Concours National Commun d`Admission aux Grandes

ROYAUME DU MAROC
Minist` ere de l’ ´ Education Nationale, de l’Enseignement
Sup´ erieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Pr´ esidence du Concours National Commun 2006
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Ecole Mohammadia d’Ing´ enieurs
EMI
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes ´ Ecoles d’Ing´ enieurs ou Assimil´ ees
Session 2006
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EPREUVE DE MATH ´ EMATIQUES II
Dur´ ee 4 heures
Fili` ere TSI
Cette ´ epreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit

Concours National Commun – Session 2006 – TSI
L’´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats du concours TSI,
comporte 3 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la pr´ecision des raisonnements ainsi que le soin apport´e `a la r´edaction et
`a la pr´esentation des copies seront des ´el´ements pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec pr´ecision les r´ ef´ erences des questions abord´ees
Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui peut lui sembler ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amen´ e` a prendre.
EXERCICE
Soit Aune matrice r´ eelle d’ordre 3telle que A6= 0 et A3+A= 0. On note Ele R-espace vectoriel
R3,B= (e1, e2, e3)la base canonique de Eet ul’endomorphisme de Edont la matrice relativement
`
a la base Best A.
1. V´ erifier que u3+u= 0 et que un’est pas l’endomorphisme nul.
2. (a) On suppose que uest injectif ; montrer que u2=−idEet trouver une contradiction.
(b) Justifier alors que dim Ker u∈ {1,2}.
3. Montrer que Eest somme directe des sous-espaces vectoriels Ker uet Ker (u2+idE). Quelles
sont alors les valeurs possibles de la dimension du sous-espace vectoriel Ker (u2+idE)?
4. On pose F= Ker (u2+idE).
(a) V´ erifier que Fest stable par u. On note vl’endomorphisme induit par usur F.
(b) V´ erifier que v2=−idF.
(c) Pr´ eciser le d´ eterminant de v2en fonction de la dimension de Fet en d´ eduire que
dim F= 2.
(d) Montrer que l’endomorphisme vn’a aucune valeur propre.
5. On consid` ere un vecteur e0
1non nul de Ker u, un vecteur e0 2non nul de Fet on pose e0 3=u(e0 2).
(a) Montrer que la famille (e0
2, e0 3)d’´
el´ ements de Fest libre.
(b) Montrer que la famille B0= (e0
1, e0 2, e0 3)est une base de Eet ´
ecrire la matrice Bde udans
cette base.
(c) Que peut-on alors dire des matrices Aet B?
PROBL` EME
D´efinitions et notations
Dans tout le probl` eme, Ed´ esigne un espace vectoriel euclidien de dimension n>2muni d’un
produit scalaire not´ e(.|.); la norme euclidienne sur Eassoci´ ee ` a ce produit scalaire est not´ ee k.k.
On rappelle qu’un endomorphisme fde Eest dit sym´ etrique si
∀(x, y)∈E2,(f(x)|y) = (x|f(y)).
Un endomorphisme sym´ etrique de Eest dit positif si, pour tout x∈E,(f(x)|x)>0.
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Epreuve de Math´ ematiques II 1 / 3
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On note L(E)l’alg` ebre des endomorphismes de E,S(E)le sous-espace vectoriel de L(E)form´ e
des endomorphismes sym´ etriques et O(E)le groupe orthogonal de E.
Si p∈N∗, on note Mn,p(R)l’espace vectoriel des matrices ` a coefficients r´ eels, ` anlignes et p
colonnes ; si p=n,Mn,p(R)est not´ e simplement Mn(R), c’est l’alg` ebre des matrices carr´ ees d’ordre
n` a coefficients r´ eels. La matrice identit´ e de Mn(R)se notera In.
Pour toute matrice Ade Mn,p(R),t Ad´ esigne la matrice transpos´ ee de Aet rg(A) son rang. Si
p=n,Sp(A)repr´ esente l’ensemble des valeurs propres r´ eelles de A,Tr (A)sa trace et PAson
polynˆ ome caract´ eristique ; il est d´ efini par
∀λ∈R, PA(λ) = det(A−λ In).
Premi`ere partie
Soit uun vecteur unitaire de E; on note pl’endomorphisme de Ed´ efini par
∀x∈E, p(x) = (u|x).u.
1. (a) Justifier que p◦p=p.
(b) D´ eterminer Ker pet Im pet les exprimer moyennant le vecteur u. En d´ eduire la nature de
l’endomorphisme p.
(c) ´ Etablir que pest un endomorphisme sym´ etrique et positif.
(d) Justifier que pest diagonalisable et d´ eterminer ses valeurs propres ainsi que les sous-
espaces propres associ´ es.
2. Soit BE= (e1, e2, . . . , en)une base orthonormale de E. On suppose que l’expression du vecteur
udans cette base s’´ ecrit u=
n
X
i=1
uieiet on note U=
u1
.
