feuille n 2

Feuille no2MM2
Applications lin´eaires
Exercice 1. Cest `a la fois un C-espace vectoriel et un R-espace vectoriel.
On consid`ere les applications suivantes :
c:C→C, z 7→ ¯z,
r:C→C, z 7→ Re(z),
i:C→C, z 7→ Im(z).
1. L’application cest-elle C-lin´eaire, est-elle R-lin´eaire ?
2. L’application cest-elle un C-automorphisme, un R-automorphisme ?
3. Montrer que ret isont des applications R-lin´eaires.
4. Calculer les noyaux et les images de ret i.
Exercice 2. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels. On note f∈ L(E, F )
et {ai}iune famille (non vide) d’´el´ements de E.
1. D´emontrer que si (f(ai))iest libre alors (ai)iest libre.
2. D´emontrer que si (ai)iest libre et fest injective, alors (f(ai))iest
libre.
3. Les implications r´eciproques sont-elles vraies ?
4. D´emontrer que si (ai)iengendre E, alors (f(ai))iengendre Im f.
Exercice 3. Soit Eun espace vectoriel. Une application lin´eaire pde E
dans Es’appelle un projecteur si p=p◦p.
1. Montrer que pour tout y∈Im p, alors p(y) = y. On dit que yest
invariant.
2. D´emontrer que E= ker p⊕Im p.
3. Montrer que f∈ L(E) est un projecteur si, et seulement si, tout
vecteur de Im fest invariant.
4. Soit f∈ L(E). On consid`ere g= IdE−f. Montrer que les conditions
suivantes sont ´equivalentes :
(a) fest un projecteur,
(b) Im f⊂ker g,
(c) Im g⊂ker f.
Exercice 4. Eest un R−espace vectoriel, Fet Gdeux sous-espaces sup-
pl´ementaires de E:E=FLG. On pose s(u) = uF−uGo`u u=uF+uG
est la d´ecomposition (unique) obtenue grˆace `a E=FLG. s est la sym´etrie
par-rapport `a Fde direction G.
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1. Montrer que s∈L(E),que u∈F⇔s(u) = u, u ∈G⇔s(u) = −u,
donner Ker(s) et calculer s2.
2. R´eciproquement si f∈L(E) v´erifie f2=idE.On pose p=f+idE
2.
Calculer f(u) en fonction de p(u) et u. V´erifier que pest un projecteur,
calculer son noyau et son image. Montrer que fest la sym´etrie par
rapport `a F={u∈E|f(u) = u}de direction G={u∈E|f(u) =
−u}.
Exercice 5. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finie. On
consid`ere des applications lin´eaires f∈ L(E, F ) et g∈ L(F, E) telles que :
f◦g◦f=fet g◦f◦g=g.
1. Montrer que h=g◦fest une application lin´eaire de Edans E. V´erifier
que hest un projecteur, i.e. h=h◦h.
2. Montrer que E= ker f⊕Im g.
3. Montrer que f,get g◦fsont de mˆeme rang.
Exercice 6. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Soit f∈ L(E).
Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1. ker f= ker f◦f,
2. Im f= Im f◦f,
3. E= ker f⊕Im f.
Exercice 7. Soit E=R3[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e ≤3,
et f:E→Ed´efinie par :
f(P) = P+ (1 −X)P0.
Montrer que f∈L(E),donner une base de Im fet de Ker(f).
Exercice 8. Soit K=Rou Cet a0, . . . , an∈Kdeux `a deux distincts.
On consid`ere l’application ϕ:K2n+1[X]→K2n+2 d´efinie par
∀P∈K2n+1[X], ϕ(P)=(P(a0), P 0(a0), . . . , P (an), P 0(an))
Montrer que ϕest un isomorphisme de K-espaces vectoriels.
Exercice 9. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie.
On dit qu’une application f:E→Kest une forme lin´eaire sur Esi
f: (E, +, .)→(K,+, .) est une application lin´eaire entre les K-espaces
vectoriels Eet K.
On dit qu’un sous-espace vectoriel Hde Eest un hyperplan si Hadmet un
suppl´ementaire de dimension 1.
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1. Soit Hun sous-espace vectoriel de E. Montrer que Hest un hyperplan
de Esi et seulement si il existe a∈E,a6= 0Etel que
E=H⊕Ka
avec Ka={λa |λ∈K}.
2. Montrer que si fest une forme lin´eaire sur E, alors soit Ker fest ´egal
`a E, soit Ker fest un hyperplan de E.
3. R´eciproquement, montrer que tout hyperplan Hde Eest le noyau
d’une forme lin´eaire de E, c’est-`a-dire il existe une forme lin´eaire fde
Etel que H= Ker f.
4. Soit fet gdeux formes lin´eaires de E. Montrer que Ker f⊂Ker gsi
et seulement si il existe λ∈Ktel que g=λf.
Exercice 10. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension 3 et uun endo-
morphisme de Etel que u◦u= 0L(E).
Montrer qu’il existe une forme lin´eaire fde Eet aun vecteur de Etels que
∀x∈E, u(x) = f(x)a
Exercice 11. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n.
On appelle dual de E, l’ensemble des formes lin´eaires sur E. On le note E∗.
1. Montrer que E∗est un K-espace vectoriel.
2. Soit (e1, . . . , en) une base de E. Montrer qu’il existe nformes lin´eaires
de E e∗
1, . . . , e∗
ntels que
∀i, j ∈ {1, . . . , n}, e∗
i(ej) = δij
avec δij = 1 si i=j, 0 si i6=j.
3. Montrer que (e∗
1, . . . , e∗
n) est une base de E∗.
4. En d´eduire que Eet E∗sont isomorphes.
Cependant, cet isomorphisme n’est pas canonique au sens o`u il d´epend
d’un choix pris au d´epart (ici, la base (e1, . . . , en)).
5. On note E∗∗ = (E∗)∗le dual de E∗qu’on appelle aussi bidual de E.
Montrer que Eet E∗∗ sont canoniquement isomorphes.
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