerp :
– [(a) ⇒ (c)] on multiplie à gauche par u∗ ; idem...
– [(b) ⇒ (a)] Nous voulons prouver que pour tout y ∈ E,
< u ◦ u∗ ◦ u(x)|y >=< u(x)|y > .
Cela s’exprime encore < u(x)|u ◦ u∗ (y) − y >= 0, ou bien
Imu⊥Im(u ◦ u∗ − id) = Ker(u ◦ u∗ ),
ce qui est vrai car Ker(u ◦ u∗ ) ⊂ Keru∗ =⊥ Imu !
– [(b) ⇒ (d)]
Prenons x = u∗ (t), un élément quelconque de Im(u∗ ) = Ker(u)⊥ . Il vient,
< u(x)|u(x) >=< u ◦ u∗ (t)|u ◦ u∗ (t) >=< (u ◦ u∗ )2 (t)2 |t > .
Comme u ◦ u∗ (t) est un projecteur,
< u(x)|u(x) >=< u∗ (t)|u∗ (t) >=< x|x > .
– [(d) ⇒ (b)] supposons que pour tout x ∈ Im(u∗ ) = Ker(u)⊥ , on ait < u(x)|u(x) >=<
x|x > .
En prenant x = u∗ (t), et y = u∗ (s), et en développant ||x + y||2 , on montre que
< u(x)|u(y) >=< x|y >, d’où :
< u ◦ u∗ (s)|u ◦ u∗ (t) >=< u∗ (s)|u∗ (t) > .
Ainsi,
(u ◦ u∗ )2 (t) = u ◦ u∗ (t)...
3. L’inclusion Ker(u)⊥ ⊂ {x ∈ E; < u(x)|u(x) >=< x|x >} est une conséquence de
ce qui précède.
Soit x ∈ E, on peut écrire que x = x1 + x2 avec x1 ∈ Ker(u)⊥ et x2 ∈ Ker(u). Il
vient
||x||2 = ||x1 ||2 + ||x2 ||2
||u(x)||2 = ||u(x1 )||2 = ||x1 ||2 .
Ainsi, si < u(x)|u(x) >=< x|x >, on a x2 = 0. 26
Correction de l’exercice 11
1. ⇒: évident ;
⇐: si f ∗ f (x) = 0, alors < x|f ∗ f (x) >=< f (x)|f (x) >= 0... Si N est nilpotent et
vérifie N N ∗ = N ∗ N, alors N N ∗ est auto-adjoint et (N N ∗ )p = N p N ∗p = 0. Comme
N N ∗ est auto-adjoint et nilpotent, il est nul et on en déduit que N = 0.
Remarque 1 : un endomorphisme nilpotent et auto-adjoint est nul car diagonalisable, on peut aussi observer que si N est nilpotent d’ordre p = 2q+r, et auto-adjoint,
on a
N 2q+r = N 2q+2 = (N ◦ N ∗ )q+1 = 0
d’où N q+1 = 0. On en déduit q + 1 ≥ p = 2q + r.
De q + r ≤ 1, on déduit
– que q = 0, r = 1 auquel cas p = 1, et N = 0,
– ou que q = 1, r = 0, auquel cas N 2 = N N ∗ = 0 d’où encore N = 0.
Remarque 2 : une idée de candidat :f ∗ ◦ f p (x) = 0 entraı̂ne
f ◦ f ∗ ◦ f p−1 (x) = 0,
d’où f ∗ (f p−1 (x)) = 0, et on continue...
2. Soit p tel que p p∗ = p∗ p et p2 = p. On a
g ◦ g ∗ = (IdE − p) ◦ p∗ ◦ p(IdE − p∗ ) = 0,
donc g = 0 et p∗ = p ◦ p∗ = p.
3. On suppose que f et f ∗ commutent. Par Cayley-Hamilton et le lemme des noyaux
M
M
E=
Ker(f − λ)nλ =
Fλ .
Chaque sev Fλ est stable par f et f ∗ (noyau d’un polynôme en f qui commute avec
f et f ∗ ). Les restrictions de f − λ et f ∗ − λ à Fλ sont des endomorphismes nilpotents
et qui commutent, ils sont nuls. Ainsi
Fλ = ker(f − λ).
Nous avons prouvé que f est diagonalisable,
f = ⊕λpλ
Comme les projecteurs sont des polynômes en f ils
commutent avec f ∗ et avec leurs adjoints et sont orthogonaux.
27
Correction exercice 12
Approximation discrète au sens des moindres carrés
1. Généralités
(a) Si f est combinaison linéaire des d + 1 fonctions (ui )0≤i≤d , il existe (ai )i ∈ Kd+1
P
tel que f (x) = di=0 ai ui (x) et alors

