Dérivation – Continuité

Dérivation – Continuité
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2009/2010
Table des matières
1 Nombre dérivé – Fonction dérivé 2
1.1 Nombredérivé .......................................... 2
1.2 Fonctiondérivée ......................................... 3
1.2.1 Définition......................................... 3
1.2.2 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Équation de la tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Sens de variation d’une fonction 4
2.1 Sens de variations d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Sens de variation d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Sens de variation par dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Dérivation d’une fonction composée 5
3.1 Théorèmefondamental...................................... 5
3.2 De nouvelles formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Continuité – Application 6
4.1 Fonctionscontinues........................................ 6
4.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Table des figures
1 Nombredérivéettangente.................................... 2
2 Fonctionpartieentière...................................... 6
3 Unefonctioncontinue ...................................... 7
4 Unefonctionnoncontinue.................................... 7
Liste des tableaux
1Dérivées des fonctions usuelles ................................... 3
2 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
∗Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1

1 NOMBRE DÉRIVÉ – FONCTION DÉRIVÉ
En préliminaire au cours :
– Test C page 10 [Déclic] : Droites et fonctions affines.
– Test A page 10 [Déclic] : Équations et inéquations du second degré.
Exercices de révision : Test D page 101– 2, 3, 4 page 232– 6, 8, 10 page 23 et 85 page 333– 11, 12
page 234[Déclic]
1 Nombre dérivé – Fonction dérivé
Dans toute la suite, on considère une fonction fdéfinie sur un intervalle I. On note Cfsa courbe
représentative dans un repère O;−→ i;−→ j.
1.1 Nombre dérivé
Définition : Soit a∈I.
Si le taux d’accroissement f(a+h)−f(a)
htend vers un nombre fini lorsque htend vers zéro, on dit que
la fonction fest dérivable en a.
Ce nombre est alors appelé nombre dérivé de fen a. On le note f0(a).
On a donc :
f0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
Remarques :
1. Le taux d’accroissement de fen apeut aussi s’écrire f(x)−f(a)
x−a.
La fonction fest dérivable en asi f(x)−f(a)
x−atend vers un nombre fini lorsque xtend vers a.
Dans ce cas, on a :
f0(a) = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
2. Le taux d’accroissement de fen acorrespond à un coefficient directeur d’une sécante à fen
a(voir figure 1). Si la fonction fest dérivable en a, alors sa courbe représentative admet une
tangente au point d’abscisse aet f0(a)est le coefficient directeur de la tangente.
Fig. 1 – Nombre dérivé et tangente
Exercices : 13 page 23 ; 38, 39 page 26 et 92 page 355– 40, 44 page 26 et 45 page 276[Déclic]
1Lectures graphiques sur une courbe.
2Mise sous le même dénominateur.
3Second degré.
4Lectures graphiques.
5Nombre dérivé : détermination graphique et par le calcul.
6Coût moyen et coût marginal
2

1 NOMBRE DÉRIVÉ – FONCTION DÉRIVÉ 1.2 Fonction dérivée
1.2 Fonction dérivée
1.2.1 Définition
Définition : Si une fonction est dérivable pour tout réel ade l’intervalle I, on dit qu’elle est dérivable
sur l’intervalle I.
Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de fsur l’intervalle Ila fonction qui, à tout xde I, associe
le nombre dérivé f0(x). On note cette fonction f0.
1.2.2 Dérivées des fonctions usuelles
les résultats concernant les dérivées des fonctions usuelles ont été vus en Première ES et sont résumés
dans le tableau 1.
fonction fdérivée f0Domaine de dérivabilité
f(x) = k(kconstante) f0(x)=0 R
f(x) = x f0(x)=1 R
f(x) = x2f0(x)=2xR
f(x) = x3f0(x)=3x2R
f(x) = xn(nentier >0) f0(x) = nxn−1R
f(x) = 1
xf0(x) = −1
x2]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
f(x) = 1
x2f0(x) = −2
x3]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
f(x) = 1
xn(nentier >0) f0(x) = −n
xn+1 ]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
f(x) = √xf0(x) = 1
2√x]0 ; +∞[
Tab. 1 – Dérivées des fonctions usuelles
1.2.3 Opérations sur les fonctions dérivables
les résultats concernant les opérations sur les fonctions dérivables ont été vus en Première S et sont
résumés dans le tableau 2.
Opération Dérivée Conditions
d’utilisation
Somme de deux fonctions u+v u0+v0uet vdérivables sur I
Multiplication par une constante ku ku0udérivable sur I
Produit de deux fonctions uv u0v+uv0uet vdérivables sur I
Inverse d’une fonction 1
v−v0
v2
uet vdérivables sur I
Pour tout x∈I,v(x)6= 0
Quotient de deux fonctions u
v
u0v−uv0
v2
uet vdérivables sur I
Pour tout x∈I,v(x)6= 0
Tab. 2 – Opérations sur les fonctions dérivables
Exercices : Exercice 14 page 23 [Déclic]
3

