Applications linéaires - Arthur Lannuzel

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le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL
http ://mathutbmal.free.fr
Applications lin´eaires
1 Exemples et d´efinitions.
Soit Eet F, 2 espaces vectoriels sur K=Rou C.
On s’int´eresse aux applications qui conservent la structure d’espace vectoriel.
D´efinition 1.1 (Application lin´eaire)
i) f:E−→ Fest dite application K-lin´eaire ou homomorphisme si :
-∀(u, v)∈E2, f(u+Ev) = f(u) +Ff(v),
-∀u∈E, ∀λ∈K, f(λ.Eu) = λ.Ff(u).
ii) L’ensemble des applications lin´eaires de Edans Fest not´e L(E, F )ou HomK(E, F ).
iii) f:E−→ Elin´eaire est dite endomorphisme de E.
Exercice 1.2 L(E, F )est un K-espace vectoriel.
Indication : montrer que L(E, F )est un sous-espace vectoriel de F(E, F ).
Remarque 1.3 i) Pour montrer que f:E−→ Fest lin´eaire, il suffit de montrer
∀λ∈K,∀(u, v)∈E2, f(λ.u +v) = λ.f(u) + f(v).
ii) Si fest lin´eaire alors f(0E) = 0F.
En effet, f(u) = f(u+ 0E) = f(u) + f(0E), donc f(0E) = 0F.
Exemples 1.4 i) a∈Ralors
fa:R−→ R
x7→ a.x
est lin´eaire.
Les fasont les seules applications lin´eaires de Rdans R(d’o`u le nom).
ii) Soit E=C∞(R,R)l’ensemble des application infiniement d´erivables de Rdans R. Alors
D:E−→ E
f7→ D(f) = f′
est lin´eaire.

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iii) Soit El’espace vectoriel sur Rdes fonctions int´egrables sur [a, b]⊂Ret
I:E−→ R
f7→ b
af(t)dt
est lin´eaire.
iv) L’application trace
T r :Mn(R)−→ R
A= (ai,j)1≤i,j≤n7→ T r(A) = n
i=1 ai,i
est lin´eaire
v) Soit Eespace vectoriel. Soit u∈E,u̸= 0Ealors l’application translation de vecteur u
Tu:E−→ E
v7→ v+u
n’est pas lin´eaire.
vi) Soit M∈ Mn,p(R)alors
fM:Rp−→ Rn
V7→ M.V
est lin´eaire.
C’est l’application lin´eaire associ´ee `a M.
Exercice 1.5 i) L’image r´eciproque d’un sous-espace vectoriel par une application lin´eaire est
un sous-espace vectoriel.
ii) L’image d’un sous-espace vectoriel par une application lin´eaire est un sous-espace vectoriel.
iii) Trouver des contres-exemples qui montrent que ce n’est pas vrai pour une application quel-
conque.
2 Noyau d’une application lin´eaire.
Soient E, F 2 espaces vectoriels sur Ket fune application lin´eaire de Edans F.
L’ensemble Ndes vecteurs u∈Etels que f(u) = 0F(N:= f−1({0F})) est un sous-esp. vect.
de E.
[En effet :
-f(0E) = 0Fdonc N̸=∅,
- soient u, v ∈N,λ, µ ∈Kalors f(λ.u +µ.v) = λ.f(u) + µ.f(v) = λ.0F+µ.0F= 0F, donc
λ.u +µ.v ∈N.]

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De plus,
f(u) = f(v)⇐⇒ ∃k∈N/u +k=v.
[En effet :
Si f(u) = f(v) alors f(v)−f(u) = f(v−u) = 0, donc v−u∈N.]
Attention : ce qui pr´ec`ede est faux pour une application non-lin´eaire.
D´efinition 2.1 f:E−→ Fapplication lin´eaire.
L’espace vectoriel {u∈E/f (u) = 0F}s’appelle le noyau de fet se note Ker(f).
Ker(f) := f−1({0F}).
Exemples 2.2 i) D:C∞(R,R)−→ C∞(R,R)
f7→ f′
.
R´eponse :
KerD ={cste}.
ii) fM:R3−→ R3
x
y
z
7→ M. 
x
y
z
avec M=
−1 0 1
2−2 0
3−2−1
.
R´eponse :
KerfM=vect({
1
1
1
}).
Exercice 2.3 Soit Eun K-espace vectoriel et F1, F2deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires
de E(i.e. E=F1⊕F2).
Soit pF1:E−→ F1
x7→ x1tel que x =x1+x2avec xi∈Fi
la projection sur F1suivant F2.
D´eterminer KerpF1.
Th´eor`eme 2.4 Soit f:E−→ Flin´eaire alors
f injective ⇐⇒ ker(f) = {0E}.
Rappel 2.5 f:A−→ Binjective si
(f(x) = f(y)) ⇐⇒ x=y).

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Preuve.
Preuve du th´eor`eme. D´ecoule directement de l’introduction du paragraphe 2.
CQFD
3 Image d’une application lin´eaire.
f:E−→ Fapplication lin´eaire, E, F Ke. v.
Montrons que f(E)est un s.e.v. de F.
- On a vu 0F=f(0E) donc 0F∈f(E).
- Si y=f(x) et y′=f(x′) alors y+y′=f(x) + f(x′) = f(x+x′). Donc
y, y′∈f(E) =⇒y+y′∈f(E).
- Si y=f(x) et λ∈Kalors λ.Fy=λ.Ff(x′) = f(λ.Ex′).
Donc
y′∈f(E), λ ∈K=⇒λ.y′∈f(E).
On a donc la
Proposition-d´efinition 3.1 L’ensemble des vecteurs de Fqui sont image par l’appliation
lin´eaire fde vecteurs de Eest un sous-esp. vect. de F. On l’appelle image de fet on le note :
Im(f) := f(E) = {f(x), x ∈E}.
Exemples 3.2 i) D:C([a, b],R)−→ C([a, b],R)
f−→ f′
R´eponse :
alors ImD =C([a, b],R).
ii)Soit
f:R3−→ R3
a
b
c
−→ M. 
a
b
c
avec M =
101
220
321
R´eponse :
alors Imf =vect({
0
2
2
,
1
0
1
}).

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iii) Soit
f:R3−→ R4
a
b
c
−→
a+ 2b
a+ 2c
2a+ 2b+ 2c
2b−2c
Donner une base de Imf .
Remarque 3.3 f:E−→ Flin´eaire.
f surjective ⇐⇒ Im(f) = F.
4 Isomorphisme.
D´efinition 4.1 Une application lin´eaire fde Edans Fest appel´ee isomorphisme si elle est
bijective (i.e. injective et surjective).
Remarque 4.2 f:E−→ Fapplication lin´eaire. Alors
f isomorphisme ⇐⇒ Ker(f) = {0}et Im(f) = F.
Exemples 4.3 1) ϕM:M3(R)−→ M3(R)
A7→ M.A
avec M=
101
111
110
est un isomorphisme.
2) D:R[X]−→ R[X]
P(X)7→ P′(X)
n’est pas un isomorphisme.
Exercice 4.4 (important)
Soit Eun K-esp. vect. de dim. n.
Soit B={b1, b2, ..., bn}une base de E.
Montrer que
coordB:E−→ Kn
V7→
λ1
λ2
...
λn
tel que V ! =n
i=1 λ1.bi
est un isomorphisme.