  Pd


f (x1 )
ui (x1 )
d
i=0 ai ui (x1 )
 X  .. 

 
..
F =  ...  = 
ai  .  .
=
.
Pd
i=0
f (xN )
ui (xN )
i=0 ai ui (xN )



ui (x1 )


Ainsi le vecteur F est combinaison linéaire des d + 1 vecteurs  ...  . Nous
ui (xN )
noterons V le sous-espace de K N engendré par ces d + 1 vecteurs. On
peut exprimer matriciellement :


u0 (x1 ) u1 (x1 ) . . . ud (x1 )  
 u0 (x2 ) u1 (x2 ) . . . ud (x2 )  a0



 a1 

 
F = UA =  .
  .. 
.
.
.
.
.
 .
 
.
. 

 .

 ad
u0 (xN ) u1 (xN ) . . . ud (xN )
avec U ∈ MN,d+1 et A ∈ Kd+1 . V apparaı̂t alors comme étant l’image de U
dans K N . Cette image a pour dimension le rang de U qui est au plus d + 1.
(b) Lorsque la fonction f est polynomiale de degré ≤ d, elle est combinaison linéaire
des fonctions monômes ui (x) = xi et la matrice U est la matrice de Vandermonde (tronquée) :




1 x1 . . . xd1
u0 (x1 ) u1 (x1 ) . . . ud (x1 )
d

 u0 (x2 ) u1 (x2 ) . . . ud (x2 )  1 x2 . . . x2 


 


 


 
=
U = .
.

.
.
.
.
.

 .
..
.. 
.
. 
  ...

.
. 


 


