feuille n 2

Feuille no 2
MM2
Applications linéaires
Exercice 1. C est à la fois un C-espace vectoriel et un R-espace vectoriel.
On considère les applications suivantes :
c : C → C,
z 7→ z̄,
r : C → C,
z 7→ Re(z),
i : C → C,
z 7→ Im(z).
1. L’application c est-elle C-linéaire, est-elle R-linéaire ?
2. L’application c est-elle un C-automorphisme, un R-automorphisme ?
3. Montrer que r et i sont des applications R-linéaires.
4. Calculer les noyaux et les images de r et i.
Exercice 2. Soient E et F deux espaces vectoriels. On note f ∈ L(E, F )
et {ai }i une famille (non vide) d’éléments de E.
1. Démontrer que si (f (ai ))i est libre alors (ai )i est libre.
2. Démontrer que si (ai )i est libre et f est injective, alors (f (ai ))i est
libre.
3. Les implications réciproques sont-elles vraies ?
4. Démontrer que si (ai )i engendre E, alors (f (ai ))i engendre Im f .
Exercice 3. Soit E un espace vectoriel. Une application linéaire p de E
dans E s’appelle un projecteur si p = p ◦ p.
1. Montrer que pour tout y ∈ Im p, alors p(y) = y. On dit que y est
invariant.
2. Démontrer que E = ker p ⊕ Im p.
3. Montrer que f ∈ L(E) est un projecteur si, et seulement si, tout
vecteur de Im f est invariant.
4. Soit f ∈ L(E). On considère g = IdE − f . Montrer que les conditions
suivantes sont équivalentes :
(a) f est un projecteur,
(b) Im f ⊂ ker g,
(c) Im g ⊂ ker f .
Exercice 4. E est un R−espace
vectoriel, F et G deux sous-espaces supL
plémentaires de E : E = F
G. On pose s(u) = uF L
− uG où u = uF + uG
est la décomposition (unique) obtenue grâce à E = F
G. s est la symétrie
par-rapport à F de direction G.
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1. Montrer que s ∈ L(E), que u ∈ F ⇔ s(u) = u, u ∈ G ⇔ s(u) = −u,
donner Ker(s) et calculer s2 .
E
2. Réciproquement si f ∈ L(E) vérifie f 2 = idE . On pose p = f +id
2 .
Calculer f (u) en fonction de p(u) et u. Vérifier que p est un projecteur,
calculer son noyau et son image. Montrer que f est la symétrie par
rapport à F = {u ∈ E|f (u) = u} de direction G = {u ∈ E|f (u) =
−u}.
Exercice 5. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. On
considère des applications linéaires f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, E) telles que :
f ◦g◦f =f
et g ◦ f ◦ g = g.
1. Montrer que h = g◦f est une application linéaire de E dans E. Vérifier
que h est un projecteur, i.e. h = h ◦ h.
2. Montrer que E = ker f ⊕ Im g.
3. Montrer que f , g et g ◦ f sont de même rang.
Exercice 6. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit f ∈ L(E).
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. ker f = ker f ◦ f ,
2. Im f = Im f ◦ f ,
3. E = ker f ⊕ Im f .
Exercice 7. Soit E = R3 [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 3,
et f : E → E définie par :
0
f (P ) = P + (1 − X)P .
Montrer que f ∈ L(E), donner une base de Im f et de Ker(f ).
Exercice 8. Soit K = R ou C et a0 , . . . , an ∈ K deux à deux distincts.
On considère l’application ϕ : K2n+1 [X] → K2n+2 définie par
∀P ∈ K2n+1 [X], ϕ(P ) = (P (a0 ), P 0 (a0 ), . . . , P (an ), P 0 (an ))
Montrer que ϕ est un isomorphisme de K-espaces vectoriels.
Exercice 9. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.
On dit qu’une application f : E → K est une forme linéaire sur E si
f : (E, +, .) → (K, +, .) est une application linéaire entre les K-espaces
vectoriels E et K.
On dit qu’un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan si H admet un
supplémentaire de dimension 1.
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1. Soit H un sous-espace vectoriel de E. Montrer que H est un hyperplan
de E si et seulement si il existe a ∈ E, a 6= 0E tel que
E = H ⊕ Ka
avec Ka = {λa | λ ∈ K}.
2. Montrer que si f est une forme linéaire sur E, alors soit Ker f est égal
à E, soit Ker f est un hyperplan de E.
3. Réciproquement, montrer que tout hyperplan H de E est le noyau
d’une forme linéaire de E, c’est-à-dire il existe une forme linéaire f de
E tel que H = Ker f .
4. Soit f et g deux formes linéaires de E. Montrer que Ker f ⊂ Ker g si
et seulement si il existe λ ∈ K tel que g = λf .
Exercice 10. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et u un endomorphisme de E tel que u ◦ u = 0L(E) .
Montrer qu’il existe une forme linéaire f de E et a un vecteur de E tels que
∀x ∈ E, u(x) = f (x)a
Exercice 11. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.
On appelle dual de E, l’ensemble des formes linéaires sur E. On le note E ∗ .
1. Montrer que E ∗ est un K-espace vectoriel.
2. Soit (e1 , . . . , en ) une base de E. Montrer qu’il existe n formes linéaires
de E e∗1 , . . . , e∗n tels que
∀i, j ∈ {1, . . . , n}, e∗i (ej ) = δij
avec δij = 1 si i = j, 0 si i 6= j.
3. Montrer que (e∗1 , . . . , e∗n ) est une base de E ∗ .
4. En déduire que E et E ∗ sont isomorphes.
Cependant, cet isomorphisme n’est pas canonique au sens où il dépend
d’un choix pris au départ (ici, la base (e1 , . . . , en )).
5. On note E ∗∗ = (E ∗ )∗ le dual de E ∗ qu’on appelle aussi bidual de E.
Montrer que E et E ∗∗ sont canoniquement isomorphes.
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