1.3 Équation de la tangente à une courbe 2 SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION
1.3 Équation de la tangente à une courbe
On reprend la figure 1.
Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet dérivable en a∈I.
La tangente TàCfau point d’abscisse aest la droite :
– de coefficient directeur m=f0(a);
–passant par A(a;f(a)).
On obtient le résultat suivant :
Propriété : Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet dérivable en a∈I.
La tangente à la courbe représentative de fau point d’abscisse aadmet comme équation :
y=f0(a) (x−a) + f(a)
Exercices : 51, 52, 53 page 287[Déclic]
2 Sens de variation d’une fonction
2.1 Sens de variations d’une somme
Propriété 1 : Produit de fonctions par un nombre
Soit fune fonction et kun réel.
– Si k > 0,fet kf ont même sens de variations.
– Si k < 0,fet kf ont des sens de variations contraires.
Propriété 2 : Somme de deux fonctions
– Si fet gsont croissantes sur un intervalle I, alors la fonction f+gest croissante sur I.
– Si fet gsont décroissantes sur un intervalle I, alors la fonction f+gest décroissante sur I.
Remarques :
1. Il n’y pas de résultat général lorsque fet gsont de sens de variations contraires.
2. Pour étudier les variations de f−g, on peut remarquer que f−g=f+(−g)et étudier d’abord
les variations de la fonction (−g).
Exercices : 17, 18 page 248– 21, 22 page 24 et 29, 31, 32 page 259[Déclic]
2.2 Sens de variation d’une fonction composée
Activité : Activité 1 page 1110 [Déclic]
Définition : Soit uune fonction définie sur un intervalle I,à valeurs dans un intervalle J.
Soit vune fonction définie sur l’intervalle J.
On appelle composée de usuivie de vla fonction fdéfinie sur l’intervalle Ipar : f(x) = v(u(x)).
Ceci peut se résumer par le schéma suivant :
f:I−→ J−→ R
x−→ X=u(x)−→ v(X) = v(u(x))
On note alors : f=v◦u.
Remarque : Pour pouvoir définir la fonction composée de usuivie de v, il faut absolument que la
fonction vsoit définie sur l’ensemble correspondant aux images de u. La fonction composée, elle, a
alors même ensemble de définition que la fonction u.
Exercices : 20, 25, 26 page 2411 [Déclic]
7Équation de tangente.
8QCM.
9Sens de variations de fonctions sommes.
10Montage de fonctions : fonction composée.
11Écriture de fonctions composées.
4

3 DÉRIVATION D’UNE FONCTION COMPOSÉE 2.3 Sens de variation par dérivation
Propriété : Sens de variation par composition
Soit uune fonction définie sur un intervalle I,à valeurs dans un intervalle J.
Soit vune fonction définie sur l’intervalle J.
On note f=v◦u.
– Si uet vont même sens de variations, alors fest croissante sur l’intervalle I.
– Si uet vont des sens de variations contraires, alors fest décroissante sur l’intervalle I.
Remarque : Attention ! Les variations de usont à étudier sur l’intervalle Iet celles de vsur l’intervalle
J.
Exemple : Soit fla fonction définie sur [4 ; +∞[par f(x) = √2x−8.
On pose u(x)=2x−8, définie sur [4 ; +∞[et v(x) = √x. On a alors f=v◦u
Les variations de usur [4 ; +∞[sont :
x4 +∞
u(x)%
0
.
Par suite, si x∈[4 ; +∞[,u(x)∈[0 ; +∞[. On doit donc étudier les variations de vsur [0 ; +∞[.
Donc :
–uest croissante sur [4 ; +∞[, à valeurs dans [0 ; +∞[
–vest croissante sur [0 ; +∞[
Par suite, fest croissante sur [4 ; +∞[.
Exercices : 34, 35, 37 page 2512 – 27 page 24 et 36 page 2513 – 90, 91 page 3514 [Déclic]
2.3 Sens de variation par dérivation
Théorème fondamental (admis) : Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I.
– Si, pour tout xde I,f0(x)≥0alors fest croissante sur I.
– Si, pour tout xde I,f0(x)≤0alors fest décroissante sur I.
– Si, pour tout xde I,f0(x)=0alors fest constante sur I.
Remarques :
1. On a aussi : f0(x)>0donne fstrictement croissante, etc.
2. Pour étudier les variations d’une fonction, il suffit donc d’étudier le signe de sa dérivée. Néan-
moins, dans certains cas simples (trinôme du second degré, fonctions associées, somme de deux
fonctions...), ceci n’est pas toujours nécessaire.
Propriété : Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f0s’annule en changeant de signe en a∈I, alors fadmet un extremum en a.
Exercices : 16 page 23 et 41, 42 page 2615 – 46, 48 page 27 et 82 page 3216 – 56 page 28 et 86 page
3317 [Déclic]
3 Dérivation d’une fonction composée
3.1 Théorème fondamental
Théorème : Soit uune fonction dérivable sur un intervalle Iet vune fonction dérivable sur un intervalle
Jtelles que, pour tout x∈I,u(x)∈J.
Alors la fonction fdéfinie par f(x) = v◦u(x) = v(u(x)) est dérivable sur Iet, pour tout x∈I:
f0(x) = u0(x)×v0(u(x))
12Sens de variation d’une fonction composée.
13Inverse d’une fonction.
14QCM, Vrai ou faux.
15Sens de variation et dérivation.
16Lien entre fet f0.
17Fonctions économiques.
5