u0 (xN ) u1 (xN ) . . . ud (xN )
d
1 xN . . . x N
2. Considérons une norme || || dans KN . D’après les préliminaires topologiques, pour
tout Y ∈ K N , il existe un vecteur F0 ∈ V (non nécessairement unique) de V sev de
KN tel que
||Y − F0 || = inf ||Y − F ||.
F ∈V
3. On pose J(A) = ||F − Y ||2 = ||U A − Y ||2 .
28
(a) Numérotons :
i. J(A) est un minimum de J sur RN ;
ii. pour tout B ∈ F, pour tout ε ∈ R, J(A) ≤ J(A + εB);
iii. pour tout B ∈ F, < U A − Y |U B >= 0.
(1) ⇒ (2) est immédiat.
(2) ⇒ (3) : la fonction de la variable réelle ε → J(A + εB) = ||U (A + εB) − Y ||22
s’exprime :
J(A + εB) = ||U (A + εB) − Y ||22 = ||U B||2 ε2 + 2ε < U B|U A − Y > +J(A).
Si pour tout ε, J(A) ≤ J(A + εB), on a aussi pour tout ε > 0,
||U B||2 ε + 2 < U B|U A − Y >≥ 0.
Cela impose (par exemple en passant à la limite) < U B|U A − Y >≥ 0.
De la même façon, si ε < 0,
||U B||2 ε + 2 < U B|U A − Y >≤ 0,
ce qui impose < U B|U A − Y >≤ 0.
(3) ⇒ (1) : on suppose que pour tout B ∈ KN , < U B|U A − Y >= 0. On a
alors pour X ∈ Kd+1 quelconque
J(X) = J(A+(X−A)) = ||U (X−A)||2 +2 < U (X−A)|U A−Y > +J(A) ≥ J(A).
(b) Soient M ∈ Mp,q (R), X ∈ Rp , Y ∈ Rq ; on a M Y ∈ Rp et
!
!
p
q
p
q
X
X
X
X
< X|M Y >=
xi
mi,k yk =
mi,k xi yk .
t
< M X|Y >=
i=1
k=1
q
X
p
X
k=1
yk
i=1
i=1
!
t
( m)k,i xi
=
k=1
q
p
X
X
k=1
!
mi,k xi yk
i=1
où les deux expressions sont égales.
(c) La relation < U A − Y |U B >= 0 qui devient <t U (U A − Y )|B >= 0. Comme B
est quelconque, F = U A réalise le minimum de ||F − Y || ssi tU U A −t U Y = 0.
Une telle équation admet une solution A et une seule lorsque tU U est inversible. Or la matrice carrée tU U a le même noyau que U. Elle est inversible dans
Md+1 (R) dès lors que rg(U ) = dimV = d + 1.
Vérifions que ker(U ) = ker(t U U ).
U ∈ MN,d+1 (R),t U U ∈ Md+1 (R) considérons X ∈ Rd + 1.
-X ∈ ker(U ) implique que pour tout Y, < U X|U Y >=<t U U X|Y >= 0. Ainsi
t U U X = 0.
- Réciproquement, si t U U X = 0, <t U U X|X >=< U X|U X >= ||U X||2 = 0
et X ∈ ker(U ).
Remarque : l’existence est assurée quelque soit le rang de U ou la dimension de
V pour des raisons topologiques.
29
Correction de l’exercice 21
1. On observe que ai,j =t Xi AXj , et on calcule t (αXi + Xj )A(αXi + Xj ), qui est de
signe constant.
2. Si Ω est une matrice orthogonale telle que t ΩAΩ = Λ := diag(λ1 , ..., λp ), on a
t
Ω O A C Ω O
Λ t ΩC
=
O Iq O O O Iq
O O
Soit P un polynôme, le calcul conduit à :
P (Λ) Q(Λ)C
00
P (U ) =
O
a0 Iq
P (X) − P (0)
où Q(X) =
.
X
P annule U” ssi
– P (0) = a0 = 0.
– P (Λ) = 0p
Soit Q le polynôme minimal de Λ, il est scindé à racines simples non nulles et
P (X) = XQ(X) qui est aussi un polynôme à racines simples est annulateur de U’...
Si, maintenant A est de rang inférieur à p,
3. Il existe une matrice Ω telle que t ΩU Ω = diag(λ1 , ..., λp , 0, ..., 0).
Alors
DX DY
D Op,q X Y
t
t
t
=
ΩU V Ω = ( ΩU Ω)( ΩV Ω) =
O
O
Oq,p Oq,q t Y Z
On introduit
p
p
R O
∆ = diag( λ1 , ..., λp , 1, ..., 1) =
.
O Iq
RXR RY
RXR RY
t
est
La matrice ∆V ∆ = t
est symétrique positive, et
O
O
YR
Z
DX DY
RXR RY
diagonalisable. Par ailleurs,
=∆
∆−1 .
O
O
O
O
30
Correction exercice 22
1. Si A ∈ Sn (R), elle admet une BON de vp dans laquelle
xi =
n
X
< xi |yk > yk .
k=1
Comme ai,i =t xi Axi , il vient :
ai,i =
n
X
< xi |yk >2 λk .
k=1
2. On en déduit immédiatement que a1,1 ≤ λ1 en observant que
n
X
||x1 ||2 =
< x1 |yk >2 .
k=1
On a ensuite :
a1,1 + ... + ap,p =
( n
p
X
X
i=1
=

p X
p
X

i=1
≤
p
X
λk
k=1
Remplaçons
Pn
k=p+1
p
X
< xi |yk > λk
n
X
< xi |yk >2 λk
< xi |yk >2 +λp+1
p
n
X
X