.
.
un
.
(a) Calculer les coefficients de la matrice UtU.
(b) Exprimer la matrice de pdans la base BEen fonction de U.
3. Pour α∈R, on pose fα=idE+αp.
(a) Quelle condition doit v´ erifier αpour que fαsoit un automorphisme de E?
(b) On note G={fα, α ∈Ret α6=−1}. Montrer que Gest un groupe pour la composition
des applications.
(c) D´ eterminer les ´ el´ ements de G∩O(E)en pr´ ecisant la nature de chacun d’entre eux.
4. On suppose ici que αest non nul.
(a) Justifier que fαest diagonalisable et pr´ eciser ses valeurs propres ainsi que les sous-
espaces propres associ´ es.
(b) D´ eterminer le polynˆ ome caract´ eristique Pfαde fα.
(c) Calculer kfαk= sup{kfα(x)k, x ∈Eet kxk= 1}
5. Soient aet bdeux r´ eels non nuls, et gl’endomorphisme de Edont la matrice relativement ` a la
base BEest aIn+bJn, o ` uJnla matrice de Mn(R)dont tous les coefficients sont ´ egaux ` a1.
(a) D´ eterminer toutes les matrices colonnes V∈ Mn,1(R)telles que Jn=nV tV.
(b) Exprimer l’endomorphisme gen fonction de fnb
apuis d´
eterminer les valeurs propres ainsi
que le polynˆ ome caract´ eristique et les sous-espaces propres de la matrice aIn+bJn.
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Epreuve de Math´ ematiques II 2 / 3
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Deuxi`eme partie
Dans cette partie, Fd´ esigne un espace euclidien de dimension m>2muni d’un produit scalaire
not´ e<, > et BF= (e0
1, e0 2, . . . , e0
m)une base orthonormale de F.
1. Soit hun endomorphisme sym´ etrique de F.
(a) Justifier qu’il existe une base orthonormale de Fform´ ee de vecteurs propres de h.
(b) Montrer que hest positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.
2. Soit fune application lin´ eaire de Fvers E. On note ˜ fl’application de Evers Fd´ efinie par
∀x∈E, ˜ f(x) =
m
X
k=1
(f(e0
k)|x).e0 k.
(a) Montrer que ˜ fest lin´ eaire et que c’est l’unique application lin´ eaire de Evers Fv´ erifiant
∀(x, y)∈E×F, < ˜ f(x), y >= (x|f(y)).
(b) Montrer que ˜ f◦fest un endomorphisme sym´ etrique et positif de F
(c) V´ erifier que Ker ˜ f= (Im f)⊥et que Ker ( ˜ f◦f) = Ker f.
(d) En d´ eduire que rg ( ˜ f◦f) = rg (f)6min(n, m).
(e) On note Ala matrice de frelativement aux bases BFet BE.
i. Exprimer, en fonction de A, la matrice ˜ Ade ˜ frelativement aux bases BEet BF
ii. Exprimer, en fonction de A, la matrice de ˜ f◦frelativement ` a la bases BFde F.
3. fd´ esigne toujours une application lin´ eaire de Fvers E. Pour tout k∈ {1, . . . , m}, on pose
f(e0
k) = uket on note pkl’endomorphisme de Ed´
efini par
∀x∈E, pk(x) = (uk|x).uk.
(a) Exprimer f◦˜ fcomme combinaison lin´ eaire de p1, . . . , pm.
(b) Montrer que l’endomorphisme f◦˜ fest sym´ etrique et positif.
(c) Soit λun r´ eel non nul. Montrer que λest valeur propre de f◦˜ fsi et seulement si λest
valeur propre de ˜ f◦f; dans ce cas, montrer que l’ordre de multiplicit´ e de la valeur propre
λest le mˆ eme pour ces deux endomorphismes.
(d) Exprimer la matrice Gde ˜ f◦fdans la base BF` a l’aide des vecteurs ukpuis l’´ ecrire en
fonction de la matrice Ade frelativement aux bases BFet BE.
(e) Montrer que rg (G) = rg (f)et que 0est valeur propre de ˜ f◦fsi et seulement si la famille
(u1, . . . , um)est li´ ee.
4. Avec les notations de la question 3. pr´ ec´ edente, on pose A= (ai,j )∈ Mn,m(R)avec ai,j = 1 si
i6jet 0sinon ; on note B=tAA et on suppose de plus que m6n.
(a) Donner une expression du terme g´ en´ eral bi,j de la matrice B.
(b) D´ eterminer une famille (u1, . . . , um)d’´ el´ ements de Etelle que B=G.
(c) Est-ce que 0est valeur propre de B?
FIN DE L’´ EPREUVE
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Epreuve de Math´ ematiques II 3 / 3
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