(6.2)

k=p+1
i=1
< xi |yk >2
(6.3)
i=1 k=p+1
< xi |yk >2 par 1 −
Pp
k=1
< xi |yk >2 , ce qui donne
p
p
X
X
(λk − λp+1 )
< xi |yk >2 +pλp+1
k=1
(6.1)
k=1
< xi |yk >2 λk +
k=1
)
2
(6.4)
i=1
On majore par ||x||2 encore une fois...
3. Si A ∈ Sn++ (R), c’est une inégalité de convexité, on passe aux matrices positives à
la limite en posant Aε = A + εIn .
31
Correction de l’exercice 23
Soit u un endomorphisme orthogonal de matrice M dans une BON B, de E.
1. Soit F stable par u. Considérons y ∈⊥ F.
Pour tout x ∈ F, < u(x)|y >= 0 puisque u(x) ∈ F. Or,
< u(x)|y >=< x|u∗ (y) >=< x|u−1 (y) > .
Cela prouve que u−1 (⊥ F ) ⊂⊥ F. Il y a donc égalité car u−1 est une bijection et
conserve la dimension.
On en déduit que ⊥ F est aussi stable par u : en effet, si y ∈⊥ F, il existe x ∈⊥ F tel
que y = u−1 (x) ∈⊥ F et ainsi, u(y) = x ∈⊥ F.
2. Soit u orthogonal.
Observons tout d’abord que SpR (u) ⊂ {−1, 1}. En effet, si x est vp associé à λ,
||u(x)|| = |λ|||x|| = ||x|| =⇒ |λ| = 1.
Montrons que deux sev propres de u sont orthogonaux. On considère deux
vp λ et µ et deux vecteurs propres associés, x et y. On a en particulier u(y) = µy et
y = µu−1 y. Alors :
< u(x)|y >= λ < x|y >=< x|u∗ y >=< x|u−1 > u =
1
< x|y > .
µ
Si λ et µ sont distinctes leurs inverses le sont aussi (elles valent ±1). On a donc
< x|y >= 0.
Ainsi, la somme directe ker(u − idE ) ⊕ ker(u + idE ) est orthogonale. Notons la F.
La relation
E = ker(u − idE ) ⊕ ker(u + idE ) ⊕⊥ [ker(u − idE ) ⊕ ker(u + idE )]
n’est autre que F ⊕⊥F = E. Les trois espaces qui y figurent sont stables par u
Remarque : Par ailleurs le pc de u étant de degré 3, il admet une racine réelle au
moins qui est 1 ou -1..
3. En introduisant le produit scalaire canonique de Cn montrer que les valeurs propres
de M sont ±1 ou de la forme e±iθ .
4. Soit Z = X + iY ∈ Cn un vecteur propre de M, associé à λ = α + iβ ( réels). On a
M Z = λZ = (α + iµ)(X + iY ) = (αX − βY ) + i(αY + βX)
Comme M Z = M X + iM Y en identifiant parties réelles er imaginaires, il vient :
M X = (αX − βY ) ∈ vect(X, Y ) ∈ Rn
M Y = (αY + βX) ∈ vect(X, Y ) ∈ Rn
Le sous-espace de Rn engendré par X et Y est donc stable par M.
32
Index
adjoint
d’un endomorphisme, 7, 8
image, noyau, 3
définie positive
matrice symétrique, 13
diagonalisation
matrices réelles symétriques, 5
endomorphisme
antisymétrique, 7
nilpotent normal, 8
normal, 8
orthogonal, 23
positif, 13
exponentielle
de matrice antisymétrique, 23
pseudo inverse, 24
rotation, 23
exponentielle, 23
S + (E), 13
symétrique
matrice, 13
théorème
diagonalisation
des endomorphismes symétriques, 5
forme
bilinéaire symétrique, 10
quadratique, 10
forme bilinéaire
positive, 13
Gram
matrice de, 12
groupe
orthogonal, 19
spécial orthogonal, 19
matrice
antisymétrique, 7, 23
symétrique, 13
symétriques, positives
produit, 16
moindres carrés, 9
polarisation, 11
polynôme
annulateur, 7
positive
matrice symétrique, 13
projecteur
normal, 8
orthogonal, 8
33